2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学(理)试题Word版含解析

1、3.若 = IOg30.3, ? = Iog03 0.2, c = O.2o 则（）2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学(理)试题一、单选题1.在复平面内，复数乙=二(i为虚数单位)的共轨复数对应的点位于()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】分析：首先求得复数K然后求解其共轨复数即可.详解：由复数的运算法则有:则Z=I-I,苴对应的点(1,-1)位于第四象限本题选择0选项.点睹：本题主要考査复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若集合A = -Lv2-5x-6>O, B = x2x>f 贝IJ(QA)B

2、=()A. x-lx<0B. x10VX6C. xl-2x<0D. xl<x3【答案】B【解析】求得集合 = aa-<-1或x>6, B = xlx>O,根据集合运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意， A = IXIX2 -5x-6 > = xIX < -1 JcX > 6), B = xl2A >l = xlx>, 则CRA = xl-lx6,所以(CA)B = jtI0<x6.故选B.【点睛】本题主要考査了集合的混合运算，英中解答中正确求解集合,B,结合集合的运算求解是解答的关键，着 重考查了推理与运算能力，属于基

3、础题.A. a <b<cB. b<c<aC. a<c<b).b<a<c【答案】C【解析】利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc取值范用，进而比较大小。【详解】a = Iog3 0.3 < O , b = Iog03 0.2 > Iog03 0.3 = 1 C = O.203 <0.2° =1,且c>0,则OVCVl .a<c<b故选C【点睛】对数式和指数式比较大小题型，通常将数与0、1、2或-1等比较，确泄范用，再比较大小。4. 已知向量B = (-l,-2), BC = (X,5),若AB-BC

4、 = -J, AC=()A. 5B. 42C. 6D. 52【答案】A【解析】利用向量的数量积的运算公式，求得x = -3,再根据向量的模的讣算公式，即可求解.【详解】 由题意，因为 ABBC = -7 » 即 ABBC = -X-0 = -l 解得 x = -3,又由 AC = AB+ BC = (-4,3),所lACl = (-4)2+32 =5.故选A.【点睛】本题主要考査了向量的数疑积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式, 以及向疑的模的计算公式，准确讣算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.r + i r5. 函数y = l的部分图

5、象大致为()l + «rA.B.XD.c - V<A【答案】B【解析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确立函数的正负情况。【详解】f(-x) = .v + sin V) = -:v"sin A = -/(X),故奇函数，四个图像均符合。1 + jrl + «vx* + sin X当 XW(Oe 时，SinX>0, y = -_>0,排除 C. D1 + 2X + X当xy2)时，sinx<0, y =>0,排除A。1 + JC故选B。【点睛】 图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性.

6、及特殊值。6. 为了测量铁塔刃的高度小刘同学在地面A处测得铁塔在东偏北19 7彷向上塔顶丁处的仰角为30 ,小刘从A处向正东方向走140米到地面处，测得铁塔在东偏北797方向上，塔顶厂处的仰角为60 ,则铁塔OT的高度为（）A. 20T 米B. 257 米c. 202?米D. 252?米【答案】C【解析】应用举例问题，注意分析角度，ZBOA = 79 7-19 7 = 60 .设所求为未知疑再利用余弦泄理列 方程，解方程。【详解】设 OT = x.5 中OA £ =岳,RbOBT 中,OB = -r = Xtan 603OAB 中，由余弦左理 AB2 = OA2 + OBI- 2OA

7、 OB CoS6014°2=()2÷(T-2f解得 x = 202T>故选C7. 在平面直角坐标系Xoy中，角&的顶点为0,始边与X轴正半轴重合，终边过点(-2,-14),则Sin a +=()A.Z4B,-1±4D.M47-l4【答案】D【解析】根据三角函数的定义，求得Si"-乎，字再利用两角和的正弦公式，即可求解.【详解】根据三角函数的定义,可得Sin-乎，CoSa = -又由Sin a += _sin2f 142一一丁)l + 74故选D【点睛】 本题主要考査了三角函数的立义，以及两角和的正弦公式的化简求值问题其中解答中熟记三角函数的

8、左 义，以及熟练应用两角和的正弦公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 已知非零向量"，忌满足5 + 25 = 7,"丄(a-2b),则向量方，厶的夹角为()B. 4、£"3【答案】CD2【解析】由“丄（“-2/；）,利用向量的数量积的运算公式，求得-.j-H ,再利用模的运算，化简得到2a=b ,最后利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由Z丄（“一刀；），即P一龙坊=o,可得方.牙 卫，1 1 2又由 a + 2b = 77f,可得：+4ii>b + 4 h =7 a , a. b 联立可得 a = b ,所以c

9、os<a.b>=- = -9a b Z又由 Va.b >0, » 所以 V “,/?>=彳.故选C.【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，英中解答中熟记向量的数量枳的运算公式，以及向疑的模的运算 公式，准确计算是解答的关键，着重考査了推理与运算能力，属于基础题.9. 关于复数z = + yi,yR）t下列命题z+ = l,则+（y + i）2 = i;Z为实数的充要条件,y = ;若N是纯虚数，贝trO;若- = 1 + /,则+y = l其中真命题的个数为（）ZA. 1B 2C. 3D.4【答案】C【解析】对于中，根据复数的模的计算公式，即可判左是正确

10、的；对于中，根据复数的槪念与分类， 即可判左是正确的；对于中，根据复数的运算与复数的概念，即可判泄是正确：对于中，根据复数的 运算和复数相等的条件，即可判左不正确.【详解】由题意，对于中，因为Z + = L根据复数的模的计算公式，可得yx2+(y + =1,即x2+(y + l)2=l,所以是正确的：对于中，若复数2为实数，根据复数的概念，可得y = 0,反之，当>'=0时，复数Z为实数，所以是正确的：对于中，N = (X+)”)： = y +力，若N是纯虚数，则>' = 0Kj0,所以正确：对于中，由一= l + i,即Z =i,所以X = y = »所

11、以x + y = O,所以不正确：Z+i2222综上为真命题，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的运算，英中解答中熟记复数的基本概念和复数的分类，以及 复数的运算法则是解答的关键，着重考査了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10. 若曲线/W = (Or-I)ev2在点(2,/(2)处的切线过点(3,3),则函数.f (x)的单调递增区间为() A. (O,+8)B. (y,0)C. (2,4o)D. (y,2)【答案】A【解析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间。【详解】. f(x) = (OX 一 1)广2, /(2)= (2 -I)

12、O= 2a 一 1求导 f) = UeX-I + (OX - l)ex2 1 = (ax+a-V)ex2S=厂(2) = (3d-1)疋=3-1.-.k =- = 4 - 2“ = 3。-1 解得 U = 1-J 3-2f(x) = (X-l)ex2, f ,(x) = 1 ex2 + (X - )ex2 = Xez.rZ>o,则当>0时，,W>0则/(Aj的单调递增区间是(0, + O) O故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率。已知两点坐标也可求斜率。本题还考察了导数在研究函数性质中的应用。11. 已知函数/(x) = ISinXI+cos,则下列说

13、法正确的是()A. 函数/(x)的图象关于直线x = Zc(Z)对称B. 函数门)在兀,2刃上单调递増C. 函数f(x)的图象关于点“+ f,j("Z)对称D. 函数f (%)的值域为-71 【答案】A【解析】分情况讨论，去绝对值，再讨论函数性质。【详解】函数W在lTn4上单调递增，在上单调递减，故B错误。分类讨论：当 sinx0 时，X 2, + 2k (k Z) J'(x) = sinx + cosx = Vsin(x + f)当 SinxvO 时，X - + 2kr, 2k k Z),(x) = -Sin X + COS X = 一迈Sin(X 一 彳)周期2兀，图像关

14、于直线x = k伙WZ)对称，故A正确。函数/U)无对称中心，故C错误。 函数/(X)值域为L2故D错误。 故选A。【点睛】对于绝对值函数应分类讨论，形成分段函数，必要的时候可以画出简图，简要判断。12. 已知函数/(-) = v-x2, g(x) = "A： Y弓，若方程g(x) = 0有四个不等的实数根，则实a 一 2x, x< 0数d的取值范围是()B(0,4)D. (yo,0)U(4,*o)A. (-4,0)C. (P,-4) U(O,÷oc)【答案】D【解析】由方程g(E) = O有四个不等的实数根，分>0, d=O和“<0三种情况分类讨论，结合

15、二次 函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，当">0时，由g(7) = 0,解得r = o或t=at又由(/(A) = 0,可得/(兀)=0或f(x) = a,此时方程/(X) = 0有两解，方程/(x) = d要有两解时，A = 2-4">0,解得">4,当“ =0时，由g(/(x) = 0 ,即/(x) = 0,可得F=O只有一解，当"<0时，由g(f) = 0得=0或/ = #,又由g(f(x) = 0化为/(x) = 0或/() = f,方程/(X) = 0有两解，只要f(x) = 两解，即方程x2-ax

16、+ = 0有两解，贝IJtz2-2t>O.解得“ <0.2 2综上，QW(Yo,0)U(4,o).【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，英中解答中正确理解题意，合理利用二次函数的图象与性质是解 答的关键，着重考査了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.二、填空题13. 若f"-)dx =春，贝M=.【答案】1【解析】根据泄积分的运算，得到'i(6-)6Zv = (-1)L1,代入即可求解.【详解】由 J («-A：2)6Z.v = (i/x-x3) ILI= («-)-(-« + -)=,解得a = .故答

17、案为：1.【点睛】本题主要考查了左积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键.着重考查了 推理与运算能力，属于基础题.14.已知sin(+0) = -l,tana tan 3【答案】弓 【解析】用两角和与差的正弦公式拆解两个已知条件，分別求岀SiIgCOS0和COSaSin0的值，比值即为最 后所求。【详解】sin( + 0) = Sin a COS P + COS sin 0 = 17sin( - /7) = SinQf COS P - COS a Sin 0 = -牙7 6 + 得：SinaCOS/7 = -(-1-)=- -225251 79(D-得：COSaSin

18、 0 = (一1)=2 2525两式相除:SinaCOS0 _ tana _ 16COSaSin tan 97【点睛】 两角和与差的正弦公式，解得SinaCoSZ7和CoSaSin0并构造所求式子。15. 已知四边形ABCD是平行四边形，点E在CB的延长线上，BC = 3, AE=AB = . ZC = 30 若AE=XAB+yAD,则【答案】2【解析】平而向量线性运算表示，平而向量基本左理以而与丽为一组基底，进行化简。【详解】 由 AB = AE = I, ZABE = ZC = 30,得 B E = 3 ： bc = 3, ：. BC = be，：瓦=-至更 AE = AB+ BE = A

19、B-BC = AB-AD x = l， ，= _ 迈，-3y = l + l = 2.3 33【点睛】平面向量的平行四边形法则，以两条邻边为基底，表达苴他向呈。是解题的关键。16. 已知函数f(x) = sin2x+2cosx,则/(x)的最大值为【答案】主2【解析】求得函数的导数.厂(X) = 2-4sh?x_2SinX,利用导数求得函数/(x)1一个周期内的单调性, 进而求得函数/(x)的最值，得到答案.【详解】由题意，函数/(X) = Sin2x+2COSX,贝J/,(-V) = 2cos2%-2sinX = 2-4sin2x-2SinXt令 f,(x) > 0,即 2sin2 x

20、 + sinx-1 >0 .解得一 IVSinX v£,当x0,2-1时，门兀)的单凋增区间为0,2单调减区间为(-,)>6 6 6 6又由=/(2-) = 2,I 6丿2可得在一个周期内，函数_/(")最大值为学，即函数的最大值为学故答案为：墮.2【点睛】本题主要考査了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值(最值)之 间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题三、解答题17. 已知卩：函数.f(x) = x2-(加+4)x+6 在(1,+OC)上是增函数，q： V?, x2+ax+2a-3>01 若PMF)是

21、真命题，求实数的取值范围.【答案】e(OO,-1【解析】本题是组合命题真值判断，先分别求解P真和q貞时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判 断P，q的真假。进而求参数取值范围【详解】解：P真时，+2l, a-,Q真时，c -4(2-3) = 若abt 求sinx(COSX+3SinX)的值； 若f (-) = (c； + /；+ 2Sin弓，将函数/ (兀)的图象向右平移壬个单位长度后，得到函数8 ( V)的图象, 求函数g(X)的表达式及g (%)的最小正周期.【答案】 耳(2) g(x)=4sin首+ 6,最小正周期为4厂X【解析】(1)由向量平行求解tan-,再求tanx,利用齐次式求

22、解。2(2)平而向量数量枳运算求得/U)解析式，经过图像平移，求g(Q解析式及周期。【详解】I2tan I_JVXX z? 4解：(1)由 a Il Z?,得 COS = 2sin 9 tun = 9 * tax = «2222 2 X 3 -8 + 12<0,2v<6,F为真时，d»6或d2,V PA(F)为真，"与TZ都为真，. d-l,即dw(>,-l.【点睛】且命题：全真为真，一假即假。非命题：与原命题真值相反。l-tjrr 2(2) /(x) = (n+/?) + 2sin =2COS + 22Sin + 12+ 2sin ，2= 4c

23、os÷2sin÷6÷2sin = 4sin.g(x) = 4sin 怎一彳+ ；+ 6 = 42Sin-+ 6,最小正周期为T = S【点睹】（1）利用齐次式解决问题时候注意1的妙用。（2）平而向量数量积运算，满足实数的乘法分配律，可直接进行化简。19在ABC中，内角A, B9 C的对边分别为, b9 c9 K（1）求角C的大小；13（2）若q = 7. CoS（A+ C） = -,求ABC的面积【答案】（I） C =芈：（2） 空.3 4【解析】（1）由正弦立理化简可得a2+b2-C2 =ab.再由余弦泄理，求得COSC =-1,即可求得C的大小:（2）由题设条

24、件求W护S岭罟，再由正弦泄理可得"3,利用面积公式，即可求解.【详解】因为 A + C = 7T-B,可得(d+b)SinB = CSinC-sin4,又由正弦定理,得(a+b)b = c2-a2t 即a2+b2-c2 =-ab , 由余弦定理，得COSC = "7LY =丄0vC<", C = HcosB = -cos(A÷C) = 可得SinB = JIY心=誓又因为c = 7.由正弦立理可得b = - = 3,SInC又由 SinA = Sin(B+ C) =Sin B cos C + COS BSinC = '転14.MBC的而枳S

25、 = ACSinA =于【点睛】本题主要考查了正弦肚理、余弦左理和三角形的而积公式的应用其中在解有关三角形的题目时，要抓住 题设条件和利用某个怎理的信息，合理应用正弦左理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求 解能力，属于基础题.20. 已知函数/(x) = COS亦(Jsino-COS亦)(ty>O), A, B分别是曲线v = ()±的一个最高点 和一个最低点，且IABl的最小值为 伫二.(1)求函数/()的单调递增区间和曲线y = ()的对称中心的坐标;恒成立，求实数加的取值范围.(2)若不等式(x)-An Vl 对Xe - 【答案】(1)单调增区间为k-,k +

26、 (ZreZ),对称中心坐标为(k 1 VfI T+ 12'2J(Z)：【解析】(1)化简函数/(X)=Sinl 2x-,根据IABl的最小值为得到/W = sin-亍 再利用三角函数的图象与性质，即可求解.2x- L进而得到函数/(x)的值域，即可求得实数川的6取值范用.【详解】(1)由题意，函数 f(x) = ysinxCOSx-cos2 x = Sin 2x- 1 c°s-fA ,2 2= Sin 2x-6丿21，可得最小正周期为"參因为IABl的最小值为(fjy、-,解得T = Trt所以。=1,丿2+ 4,即所以/(H =由一- + 2k 2x- + 2k

27、(k eZ),kr-xk + -(k Z)l26263所以函数/(x)的单调增区间为k-,k + (ReZ),又由 2x = k7(k Z),解得X- - + k Z),即曲线y = ()的对称中心坐标为(÷-z) ,可得- 5-75s2x- 9 2x-所以-12 2_36 62 I 6丿Sl,又由XWIfl < 1,可得/(x)-l<H</(x)+l,由 (x)-m< 1 对 XU寻日恒成立，所以齐SVl-甲,【点睛】本题主要考査了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典，解答本 题时，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论

28、函数的性质，本题易错点在于忽视函数的泄义域导 致错解，试题难度不大，能较好的考査考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.21. 已知函数/(x) = r3-6x2+l, awR.(1) 当d = 2,氏3,3时，求函数代兀)的最大值；(2) 若函数/(x)存在唯一零点忑，K>0,求实数的取值范围.【答案】(1)1：(2) "g(p,-4).【解析】(1)当d = 2时，求得广(x) = 6x(x-2),根据导数求得函数的单调性，进而求得函数的最大值, 得到答案.(2)求得fx) = 3ax2 -2x = 3x(v-4),分类讨论求得函数的单调区间，结合题意和函数零点的概念

29、, 即可求解.【详解】(1) 当a = 2时，函数/() = 2-6 + l,则 ,() = 6-12t = 6x(-2),当XCo或>2时，,(x)>0;当Ovxv2时，广(JV)V0,所以函数/()-3,0, 2,3上单调递增，在0,2上单调递减，又由/(0) = h /(3) = 54-54+1 = 1,所以-3,3时，/(x)的最大值为1.(2) 由函数/(x) = x3-6x2+l,则f ,(x) = 3r-12X = 3x(r-4), 当心0时，由,()>0,得XVo或x>土，/(x)在(Y),0上是增函数，又由/(-1) = z-6+1 = -5<0

30、, /(0) = l>0, f(x)在(一1,0)上有零点，不合题意， 当“ =0时，/(x) = l-6 =0有两个实数根，即函数f(x)有两个零点，不合题意，4 4 当“<0 时，由 (x)>0,得一vxv,由 ,(x)<0,得 xv 或 x>0,aa所以函数/'(x)单调增区间为pL单调减区间为(-sf , 0,+O),因为函数/()存在唯一零点X。，且>0,432则满足 / =1>0,即 Cr > 32 因为"<0,所以 CI < ,a)Cr又由 /() = 3 -6f+1 = /(-/ -6)+ l <

31、;-«2-6+1 = -2-5<0 > 且/(O) = L所以/(X)有唯一零点X。，且XUe(°'M),所以实数的取值范羽是( =O,-4j.【点睛】本题主要考査导数在函数中的综合应用，着重考査了转化与化归思想、逻辑推理能力与汁算能力，对导数 的应用的考査主要从以下几个角度进行：(1)考査导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程：(2)利 用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数：(3)利用导数求函数的最值(极值), 解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22. 已知函数 ()=1-ln -, g(x) = ei-丄.