2012届高考数学第一轮总复习 2-5函数的奇偶性与周期性经典实用学案 ppt课件

1、根底知识根底知识一、函数的奇偶性一、函数的奇偶性1 1普通地，对于函数普通地，对于函数f(x)f(x)，假设对于定义域内每一，假设对于定义域内每一个个x x，都有，都有f(f(x)x) ，那么函数，那么函数f(x)f(x)就叫就叫奇函数；都有奇函数；都有f(f(x)x) ，函数，函数f(x)f(x)叫偶函叫偶函数，奇偶函数的定义域是数，奇偶函数的定义域是 ( (大前大前提提) )f(x)f(x)关于原点对称的关于原点对称的2 2函数可分为函数可分为( (按奇偶按奇偶性性) )： 、 、 、 任何一个定义域对称任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即的非奇非偶函数都

2、可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)f(x) 奇函数奇函数偶函数偶函数既奇既奇且偶函数且偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数3 3根本性质：在公共定义域上，两函数有：奇奇根本性质：在公共定义域上，两函数有：奇奇 ，偶偶，偶偶 ，奇奇，奇奇 ，偶偶，偶偶 ，奇奇，奇奇 ，偶偶，偶偶 ( (分母分母不为零不为零) )奇函数的反函数是奇函数的反函数是 ，假设奇函数的定义，假设奇函数的定义域包含域包含0 0时，那么时，那么 . .4 4图象特征：奇函数图象关于图象特征：奇函数图象关于 对称；偶对称；偶函数图象关于函数图象关于 对称；反之亦然对称；反之亦然奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇函数奇函数f(0)

3、0原点原点y轴轴5 5断定方法：首先看函数的断定方法：首先看函数的 ，假设对称，再看：，假设对称，再看：f(x)f(x)是奇函数是奇函数f(f(x)x) f(f(x)x)f(x)f(x) 图象图象 对称；对称；f(x)f(x)是偶函数是偶函数f(f(x)x) f(f(x)x)f(x)f(x) f(x)f(x)f(|x|)f(|x|) 图象关于图象关于 对称对称定义域能否关于原点定义域能否关于原点对称对称f(x)01(f(x)0)关于原点关于原点f(x)01(f(x)0)f(x)y轴轴6 6推行：推行：y yf(af(ax)x)是偶函数是偶函数f(af(ax)x) f(x)f(x) f(x)f(

4、x)关于关于 对对称；类似地，称；类似地，f(af(ax)x)f(bf(bx)x)f(x)f(x)关于关于x x 对称对称y yf(bf(bx)x)是奇函数是奇函数f(bf(bx)x) f(x)f(x)关于关于 成中心对称图形；类似地，成中心对称图形；类似地，f(af(ax)x)f(bf(bx)x)f(x)f(x)关于关于( ( ，0)0)中心对称中心对称f(ax)f(2ax)xaf(bx)(b,0)7 7一些重要类型的奇偶函数：一些重要类型的奇偶函数：函数函数f(x)f(x)axaxa ax x为为 函数，函数函数，函数f(x)f(x)axaxa ax x为为 函数；函数；函数函数f(x)f

5、(x) (a0 (a0且且a1)a1)为为 函数；函数；函数函数f(x)f(x)logaloga为为 函数；函数；函数函数f(x)f(x)loga(xloga(x) )为为 函数函数奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶二、函数的周期性二、函数的周期性1 1对于函数对于函数f(x)f(x)，假设存在一个，假设存在一个 常数常数T T，使得当，使得当x x取定义域内的取定义域内的 值值时，都有时，都有 ，那么函数，那么函数f(x)f(x)叫做周期函数，非零常数叫做周期函数，非零常数T T叫叫f(x)f(x)的的 假设一切的周期中存在一假设一切的周期中存在一个个 ，那么这个，那么这个 就叫就叫f(x)f(x)的最小

6、正周期的最小正周期2 2周期函数周期函数 有最小正周期，有最小正周期，假设假设T0T0是是f(x)f(x)的周期，那么的周期，那么kT(kZkT(kZ，k0)k0)也一定是也一定是f(x)f(x)的周期，周期函数的定的周期，周期函数的定义域无义域无 界界非零非零每一个每一个f(xT)f(x)周期周期最小的正数最小的正数最小正数最小正数不一定不一定上、下上、下3 3设设a a为非零常数，假设对为非零常数，假设对f(x)f(x)定义域内的恣意定义域内的恣意x x，恒有以下条件之一成立：恒有以下条件之一成立：f(xf(xa)a)f(x)f(x)；f(xf(xa)a) ；f(xf(xa)a) ；f(x

7、f(xa)a) ；f(xf(xa)a) ；f(xf(xa)a)f(xf(xa)a)，那么，那么f(x)f(x)是是 函数，函数， 是它的一个周期是它的一个周期( (上述式子分母不上述式子分母不为零为零) )周期周期2a假设假设f(x)f(x)同时关于同时关于x xa a与与x xb b对称对称(ab)(a0)T(T0)，那么，那么f( )f( )_._.解析：解析：f( )f( )f(f( ) )又又f(f( ) )f(Tf(T ) )f( )f( )故故f( )f( )0.0.答案：答案：0 05 5(2021(2021重庆，重庆，12)12)假设假设f(x)f(x) a a是奇函数，那么是

8、奇函数，那么a a_._.解析：解析：f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，f(f(x)x)f(x)f(x)，答案：答案：【例【例1 1】判别以下函数的奇偶性】判别以下函数的奇偶性 命题意图命题意图 此题主要调查对函数奇偶此题主要调查对函数奇偶性定义的了解性定义的了解 解答解答 (1)(1)由由 0 0，得定义，得定义域为域为 1,1)1,1)，不关于原点对称，故，不关于原点对称，故f(x)f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数(3)(3)当当x0 x0 x0，那么，那么f(f(x)x)( (x)2x)2( (x)x)x2x2x xf(x)f(x)当当x0 x0时，时，x0 x1f(2)1，f(3

9、)f(3)a a，那，那么么( () )A Aaa3a3C Caa1a1 解析解析 f(xf(x5)5)f(x)f(x)，f(3)f(3)f(f(2 25)5)f(f(2)2)，又，又f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，f(f(2)2)f(2)f(2)，又，又f(2)1f(2)1，aa1 1，选择选择C.C. 答案答案 C C设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，且上的奇函数，且y yf(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x x 对称，那么对称，那么f(1)f(1)f(2)f(2)f(3)f(3)f(4)f(4)f(5)f(5)_._.解析：解析：f(x)f(x)在在R

10、R上为奇函数，上为奇函数，f(f(x)x)f(x)f(x)，且有，且有f(0)f(0)0.0.又又yyf(x)f(x)的图象关于的图象关于x x 对称，对称，f( f( x)x)f( f( x)x)，f(1f(1x)x)f f ( ( x)x)f f ( ( x)x)f(f(x)x)f(x)f(x)f(2f(2x)x)f(1f(1x)x)f(2f(2x)x)f(x)f(x)函数的周期为函数的周期为2 2，且，且f(1)f(1)0.0.f(1)f(1)f(2)f(2)f(3)f(3)f(4)f(4)f(5)f(5)f(1)f(1)f(0)f(0)f(1)f(1)f(0)f(0)f(1)f(1)0

11、.0.答案：答案：0 0总结评述：此题调查函数的奇偶性、对总结评述：此题调查函数的奇偶性、对称性、周期性等函数性质称性、周期性等函数性质. .【例【例3 3】(2021(2021朝阳模拟朝阳模拟) )知函数知函数f(x)f(x)是定义域为是定义域为R R的奇函数，且它的图象关于的奇函数，且它的图象关于直线直线x x1 1对称对称(1)(1)求求f(0)f(0)的值；的值；(2)(2)证明函数证明函数f(x)f(x)是周期函数；是周期函数；(3)(3)假设假设f(x)f(x)x(0 x1)x(0 x1)，求，求xRxR时，时，函数函数f(x)f(x)的解析式，并画出满足条件的的解析式，并画出满足

12、条件的函数函数f(x)f(x)至少一个周期的图象至少一个周期的图象 解析解析 (1)(1)由于函数由于函数f(x)f(x)是奇函数，所是奇函数，所以以f(f(x)x)f(x)f(x)，又，又f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，令令x x0 0，那么，那么f(f(0)0)f(0)f(0)，所以，所以f(0)f(0)0.0.(2)(2)证明：由于函数证明：由于函数f(x)f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(x)f(x)f(f(x)x)又又f(x)f(x)关于直线关于直线x x1 1对称，所以对称，所以f(f(x)x)f(2f(2x)x)，即即f(xf(x2)2)f(x)f(x)所以所以

13、f(xf(x4)4)f(xf(x2)2)22f(xf(x2)2) f(x)f(x)f(x)f(x)所以所以f(x)f(x)是以是以4 4为周期的周期函数为周期的周期函数. . (3)(3)解：设解：设1x01x0，那么，那么00 x1x1，所，所以以f(f(x)x)x x，又，又f(f(x)x)f(x)f(x)，所以当所以当1x01x0时，时，f(x)f(x)x x，即，即f(x)f(x)x.x.又由于又由于f(0)f(0)0 0，所以当所以当1x11x1时，时，f(x)f(x)x.x.当当1x31x3时，时，33xx1 1，那么，那么1212x1x1，所以所以f(2f(2x)x)2 2x x

14、，而，而f(x)f(x)关于直线关于直线x x1 1对称，对称，所以所以f(2f(2x)x)f(x)f(x)，所以，所以f(x)f(x)2 2x(1x3)x(1x3)，那么那么f(x)f(x)那么那么f(x)f(x) 总结提示总结提示 (1)(1)假设奇函数假设奇函数f(x)f(x)在在x x0 0处有定义，那么处有定义，那么f(0)f(0)0.(2)0.(2)假设函数假设函数f(x)f(x)对定义域内的恣意对定义域内的恣意x x都有都有f(af(ax)x)f(af(ax)x)，那么函数，那么函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x xa a对称，反之也成立对称，反之也成立函数函数f

15、(x)f(x)的定义域为的定义域为D Dx|x0 x|x0，且满，且满足对于恣意足对于恣意x1x1、x2Dx2D，有，有f(x1x2)f(x1x2)f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)(1)(1)求求f(1)f(1)的值；的值；(2)(2)判别判别f(x)f(x)的奇偶性并证明；的奇偶性并证明；(3)(3)假设假设f(4)f(4)1 1，f(3xf(3x1)1)f(2xf(2x6)36)3，且，且f(x)f(x)在在(0(0，)上是增函数，上是增函数，求求x x的取值范围的取值范围解：解：(1)(1)令令x1x1x2x21 1，有，有f(1f(11)1)f(1)f(1)f(1)f(1)，解

16、得，解得f(1)f(1)0.0.(2)(2)令令x1x1x2x21 1，有，有f(f(1)1)( (1)1)f(f(1)1)f(f(1)1)解得解得f(f(1)1)0.0.令令x1x11 1，x2x2x x，有，有f(f(x)x)f(f(1)1)f(x)f(x)，f(f(x)x)f(x)f(x)f(x)f(x)为偶函数为偶函数(3)f(4(3)f(44)4)f(4)f(4)f(4)f(4)2 2，f(16f(164)4)f(16)f(16)f(4)f(4)3.3.又又f(3xf(3x1)1)f(2xf(2x6)36)3即即f(3xf(3x1)(2x1)(2x6)f(64)6)f(64)( (*

17、 *) )f(x)f(x)在在(0(0，)上是增函数，上是增函数，(* *) )等价不等式组等价不等式组或或即即 或或3x53x5或或总结评述：这种利用函数满足某一等式，总结评述：这种利用函数满足某一等式，判别其奇偶性问题，主要是利用取特殊判别其奇偶性问题，主要是利用取特殊值法，如此题中可令值法，如此题中可令x1x11 1，x2x2x x，使式子中出现使式子中出现f(f(x)x)与与f(x)f(x)，然后再一，然后再一步步地思索还需求步步地思索还需求f(f(1)1)，f(1)f(1)，依然，依然用取特殊值法求解笼统函数不等式，用取特殊值法求解笼统函数不等式，主要是利用函数的单调性再结合函数其主要是利用函数的单调性再结合函数其他性质脱去符号他性质脱去符号“f“f1 1奇偶性是函数在定义域上的整体性质，奇偶性是函数在定义域上的整体性质，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域函数具有奇偶性的必要条件是其定域函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，一个函数是奇义域关于原点对称，一个函数是奇( (偶偶) )函数的充要条件是其函数图象关于原点函数的充要条件是其函数图象关于原点(y(y轴轴) )对称对称2 2奇偶性定义是判别函数奇偶性的主要奇偶性定义是判别函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判别，有时需求