高考数学总复习导学第七篇不等式第2讲一元二次不等式及其解法理

1、- 1 - 【2013 年高考会这样考】1会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型2考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题3以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题【复习指导】1结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法2熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法基础梳理1一元二次不等式的解法(1) 将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0) 或ax2bxc0(a0) (2) 求出相应的一元二次方程的根(3) 利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2一元二次不等式与相应的二

2、次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0) 的根有两相异实根x1，x2(x1x2) 有两相等实根x1x2b2a没有实数根ax2bxc0 (a0) 的解集x|xx2或xx1 x|xb2arax2bxc0 (a0) 的解集x|x1xx2?一个技巧一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的确定受a的符号、b24ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数yax2bxc(a0)的图- 2 - 象，数形结合求得不等式的解集若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2b

3、xc 0(或 0)( 其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc 0 有两个不等实根x1，x2，(x1x2)( 此时 b24ac0) ，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集两个防范(1) 二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2) 解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏双基自测1( 人教 a版教材习题改编) 不等式x23x20 的解集为 ( ) a( ， 2)( 1， ) b( 2， 1) c( ， 1) (2 ， ) d(1,2) 解析(x 1)(x2

4、) 0， 1x2. 故原不等式的解集为(1,2) 答案d 2(2011广东 ) 不等式 2x2x10 的解集是 ( ) a. 12，1b(1 ，)c( ， 1) (2 ， ) d. ，12(1，)解析2x2x1(x1)(2x1) 0，x 1或x12. 故原不等式的解集为，12(1 ， ) 答案d 3不等式9x26x10 的解集是 ( ) a.x|x13b. 13c.x| 13x13dr解析9x26x1(3x1)20，9x2 6x10 的解集为x|x13. 答案b - 3 - 4(2012许昌模拟) 若不等式ax2bx20 的解集为x| 2x14，则ab( )a 28 b 26 c28 d26

5、解析x 2，14是方程ax2bx20 的两根， 2a1412，ba74，a 4，b7. ab28. 答案c 5不等式ax22ax10 对一切xr恒成立，则实数a的取值范围为_解析当a0 时，不等式为10 恒成立；当a0时，须a0，0，即a0，4a2 4a0.0a1，综上0a1.答案0,1 考向一一元二次不等式的解法【例 1】?已知函数f(x) x22x，x0，x2 2x，x 0，解不等式f(x) 3. 审题视点 对x分x0、x0 进行讨论从而把f(x) 3 变成两个不等式组解由题意知x0，x22x3或x0，x2 2x3，解得：x1. 故原不等式的解集为x|x1 解一元二次不等式的一般步骤是：(

6、1) 化为标准形式；(2) 确定判别式 的符号；(3) 若 0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集【训练 1】 函数f(x) 2x2x3log3(3 2xx2) 的定义域为 _- 4 - 解析依题意知2x2x30，32xx20，解得x32或x1，1x3.1x3. 故函数f(x) 的定义域为 1,3) 答案1,3) 考向二含参数的一元二次不等式的解法【例 2】?求不等式 12x2axa2(ar)的解集 审题视点 先求方程12x2axa2的根，讨论根的大

7、小，确定不等式的解集解12x2axa2， 12x2axa20，即(4xa)(3xa) 0，令 (4xa)(3xa) 0，得：x1a4，x2a3. a 0时，a4a3，解集为x|xa4或xa3；a 0时，x20，解集为 x|xr且x0；a 0时，a4a3，解集为x|xa3或xa4. 综上所述：当a0 时，不等式的解集为x|xa4或xa3；当a0 时，不等式的解集为x|xr且x0；当a0 时，不等式的解集为x|xa3或xa4. 解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1) 二次项若含有参数应讨论是等于0，小于 0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2) 判断方程的根的个数，讨论判别

8、式 与 0 的关系(3) 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式【训练 2】 解关于x的不等式 (1 ax)21. 解由(1 ax)21，得a2x22ax 0，即ax(ax2)0，当a0 时，x?. 当a0 时，由ax(ax 2)0，得a2x x2a0，- 5 - 即 0 x2a. 当a0 时，2ax 0. 综上所述：当a0 时，不等式解集为空集；当a0 时，不等式解集为x0 x2a；当a0 时，不等式解集为x2ax 0 . 考向三不等式恒成立问题【例 3】?已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 审题视点 化为标准形

9、式ax2bxc 0 后分a 0 与a0 讨论当a0 时，有a0，b2 4ac0.解原不等式等价于(a2)x2 4xa 10 对一切实数恒成立， 显然a 2 时，解集不是 r，因此a 2，从而有a20，42aa0，整理，得a 2，aa0，所以a 2，a 3或a2，所以a2. 故a的取值范围是 (2 ， ) 不等式ax2bxc 0 的解是全体实数( 或恒成立 ) 的条件是当a0 时，b0，c0；当a0 时，a0， 0；不等式ax2bxc0 的解是全体实数( 或恒成立 ) 的条件是当a0 时，b0，c0；当a0 时，a0，0.【训练 3】 已知f(x) x22ax2(ar) ，当x 1， ) 时，f

10、(x) a恒成立，求a的取值范围解法一f(x) (xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa. 当a( ， 1) 时，f(x) 在 1， ) 上单调递增，f(x)minf( 1) 2a3. 要使f(x) a恒成立，只需f(x)mina，即 2a3a，解得 3a 1；当a 1， ) 时，f(x)minf(a) 2a2，- 6 - 由 2a2a，解得 1a1.综上所述，所求a的取值范围为 3,1 法二令g(x) x22ax2a，由已知，得x22ax2a0 在 1， ) 上恒成立，即 4a24(2 a) 0 或0，a 1，g解得 3a1.所求a的取值范围是 3,1 规范解答 12 怎样求解含参数不

11、等式的恒成立问题【问题研究】含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法. 【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题. 【示例】 ?( 本题满分14 分)(2011 浙江 ) 设函数f(x)(xa)2ln x，ar. (1) 若x e 为yf(x) 的极值点，求实数a；(2) 求实数a的取值范围，使得对任意的x(0,3e，恒有f(x) 4e2成立注： e

12、为自然对数的底数本题对于 (1) 问的解答要注意对于结果的检验，因为f(x0) 0，x0不一定是极值点；对于 (2) 问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多 解答示范 (1)求导得f(x) 2(xa)ln xxa2x (xa)(2ln x1ax) (2 分) 因为xe 是f(x) 的极值点，所以f(e) (e a) 3ae0，解得ae 或a3e. 经检验，符合题意，所以ae 或a3e.(4分) (2) 当 0 x1 时，对于任意的实数a，恒有f(x) 0 4e2成立 (5 分) 当 1x3e 时，由题意，首先有f(3e) (3e a

13、)2ln(3e) 4e2，解得 3e2ea3e2e(6 分) - 7 - 由(1) 知f(x) xa2ln x1ax.(8分) 令h(x) 2ln x1ax，则h(1) 1a0，h(a) 2ln a 0，且h(3e) 2ln(3e)1a3e2 ln(3e) 13e2e3e2ln 3e 13ln 3e0.(9 分 ) 又h(x)在 (0 ， ) 内单调递增，所以函数h(x) 在(0 ， ) 内有唯一零点，记此零点为x0，则 1x03e,1 x0a. 从而，当x(0，x0) 时，f(x) 0；当x(x0，a)时，f(x) 0；当x(a，) 时，f(x)0. 即f(x) 在(0，x0) 内单调递增，

14、在(x0，a) 内单调递减，在(a， ) 内单调递增所以要使f(x) 4e2对x(1,3e 恒成立，只要fx0 x0a2ln x04e2，fa22，成立 (11 分) 由h(x0) 2ln x01ax00，知a2x0ln x0 x0.(3) 将(3) 代入 (1) 得 4x20ln3x04e2. 又x01，注意到函数x2ln3x在(1 ， ) 内单调递增，故1x0e.再由 (3) 以及函数2xln xx在(1 ， ) 内单调递增，可得1a3e.由(2) 解得， 3e2ea3e2e. 所以 3e2ea3e.(13分) 综上，a的取值范围为3e2ea3e.(14分) 本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论证能力分析问题，解决问题的能力难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉【试一试】设函数f(x) ax33x1，若对于任 意x 1,1 ，都有f(x) 0成立，求实数a的值 尝试解答 (1) 若x 0，则不论a取何值，f(x) 10 恒成立(2) 若x 0，