14知识讲解_提高_等差数列及其前n项和

1、等差数列及其前 n项和【学习目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前 n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题【学习策略】n项和公式数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前 的性质特点。注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及 印、n、d、an、Sn五个量, 已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其

2、余两个量。【要点梳理】要点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。要点诠释：公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d （即公差）；符号语言形式对于数列an，若an an i d（n N，n 2,d为常数）或 a. i an d （n N ，d为常数），则此 数列是等差数列，其中常数 d叫做等差数列的公差。要点诠释：定义中要求 同一个常数d ”，必须与n无关。等差中项如果a , A,b成等

3、差数列，那么 A叫做a与b的等差中项，即 A要点诠释：a，b的等差中项存在且唯一 两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数 三个数a ,A,b成等差数列的充要条件是要点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为ai，公差为d的等差数列a.的通项公式为:an a1 (n 1)d (n N )推导过程：(1 )归纳法：anai(n1)d当n=1时，上式也成立归纳得出等差数列的通项公式为:ana1(n 1)d ( n N )。(2 )叠加法:根据等差数列定义an an 1 d ,有:a2a1d ,a3a2d ,a4a3d ,anan把这n 1个等式的左边与右边分别相加(叠加)，并化简得

4、an a1 (n 1)d ,-ana1(n1)d .(3)迭代法：anan 1d(an 2 d) d(a2 d) dda1(n 1)dn 2ana1(n1)d .要点诠释:根据等差数列定义anan 1d可得：anan 1 d ,a?ada(21)d83 a? d (ad)d ;a1 2da1(3 1)d ,a4a3d 佝2d)da1 3da1(4 1)d ,通项公式由首项 ai和公差d完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确 定了。通项公式中共涉及 ai、n、d、an四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个 量。等差数列通项公式的推广已知等差数列%中，第m项

5、为am，公差为d，则：an am (n m)d证明：t an a-i (n 1)d , am (m 1)d an am a1 (n 1)d a1 (m 1)d (n m)d an am (n m)d由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式an a1 (n 1)d可以看成是m 1时的特殊情况。要点三、等差数列的性质等差数列an中，公差为d ,则若 m, n,p,q N，且 m n p q,则 am an ap aq,特别地，当m n 2p时am an 2ap.下标成公差为 m的等差数列的项ak ,ak m,ak 2m，组成的新数列仍为等差数列，公差为md 若数列bn也为

6、等差数列，则an bn , ka. b , (k,b为非零常数)也是等差数列aia2a3,84a5a6,a7鬼ag,仍是等差数列数列 an + b (, b为非零常数)也是等差数列要点四、等差数列的前 n项和公式等差数列的前n项和公式na? a 3an 1 an 公式一：n(aian)Sn 2证明：倒序相加法Snan an 1 an 2a2 ai +：2Sn (ai an) (a? an 1) an 2) L (a. ajal ana2 an 1a3an 2 L L 2Sn n(aia.)公式二：Snn(n 1)d2证明：将ana1 (n i)d代入Snn(ai an)可得:n(n 1)d2由

7、此得：n(a1 an)n 2要点诠释:倒序相加是数列求和的重要方法之一。上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及ai、n、d、an、Sn五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。要点五、等差数列的前 n项和的有关性质等差数列an中，公差为d ,则连续k项的和依然成等差数列，即2Sk ,S2kSk, S3kS2k ,成等差数列，且公差为k d .若项数为 2n,则 S2nn(an an 1) , S偶 S奇nd ,S奇an 1若项数为 2n-1,则 S2n1 (2n1)an, S奇nan ， S偶(n 1)an ， S奇S偶 an ，要点六、等差数列中的函数关系等差数列an

8、的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列an中，an a1 (n 1)ddn 佝 d)，令 a1 db，则:an dn b ( d ,b是常数且d为公差)(1 )当d 0时，an b为常数函数，an为常数列；它的图象是在直线 y b上均匀排列的一群孤立的点。(2)当d 0时，an dn b是n的一次函数；它的图象是在直线 y dx b上均匀排列的一群孤立 的点。 当d 0时，一次函数单调增，an为递增数列； 当d v0时，一次函数单调减，an为递减数列。等差数列an的前n项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数(或一次函数),n(n 1)d2/ d、 人d由 Sn na12 d &

9、quot;2 n(a1 Q)n，令 A ， B ai "2，则：2Sn An Bn ( A,B为常数)(1 )当d 0即A 0时，Sn Bn nai, Sn是关于n的一个一次函数；它的图象是在直线 y a 上的一群孤立的点。(2)当d 0即A 0时，Sn是关于n的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线y Ax2 Bx上的一群孤立的点。 当d 0时Sn有最小值 当d 0时，Sn有最大值要点诠释：1.公差不为0的等差数列an的通项公式是关于 n的一次函数。2 an pn q ( p,q是常数)是数列a.成等差数列的充要条件。3.公差不为0的等差数列an的前n项和公式是关于n的一个常

10、数项为零的二次函数。24 Sn An Bn (其中A, B为常数)是数列a.成等差数列的充要条件【典型例题】类型一：等差数列的定义例1. -401是不是等差数列 5、9、 13的项？如果是，是第几项？【思路点拨】要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.【解析】由 a15 d 9 ( 5) 4 得 an 5 4(n 1) 4n 1由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得:401 4n 1成立解得：n 100即401是这个数列的第100项.【总结升华】1根据所给数列求得首项 a1和公差d，写出通项公式an.2要注意解题步骤的规范性与准确性 举一

11、反三：【变式1】20是不是等差数列0,7 , - 7,2的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由【答案】由题意可知：a1 0,d72 J.此数列的通项公式为an772n 2,2令207n 7,解得n 47 N，所以20不是这个数列的项227【变式2】求集合M m|m 7n, n N*,m 100的元素的个数，并求这些元素的和2 *【答案】 7n 100 , n 14, tn N , M中有14个元素符合条件，7又满足条件的数7, 14, 21,，98成等差数列，即a1 7 , d 7 ,无 98 , S14 48) 735.2例2.已知数列an的前n项和为Sn, a1 = 1, anMD,

12、anan+1 =1，其中入为常数.(I )证明：an+2 an=入(n )是否存在 入使得an为等差数列？并说明理由.【答案】(I )见解析。(n )存在【解析】(I )证明：T anan+1 = ?Sn一 1 , an+1an+2= XSn+1 一 1 , an+1 (a n+2 an)= ?an+1-外+1书,an+2 一 an = X.(n )解：当X= 0时，anan+1 = 1,假设an为等差数列，设公差为 d.贝V an+2 an = 0,. 2d = 0,解得 d = 0,an= an+1 = 1,12= 1,矛盾，因此 X= 0时an不为等差数列.当入洋时，假设存在 人使得an

13、为等差数列，设公差为d.贝 y X= an+2 an= (an+2 an+1)+(an+1 an) = 2d,X- d =°1入（n 1）2an 1-入Si = 1 + 1入（n2入n、 入 2-=n42（入-？）n 2| ,42入0根据an为等差数列的充要条件是入 ，解得入=4.2 = 02此时可得Sn n , an= 2n 1.因此存在 =4，使得a n为等差数列.【总结升华】（1）证明三个数a,b,c成等差数列的方法为：证明2b a c，即a,b,c成等差数列2b a c。2（2）anpn q（ p,q是常数）是数列an成等差数列的充要条件；Sn An Bn（其中A, B为常数

14、）是数列an成等差数列的充要条件举一反三：【变式1】已知数列an的通项公式为an 3n 5,这个数列是等差数列吗?【答案】因为n 2时，anan 1 3n 5 3（ n 1） 5 3,所以数列an是等差数列，且公差为 3.【变式2】已知数列an中，a1 1, an 12a“（ n N）,求证：-是等差数列。an 2an证明：t an 12an1an 1an 22 an1an 1an 是公差为an1的等差数列。2类型二：等差数列通项公式的应用例3.已知等差数列an中，a15 33, 845 153，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。a1、d的问题,【思路点拨】等差

15、数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量 列出a1、d的方程组。【解析】由通项公式得:耳5a45a1 14d a1 44d an234(n1)4n27 2174n27,解得n61.(a45ai5方法一:n 1, n N33，解得153a1 23 d 4'方法二：由等差数列性质，得30d，即 153 33 30d，解得 d 4,an a15 4(n 15),/. 21733 4(n 15),解得 n 61.方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点,点 P(15,33)、Q(45,153)、R(n,217)在同一条直线上,怛仝23，解得n 61。45

16、 15 n 45【总结升华】1.等差数列的关键是首项a1与公差d ；五个基本量a1、n、d、an、Sn中，已知三个基本量便可求 出其余两个量;2列方程（组）求等差数列的首项a1和公差d，再求出an、Sn，是数列中的基本方法举一反三:【变式1】在等差数列an中，已知鬼10,a1231,求首项a1,与公差d .【答案】由5a1 4d 1012a111d31解得；a12 ,d 5【变式2】等差数列an中,d 4, an18, Sn48，求a1的值.an a1 (n 1)d【答案】n(n 1)& nd218即481) 1844(nna-i 2n(n 1) 48a1a1解得：6或n 4 n 6【

17、变式3】已知单调递增的等差数列an的前三项之和为 21，前三项之积为231，求数列an的通项公式.【答案】方法一：根据题意，设等差数列 an的前三项分别为a1, a1+ d, a1 + 2d,例4.已知等差数列an中，若a3a8ai3i2 , a3a8ai328,求an的通项公式。【思路点拨】可以直接列方程组求解ai和d ；同时留意到脚标3 i38 2 ,n 2p 时 aman 2ap解题.【解析】 a3ai32a8，二 a33gai33a8i2即a8 4 ,a3ai38a3 i亠a37代入已知，有，解得或a3 ai37ai3 7ai3iai3a37 i3/ c、334当 a3 i, ai37

18、 时，d3- ana3 (n 3)-ni3 3io5555a3a3i 73344当 a37 ,ai3i 时，d233J-anni3 3i0555m类型三：活用等差数列的性质解题【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷可以用性质：当ai + ai + d + ai + 2d = 21则ai ai + dai + 2d=231即 3ai + 3d= 2iai ai + dai + 2d解得ai = 3d= 4ai = ii或d= 4因为数列an为单调递增数列，因此ai = 3 d = 4'从而等差数列an的通项公式为an= 4n- i.方法二：由于数列an为等差数列，因此可设前三项

19、分别为a d, a, a + d,于是可得 ada d+ a+ a+ d = 2i=23i3a = 2i即 a a2d2= 23i，解得a= 7或d= 4由于数列an为单调递增数列,因此a= 7，从而 an= 4n i.d = 4举一反三:【变式i】在等差数列an中，a?比i8，则玄5 =【答案】9【变式2】在等差数列 an中，a2a5 ag an 20，则 ae+a7 =【答案】i0【变式3】在等差数列an中，若 ai a69,a47 ,则 a3=a99 a49 7 2,【答案】t a-i a6 a4 a39, a47，二 a3 d a4 a35，二 a9 a4 (9 4)d32.类型四：前

20、n项和公式及性质的运用例5.等差数列an前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项和.【思路点拨】n( n i)利用等差数列的前 n项和公式Sn nai 丄 丄d求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构2成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数(Sn An2 Bn)等知识求解。【解析】方法一：利用等差数列的前 n项和公式Snna心d求解。Sm由已知得maiS2m2majm(mJ)d 3022m(2m 1) d，解得100a-1040m2， Ssm 3mc3m(3m21)d 210。方法二：利用等差数列前n项和公式Sn住亠及性质mq,则 am an ap aq 求解。m(

21、a1am)60.(1)丄“ 口m(a1a2m)100.由已知得3m(a1a3m )2S3 m.a3ma2 ma2m am(4)由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4),得 S3m=210.方法三：根据性质：已知an成等差数列，则 Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,Sn-S(k-1)n,(k 2)成等差数列解题。由上述性质，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。-Sm+(S3m-S2m)=2(S 2m-Sm), S3m=3(S2m-Sm)=210.方法四：由Snnq的变形式解题，由上式知，色a1(n 1)2n2数列Sn也成等差数列，即Sm,S2m,S3m成等差数列,nm 2m 3

22、m2S2m2mSmS3m3m又 Sm=30, S2m=100, S3m=210方法五：/ an为等差数列,2设 Sn An Bn10m故有SnSman2 bn(1)2am bm.(2)二 Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100,得 A- S3m=9m2a+3mb=210.【总结升华】方程是解决这类问题的重要方法，当然具体题目也要注意数列本身的一些性质，它往往 更能起到事半功倍的效果.举一反三：【变式1】等差数列an中， 若 ai +a2+a3+a4+a5=30, a6+a7+a8+a9+aio=8O,贝Uaii+ai2+ai3+ai4+ai5=.【答案】比较对应项可知后一段

23、中每一项总比前段每一项多5d,故后一段和比前一段和多25d，故三段依然构成等差数列，故由等差中项公式可知：aii+ai2+ai3+ai4+ai5=2 >80-30=130.【变式2】等差数列a n中，Sm=Sn且m n,则Sm+n=.【答案】方法一：数列an成等差数列的充要条件是Sn=an2+bn (其中a, b为常数)，(2)-(1)得 a(m2-n2)+b(m-n)=0,/ m n, a(m+n)+b=0, Sm+n=a(m+n) 2+b(m+n)=(m+n)a(m+n)+b=0.方法二：从等差数列Sn=an2+bn去认识它是函数 S(x)=ax2+bx图象上的点,T Sm=Sn,

24、函数图象对称轴为 xm n2 ，故 Sm+n=S(0)=a 02+ b 0=0.【变式3】等差数列an前10项和为100,前20项和为10,求它的前30项和.【答案】方法一:由已知，得S10S2010(10 1)10a1d 1002，解得d20(20 1)“20a1d 10219371帀，31莎30(30 1)绻 30a1d 270.2方法二：-2(S20S10)SI0(§30S20 ), §303(S20S10)270.方法三:等差数列an中,设Sn2An Bn，则S|0210 A 10B100 A10B1001939，解得A,BS20202A 20 B400A 20 B

25、 1020 2“ 19、39- S30302 ()30270.202例6.已知两等差数列an、bn的前n项和分别为Sn 、Tn ，且等差数列an中 Sw，S20S10 , S30S20,构成新的等差数列,【思路点拨】SnTn7n 1，试求勺14n 27b笛利用前n项和公式与性质 mam an 2ap解题，或利用S2n 1(2n1)an解决，或利用等差数列前n项和SnAn2 Bn(AnB)n形式解题.【解析】方法一： a11aa?12,b?11an2b11£b21)(a1 a21)1二(a1 a21)21 s21(b1 b21) 21T217 21 14 21 277 2114 212

26、7方法三：由题设，令等差数列前n项和Sn (7n 1)nk , Tn (4n 27)nk，则方法二：由 S2n1 (2n 1)(? a2n1) (2n 1)an 得业 细 鱼b121 bn T21anSnSn1k(14n6) ,bnTnTn1k(8n23),a11148k4bii111k3【总结升华】依据等差数列的性质a1 a2n 1 2an可以得到S2n(2n 1) a2n 1)(2n 1)an ,当已知两等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn时，有anbnS2n 1T2n 1ambn2n 12m 1S2m 1T2n 1举一反三:【变式1】等差数列an中，若a4 9,则S7 =【答案】

27、由 S2n 1 (2n 鉴 a2n1) (2n 1)an，得 S77a47 963 .S【变式2】已知两等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,且Tn4n3，则5n 2a10b10【答案】西b10SI9T194 19 3795 19 293【高清课堂：等差数列及其前 n项和379548练习5】例7. 一等差数列由3个数组成，3个数之和为9, 3个数的平方和为 35,求这个数列。【思路点拨】本题设这三个数时，常规设法为a , a d , a 2d，但不如用对称设法设为 a d, a , a d【解析】设这三个数分别为a d , a , a d，则(a(ad) a (a d) 92 2 2d

28、) a (a d)，解得a353,d2.所求三个数分别为1, 3, 5或5, 3, 1。【总结升华】1.三个数成等差数列时，可设其分别为x d, x, x d ；若四个数成等差数列，可设其分别为x 3d , x d ,x d ,x 3d .举一反三：【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此四个数。【答案】-1, 2, 5, 8 或 8, 5, 2, -1 或-8, -5, -2, 1 或 1, -2, -5, -8类型五：等差数列前 n项和的最值问题例8.已知数列an是等差数列，a1 0,S9 37,试问n为何值时，数列的前n项和最大？为什么？【思路点拨】Sn是n的二次函数关系来要研究一个等差数列的前 n项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用 考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。【解析】方法一：T S9 S17, 9a1 36d 17a1 136d 即 8a1100d ,225ai又Snn（n 1）dn n（n 1）（吕印）2525（n2 26n）旦（n 13）2 ai,2525- ai 0 ,当n 13, Sn有最大值为169 a25227ana1（n 1）dama102525即an 1227a1（n 1）a102525a10方法二：要使Sn最大,n必须使an0且a* 125解得 n22713 12169-n