(完整word)北师大版高中数学选修2-1期末考试试题及答案(理科),推荐文档

1、 高二期末考试数学试题 .选择题（每小题 5 分, 晁群彦 满分 6 0 分） 1.设l, m,n均为直线，其中 m,n在平面a内，则“ 是“ m且I n”的（ ） A .充分不必要条件 B 必要不充分条件 C .充分必要条件 2 .对于两个命题： x R, 下列判断正确的是（ A.假 D .既不充分也不必要条件 sin x 1 , ) B.真假 R,sin 2 x cos2 x C.都假 D. 都真 x2 3 .与椭圆一 4 1共焦点且过点 Q（2,1）的双曲线方程是（ 2 2 y A. x 1 2 2 x B. 4 y2 1 D. 4 .已知h,F2是椭圆的两个焦点, 过 F1且与椭圆长轴

2、垂直的弦交椭圆与 A,B两点, 则 ABF2是正三角形，则椭圆的离心率是（ 5 .过抛物线y2 8x的焦点作倾斜角为 45直线l，直线l与抛物线相交与 A, B两点， 则弦 AB 的长是（ ） C 32 D 64 1（a b0）的两个焦点 F1,F2,点P在椭圆上，贝y PF1F2的面积 最 B 16 A 8 7 .已知椭圆琴 a2 b2 大值一定是 2 ) 10 B .市 的连线的斜率为兀，则m的值是（ A. 2.2 9 F作直线交抛物线于R X!,% , P2 X2,y2两点，若 B ab C a 一 a2 b2 D b a2 b2 8 .已知向量 (1,1,0),b (1,0,2),且

3、ka b 与 2a b互相垂直，则实数 k 的值是（ C. 9 .在正方体 ABCD ABC1D1 中 E是棱AB的中点，则 AB与D1E所成角的余弦值为 * y2 10 D .可 2 10 .若椭圆mx ny 1(m 0,n 0）与直线y 1 x 交于A , B 两点，过原点与线段 AB 中点 D. .2 1 1 .过抛物线x2 4y的焦点 2 .8 D . 10则| R P2的值为 （ A. 12 以 4 2 红=的焦点为顶点, 顶点为2 2 x y A.- 16 12 B. 2 x 12 2 J 1 16 2 x C. 16 D. 二 .填空题（每小题 4 分） 13.已知 A、B、C

4、- - 1 一 - OM xOA yOB OC 3 其中 x, y 是实数，若点 M 与 A、B、C 四点共面，贝 U x+y= 点不共线， 对平面 ABC 外一点 O,给出下列表达式： 14.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2 = 4x的焦点，且与抛物线相交于 A,B 两点，贝U AB等 15 .若命题 2 P： “ x0, ax 2 2x 0 ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 16 .已知 AOB 90 , C为空间中一点，且 AOC BOC 60，则直线OC与平面 AOB所成角的正弦值为 三解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 ) 17. （本小题满分 1 4） 设

5、命题 P : x R,x2 2x a，命题 Q : x R,x2 2ax 2 a 0； 如果 卩或Q ”为真，“P且Q ”为假，求a的取值范围。 18. （1 5 分）如图在直角梯形 ABCP 中，BC / AP, AB 丄 BC , CD 丄 AP , AD=DC=PD=2 , E, F, G 分别 是线段 PC、PD, BC 的中点，现将 PDC 折起，使平 面 PDC丄平面 ABCD （如图） （I）求证 AP /平面 EFG; （H）求二面角 G-EF-D 的大小； （川）在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC 丄平面 ADQ , 试给出证明. 19. （1 5 分）如图，金砂公园有一

6、块边长为 2 的等边 ABC 的边角地，现修成草坪，图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分， D 在 AB 上，E 在 AC 上. （I）设AD =x, DE =y，求y关于x的函数关系式； （n）如果 DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则 DE 的位置应在哪里? 请予以证明A 2 0(本小题满分 1 5 分) 2 2 设FI,F2分别为椭圆C:笃与 1(a b 0)的左、右两个焦点. a b 3 (I)若椭圆C上的点A(1,?)到 FI,F2两点的距离之和等于 4, 求椭圆C的方程和焦点坐标； 1 (n)设点 P 是(I)中所得椭圆上的动点， Q(0,1),求|PQ|的最大值。 2 1(本

7、小题满分 1 5 分) 如图，设抛物线 C: X2 4y的焦点为 F, 过 P 点的切线交y轴于 Q 点. (I)证明：FP FQ ； (n) Q 点关于原点 O 的对称点为 M，过 交抛物线 C 于 A、B 两点，若AM MB(1)，求的值. M 点作平行于 PQ 的直线 P(xo, yo)为抛物线上的任 高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准 .选择题：ABCCB DCBDB DD 2 、填空题：13 . 3 13 .8 14 .（ ，4） 15 详解：由对称性点 C在平面AOB内的射影D必在 AOB 的平分 线上作DE OA于E ,连结CE则由三垂线定理CE OE ,设 DE 1

8、 OE 1,OD J2 ,又 COE 60：CE OE OE 2 所以 CD OC2 OD2 2， 因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值 sin COD 2 ,本题亦可用向量法。16 . y ex 三.解答题： 17 解：命题 P : x R, x2 2x a 2 2 即x 2x （x 1） 1 a恒成立 a 1 . 3 分 命题 Q : x R,x2 2ax 2 a 0 2 即方程x 2ax 2 a 0有实数根 （2a）2 4（2 a） 0 a 2或 a 1 . . 6 分 P或Q ”为真，P且Q ”为假， P与Q一真一假 . 8 分 当P真Q假时，2 a 1 ;当P假Q真时，a 1 .

9、1 0 a的取值范围是（2, 1）U1, ） . 1 4 18 （14 分）解法一：（I） PD 丄 CD , PD 丄 DA PD 丄平面 ABCD 如图.以 D 为坐标原点， 丄 CD 与 z 轴建立空间直角坐标系: 1 分 则 D 0,0,0 A 2,0,0 B 2,2,0 AP 2,0,2 EF 0, 1,0 FG 1,2, 1 设平面 GEF 的法向量n (x, y,z)，由法向量的定义得: (2) 平面 PDC 丄平面 ABCD , AD 丄 DC AD 丄平面 PCD，而 BC / AD , BC 丄面 EFD 过 C 作 CR 丄 EF 交 EF 延长线于 R 点连 GR，根据

10、三垂线定理知 / GRC 即为二面角的平面角， GC=CR，/ GRC=45 , C 0,2,0 P 0,0,2 E 0,1,1 F 0,0,1 G 1,2,0 n ?EF 0 (x,y,z)?(0, 1,0) 0 n ?FG 0 (x,y,z)?(1,2, 1) 0 不妨设 z=1，则n (1,0,1) AP n 2 12 0 12 0 AP n，点 P 平面 EFG AP /平面 EFG . y 0 y 0 x 2y z 0 x z . 4 分 . 5 分 则它的一个法向量为 1 = (1, 0, 0) . I .8 分 n 1 2 设二面角G EF D为.则 COS 2 2 . 9 分

11、由图形观察二面角 G EF D为锐角，故二 二面角 G-EF-D 的大小为 45 (川)假设在线段 PB 上存在一点 Q,使 PC 丄平面 ADQ , P、Q、D 三点共线，则设DQ (1 t)DP tDB ，又DB 2,2,0 DP DQ (2t,2t,2 2t)又 DA 0,0,2 . - 11 分 10 分 PC?DA PC?DQ (0,2,-2) ?(2,0,0) 0 (0,2,-2)?(2t,2t,2 2t) 2 2t 2(2 2t) DB) 13 分 PB 的中点。 解法(1)： EF / CD / AB , EG / PB,根据面面平行的判定定 ()由(I)知平面 GEF 的法向

12、量 n (1,0,1)，因平面 EFD 与坐标平面 PDC 重合 0,0,2 O 与 z 轴建立空间直角坐标系: 1 分 故二面角 G-EF-D 的大小为 45 . 8 分 (3) Q 点为 PB 的中点，取 PC 中点 M，贝 U QM / BC , QM 丄 PC2 在等腰 Rt PDC 中，DM 丄 PC,. PC 丄面 ADMQ 19 (14 分)解：(1 )在厶 ADE 中，y2 = x2 + AE2 2 x AEcos60 y 2 = x2 + AE2 x 2 又 SA ADE = SA ABC = AE, 2 代入得y2 = x2 + 又x 0), y = 2 AE -矛盾，所以

13、x拥 42 2 x (1x 2). y=, x2 ：2 2 邛刃 X2= x2，即x = 2时=”成立, BC，且 DE = 2 (I)椭圆 C 的焦点在 x轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2两点的距离之和是 x2 10分 4,得 2a=4，即 a=2. 3 1 又点A(1,|)在椭圆上，因此歹 1 得b2 3,于是 c2 1. 所以椭圆 x2 C 的方程为一 4 2 1,焦点 F1( 1,0),F2(1,0). 3 2 2 x y (n)设 P(x,y),则 4 3 1 x2 4 4 2 3y 2 2 . 1 2 , 2 2 1 1 2 1 |PQx (y )4 - y y y y y 2 3 4 3 4 1 3、2 (y )5 3 2 又 .3 y 、3 当y 3 -时,|PQ nax 5 8 分 .10 分 .12 分 .1 5 分 2 1 解：(I)证明：由抛物线定义知 | PF | y0 1 , kpQ y lx xg 可得 PQ 所在直线方程为y y0 （X X。）, 2 -yo T 得 Q 点坐标为(0, y0) -|QF 1 y。 1 |PF|=|QF| (n)设 A(xi, yi), B(X2, y2),又 M 点坐标为(0, yo) .10分。