秩亏自由网平差

1、秩亏自由网平差的研究刘 阳（江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ） 摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解. 本文主要利用MATLAB从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方

2、法的各自的优缺点,给出总结。关键词：秩亏自由网；平差；间接平差Research Rank Defect Free Network AdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, whe

3、n carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to

4、 following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters. The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and

5、 discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed

6、 answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言 在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。1 秩亏自由网平差1.1 秩亏自由网平差的提出在经典间接平差中，必须有足够的起算数据.当控制网中仅含必要的起算

7、数据，通常称为自由网.用经典方法平差这种网，俗称经典自由网平差.当控制网除必要的起算数据，还有多余的起算数据的网称为附合网，在间接平差时，不论是自由网还是附合网，当所选的参数不存在函数关系时，误差方程系数矩阵B总是列满秩的，即R(B)=t（t为必要观测）.由此得到的法方程系数阵的秩 法方程具有唯一解.在图（1）水准网中,假定的高程已知为，待定点、的高程平差值为，.各段路线长度为S，高差为等权观测，误差方程 图（1）的显式为法方程及其显式为 在误差方程系数阵B中，存在一个二阶行列式不等于零，如，故B的秩R（B）=2，即B为列满秩阵.由此法方程系数的秩R(N)=R(B)=2，所以法方程有唯一解为

8、这就是经典自由网平差情况. 上述间接平差函数模型还可以用下面方式组成：先设点的平差值，参与列误差方程，然后另，将作为参数的条件方程，于是其函数模型为 式中,其显式为 （即）可见俩种模型等价，平差结果相同.在这种情况下，误差方程的行列式等于零，即 其中有二阶行列式不等于零，故R(B)=2，数2为网中必要观测数，B为秩亏阵，其列亏数d=3-2=1，表示缺少一个起始高程，因此给定条件式，转化成附有限制条件的间接平差问题，可求其唯一解.秩亏自由网的法方程系数阵N奇异，即,故N的凯利逆不存在，法方程有无穷解.如何合理的求解这类平差问题，就是本文要讨论的秩亏自由网平差问题. 产生秩亏的原因是控制网中没有起

9、算数据，所以d就是网中必要起算数据的个数。1.水准控制网：水准观测值是两个控制点之间的高差。为了确定水准网中各水准点的高程，就必须至少有一个已知高程点作为全网起算数据。所以，水准网的基准数据的个数 。 2平面测角三角网：要推导各待定点的坐标，就必须有一个起算点坐标，还需要一个起算方位和一条起算边，或者有两个起算点坐标。所以，测角三角网的基准数据个数=4。2.测边三角网、边角同测三角网和导线网：必要起算数据有一个点的两个坐标和一个方位角，即这三种控制网的基准数据个数=3。3.三维控制网：三维控制网需要一个起算点（）、三个已知定向角（）和一条空间已知边长布，即需要7个起算数据；如果三维控制网中的观

10、测值包括空间边长，则必要起算数据的个数为6，即三维控制网的基准 =7（不含空间边长观测值），或=6(含空间边长观测值)。4.GPS控制网：为确定各待定点在空间坐标系中的三维坐标（），GPS控制网的必要起算数据只为一个点的三维坐标，所以GPS控制网得基准数为=3。1.2 秩亏自由网附加条件平差原理附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。秩亏自由网平差的函数模型为 （1-1）的列亏数，随机模型为 （1-2）按最小二乘原理，为非奇异，法

11、方程具有无穷多组解。一般，为了获得未知数参数的惟一解，给定基准条件为 （1-3）式中，而且 （1-4）左乘，即得 （1-5）行满秩，表示（1-5）式中个方程互不相关，条件（1-4）表示所增加的个条件与误差方程互独立。由（1-5）式知，是矩阵的个零特征值所对应的个互不相关的特征向量所构成的矩阵，可由的特征值方程求出。称为基准权，不同取值反映了所取的基准约束不相同，亦即对应了所选的基准。按最小二乘原理，令函数 （1-6）得法方程为 （1-7）将上式中第一式左乘，顾及（1-4）和（1-5）式得 （1-8）因二次型不能为零，故必有 （1-9）于是（1-6）式为 可见，秩亏自由网平差的最小二乘原则与未知

12、参数附加的基准约束无关，亦即 是一个不变量，平差所得的改正数不因所取基准约束不同而异，这是一个重要性质。将（1-7）中的第二式左乘后与第一式相加，顾及，可得 （1-10）系数阵满秩，令 （1-11）则参数估计为 （1-12）按协因数传播律，的协因数为 （1-13）若令 （1-14）则可得 （1-15）单位权方差估计为 （1-16）1.2.1 附加矩阵的S具体形式 由上面的公式可以看出附加矩阵S的具体形式为 一维的水准网，秩亏数 d=1 三维GPS网，秩亏数 d=3 二维测边网，秩亏数d=3 二维测角网秩亏数 d=4 以上均假设控制点总网点数为m.1.2.1 附加矩阵S的确定方法 在附加阵已知的

13、条件下，采用附加条件法进行秩亏自由网平差计算与经典方法一致。因此是常用的方法。下面将进一步讨论附加阵的确定方法。由线性代数的理论可知，法方程系数阵与它的特征值和特征向量之间的关系为 在秩亏自由网平差中，由于法方程系数阵为亏秩方阵，其秩亏数，所以，在中的个特征向量中，必有个零特征值。当=0时，为 在秩亏自由网平差中，附加阵应满足的条件是，所以，附加阵实际上就是矩阵零特征值所对应的特征向量。1.3 重心基准的秩亏自由网平差采用重心基准，基准权设为单位阵，=E，一般称为普通秩亏自由网平差平差的模型为 由公式 得到和 1.4 拟稳平差以拟稳基准的秩亏自由网平差称为拟稳平差.基准权为 式中，>d.

14、基准约束式为令 则拟稳平差的基准约束条件为 顾及上述关系式。 拟稳平差是全部网点分为俩个部分 ，是拟稳点的坐标参数，基准约束条件，仅包含参数.所以拟稳基准拟稳点组的重心基准平差.当所取的时，拟稳平差就转化为经典自由网平差.2 应用实例例 :如图的水准网中，观测高差距离和各带定点高程近视值列于表1中分别进行下列自由网平差.如下图:（1） 以6号点为固定点的经典自由网平差；（2） 以重心基准的自由网平差，P=E；（3） 以1 2 5 6 四个点为拟稳基准的拟稳平差，Px=diag（1 1 0 0 1 1）.观测数据与改正数 表-1名称大小序号（m）（km）（m）（mm）12345678986.80

15、925.71431.225-71.952-61.084-44.17810.84716.35011.409204.1188.7344.8149.2142.9250.0128.298.0196.10.0490.0530.0290.0670.0700.0400.0780.1020.051-0.00486.80614.86425.70631.21642.626单位权中误差0.023.47-6.389.04-7.55-1.914.412.561.50（1） 以6号点为固定点的经典自由网平差: (2)以重心基准的自由网平差，P=E ' (3) :以1 2 5 6 四个点为拟稳基准的拟稳平差，Px=diag（1 1 0 0 1 1）结 论通过以上分析和实例验证，在经典间接平差中，必须有足够的起算数据，所选的待定参数之间不存在函数关系时，误差方程的系数阵总是列满秩的，且秩等于必要观测数，法方程系数是一个对称的满秩矩阵，即法方程有唯一解.而秩亏自由网没有起算数据参与的并以待定点参数的网，误差方程不是列满秩，其相应的法方程系数阵为奇异