1连续型随机变量2正态分布

1、§6正态分布6.1 连续型随机变量6.2正态分布1 了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数.(难点)2 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.(重点)基础初探教材整理正态分布阅读教材P63P65,完成下列问题.1. 正态分布(1) 在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的,这条曲线对应的函数称为X的.(2) 若随机变量X的分布密度函数为f(x) =，其中卩与c分别是随机变量X的与，则称X服从参数 卩和C的正态分布，记作XN(仏C).1_旷【答案】(1)分布密度曲线分布密度函数 (2)

2、戸加 均值标 则2 n准差2. 正态曲线的性质(1) 函数图像关于直线 寸称；o( d>0)的大小决定函数图像的 ；(3) P( I_ (<X< prk C =；P(卩_ 2(<X< prk 2 ® =；P(卩_ 3(<X< prk 3 ® =.【答案】(1)x=卩(2)胖、瘦(3)68.3% 95.4% 99.7%1. 判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 正态变量函数表达式中参数 仏c的意义分别是样本的均值与方差.()(2) 服从正态分布的随机变量是连续型随机变量( )(3) 正态曲线是一条钟形曲线 ( )(4) 离散型

3、随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量 的概率分布用分布列描述 ( )【解析】 (1)X 因为正态分布变量函数表述式中参数 卩是随机变量取值 的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而C是衡量随机变量总体波动 大小的特征数，用样本的标准差去估计(2) V 因为离散型随机变量最多取可列个不同值而连续型随机变量可能 取某个区间上的任何值(3) V 由正态分布曲线的形状可知该说法正确.(4) X因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线 (函数)描述.【答案】 (1)X V (3)Vx2. 若 XN(1,0.04)，贝U P(X&g

4、t; 1) =.【解析】 由XN(1,0.04)知，正态曲线关于直线x= 1对称，故P(X> 1) =0.5.【答案】 0.5质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型 |如正态曲线及其性质1Q观如图 2-6-1,曲线 Ci： f(x)='(x R),曲线 C2： (Kx)yj2 noi丿一先1二(x R)，则().2 no图 2-6-1A. 2 v%B. 曲线C1与x轴相交C. o > oD. 曲线C1, C2分别与x轴所夹的面积相等(2) 如图2-6-2是三个正态分布 XN(0,0.25),

5、 丫N(0,1), ZN(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X,Y,Z对应的曲线分别是图中的 ,.填写序号)图 2-6-2(3) 如图2-6-3所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布密度曲线的函数解析式，则总体随机变量的均值为 方差为.图 2-6-3【精彩点拨】着眼点：方差的大小；(2)正态曲线的特征及意义；(3)参数的几何意义.【自主解答】(1)由曲线C1, C2对称轴的位置知，由曲线C1瘦于C2知ov O,由f(x) >0知，曲线C1在x轴上方，故选D.由0.25V 1v 4,得X, Y, Z对应的曲线分别是图中的.1(3)从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x=20对称

6、，最大值为，1 1厂所以尸20,五了丽，解得尸五于是，正态分布密度曲线的函数解析式为：第 3 页9.(20)札，0x)=2n乂 ，x(_x，+x).总体随机变量的均值是 尸20,方差是【答案】(1)D(3)20 2利用正态曲线的性质可以求参数 仏0具体方法如下：1正态曲线是单峰的，它关于直线x=卩对称，由此性质结合图像求场第 7 页1(2 正态曲线在x=卩处达到峰值，由此性质结合图像可求 o再练一题1. 设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x) =，则()【导学号：62690047】g= 3B.尸 3,【解析】D.尸3，L I-，得尸2， 0= . 3.【答案】服从正态分布变量

7、的概率问题(1)已知随机变量 幼艮从正态分布N(2, 0)，且P(&4)= 0.8,则P(0< &2)B. 0.4C. 0.3D. 0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在(-1,1)内取值的概率.【精彩点拨】(1)根据正态曲线的对称性性质进行求解；(2)题可先求出X在(-1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x= 1对称知，X在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半.【自主解答】：随机变量X服从正态分布N(2, 2),尸 2,对称轴是 x = 2.P(&4)= 0.8,.p(学 4)= P( &

8、0) = 0.2,P(0< 氏4) = 0.6,.P(0< &2) = 0.3.故选 C.【答案】 C(2)由题意得尸1, 0= 2,所以 P(- 1 vXW 3) = P(1 2vXW 1 + 2)= 0.683 0.又因为正态曲线关于x= 1对称，1所以 P( 1vXv 1) = P(1vXv3) = 2P( 1vXv 3) = 0.341 5.1.求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的 概率转化到已知区间的概率.2常用结论有:对任意的a,有P(Xv a)= P(X>计a)；(2) P(Xv X0)= 1 P(X> X0);(3) P

9、(av Xv b) = P(Xv b) P(X< a).再练一题2 .若 rr N(5,1)，求 P(5< n<7).【解】N(5,1),.正态分布密度函数的两个参数为尸5, o= 1.该正态曲线关于x= 5对称,P(5< n<7) = 1 x P(3< t<7) = 1X 0.954= 0.477.探究共研型探究1正态分布的实际应用若某工厂生产的圆柱形零件的外直径r N(4,0.25),那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么?【提示】零件外直径的均值为 尸4, 标准差 0= 0.5.探究2某工厂生产的圆柱形零件的外直径&N(4,0.2

10、5),若零件的外直径在(3.5,4.5 内的为一等品试问1 000件这种零件中约有多少件一等品？【提示】 P(3.5<其4.5)= P(厂 齐< 计0= 0.683 0,所以1 000件产品中 大约有 1 000X 0.683 0= 683(件)一等品.探究3某厂生产的圆柱形零件的外直径 N(4, 0.25).质检人员从该厂生 产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产 的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径 N(4,0.25),由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4-3X 0.5,4+ 3X 0.5),即(2

11、.5,5.5)之外取值的概率只有 0.003, 而 5.76(2.5,5.5).这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的.例设在一次数学考试中，某班学生的分数 XN(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不低于90 分)的人数和130分以上的人数.【精彩点拨】要求及格的人数，即要求出 P(90< X< 150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解.【自主解答】.XN(110,2(f),尸 110, o= 20, P(110

12、-20<X<110+ 20)= 0.683.1X>130 的概率为：2 X (1- 0.683) = 0.158 5;X>90 的概率为：0.683+ 0.158 5= 0.841 5.及格的人数为54X 0.841 5" 45人，130分以上的人数为 54X 0.158 5" 9人.第6页解此类冋题一定要灵活把握 P po<EWp+o, P (J 2 o< p+ 2 o, P卩-3o竿 计3 c进行转化，然后利用特定值求出相应概率.同时要充分利用曲线 的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质.再练一题3 .在某次数学考试中，考生的

13、成绩E服从一个正态分布，即匕N(90,100).试求考试成绩E位于区间(70,110)上的概率是多少.(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约 有多少人.【解】&N(90,100)，/-尸90， 尸，100= 10.(1)由于正态变量在区间(2 c 计2®内取值的概率是0.954,而该正态分 布中，卩一 2 = 90 2 X 10= 70，叶2®= 90+ 2 X 10= 110,于是考试成绩 E位于 区间(70,110)内的概率就是 0.954.由 尸 90， (= 10，得 (=80，卩+100，由于正态变量在区间(一c

14、 + C内取值的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000X 0.683= 1 366(人).构建体系1_ JL1 .正态分布密度函数为机Cx) =亡”，x ( x，+x )，则总体的平78 n均数和标准差分别是()A. 0 和 8B . 0 和 4C. 0 和 2D . 0 和.2【解析】 由条件可知 尸0， 0= 2.【答案】 C2. 如图2-6-4是当E取三个不同值5，百的三种正态曲线N(0, C)的图象， 那么0，C，C的大小关系是()图 2-6-4A. c>1> c> c>0C. OT>(2>1

15、>C3>0D. 0< or<(2 = 1<(321心一玄【解析】当尸0, g= 1时，正态曲线f(x)=.在x= 0时，取最大n1值，故2= 1由正态曲线的性质，当 卩一定时，曲线的形状由2确定.2越2 n小，曲线越“瘦高” ；2越大，曲线越“矮胖”，于是有0<2< 2= 1V2.【答案】D3. 若随机变量XN(仏2)，贝U P(XW以=.【解析】由于随机变量XN(仏2)，其正态密度曲线关于直线 X=卩对1称，故p(x<以=2.1【答案】1一 一一 24. 已知随机变量X服从正态分布N(2, 2)，且P(X<4) = 0.84,则P(X< 0)=.【导学号：62690048】【解析】由XN(2，2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为 x= 2,则P(X< 0)= P(X>4)= 1-P(X<4) = 1-0.84= 0.16.【答案】0.165. 批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000,4005，求这 批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率.【解】依题意得 尸104， 2=