2012届高考数学第一轮总复习 2-4函数的单调性经典实用学案 ppt课件

1、根底知识根底知识一、单调性定义一、单调性定义1 1单调性定义：给定区间单调性定义：给定区间D D上的函数上的函数f(x)f(x)，假设对于假设对于 D D，当，当x1x2x1x2时，都时，都有有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，那么，那么f(x)f(x)为区间为区间D D上的增函上的增函数对于数对于 D D，当当x1x2x12 2证明单调性的步骤：证明函数的单调性证明单调性的步骤：证明函数的单调性普通从定义入手，也可以从导数入手普通从定义入手，也可以从导数入手(1)(1)利用定义证明函数单调性的普通步骤是：利用定义证明函数单调性的普通步骤是： ； ； (2)(2)设函数设函数y yf(

2、x)f(x)在某区间内可导在某区间内可导假设假设f (x) 0f (x) 0，那么，那么f(x)f(x)为增函数；假为增函数；假设设f (x) 0f (x) 0，那么，那么f(x)f(x)为减函数为减函数任取任取x1、x2D，且，且x1二、单调性的有关结论二、单调性的有关结论1 1假设假设f(x)f(x)，g(x)g(x)均为增均为增( (减减) )函数，那么函数，那么f(x)f(x)g(x) g(x) 函数函数2 2假设假设f(x)f(x)为增为增( (减减) )函数，那么函数，那么f(x)f(x)为为 函数函数3 3互为反函数的两个函数有互为反函数的两个函数有 的单调性的单调性4 4y y

3、fg(x)fg(x)是定义在是定义在M M上的函数，假设上的函数，假设f(x)f(x)与与g(x)g(x)的单调性一样，那么其复合函数的单调性一样，那么其复合函数fg(x)fg(x)为为 ；假设；假设f(x)f(x)与与g(x)g(x)的单调性相反，那的单调性相反，那么其复合函数么其复合函数fg(x)fg(x)为为 5 5奇函数在其对称区间上的单调性奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶；偶函数在其对称区间上的单调性函数在其对称区间上的单调性 仍为增仍为增(减减)减减(增增)一样一样增函数增函数减函数减函数一样一样相反相反三、函数单调性的运用有：三、函数单调性的运用有：(1)(1)利用函数的单调性

4、可以比较函数值或利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小自变量值的大小(2)(2)求某些函数的值域或最值求某些函数的值域或最值(3)(3)解证不等式解证不等式(4)(4)作函数图象作函数图象易错知识易错知识一、不了解函数单调性概念而失误一、不了解函数单调性概念而失误1 1函数函数f(x)f(x) 的单调减区间为的单调减区间为_答案：答案：( (，0)0)和和(0(0，)2 2知知f(x)f(x)为偶函数，在为偶函数，在(0(0，)为减函数，假设为减函数，假设f( )f( )0 0f( )f( )，那么方程，那么方程f(x)f(x)0 0的根的个数是的根的个数是_答案：答案：2 2二、求函

5、数的单调性时忽视函数定义域而失误二、求函数的单调性时忽视函数定义域而失误3 3函数函数y ylog0.7(x2log0.7(x23x3x2)2)的单调性为的单调性为_答案：在答案：在( (，1)1)上为增函数，在上为增函数，在(2(2，)上为上为减函数减函数三、函数与方程思想运用失误三、函数与方程思想运用失误4 4假设假设 那么那么a a，b b，c c的大小关系为的大小关系为_答案：答案：c ca ab b解题思绪：方法一：解题思绪：方法一：方法二：构造函数方法二：构造函数f(x)f(x) (x (x0)0)，yy . .令令yy 0 0，lnxlnx1 1，xxe.e.f(x)f(x) 在

6、在(e(e，)上是减函数，在上是减函数，在(0(0，e)e)上是增函数上是增函数解法一：解法一：a a . .554 43 3e e，f(5)f(5)f(4)f(4)f(3)f(3)bba ac.c.解法二：由解法二：由y y 在在(e(e，)上为减函数，上为减函数，又又e e3 35 5， ，bbc.c.a ac c (6a (6a6b)6b) (ln8 (ln8ln9)ln9)0 0，aab.b.a ac c (10a (10a10b)10b) (ln32 (ln32ln25)ln25)0 0，aac c，故，故b ba ac.c.错因分析：误区错因分析：误区1 1：解题思绪不清，找不到解

7、题方法，：解题思绪不清，找不到解题方法，不会构造函数不会构造函数f(x)f(x) (x (x0)0)；误区误区2 2：能构造出函数，判别出函数单调性，但：能构造出函数，判别出函数单调性，但2 2、3 3、5 5不在一个单调区间，而不在一个单调区间，而a a 这这一巧变学生很难过渡解法二中比较一巧变学生很难过渡解法二中比较a a、b b，a a、c c的的技巧，在于系数找最小公倍数技巧，在于系数找最小公倍数启示：思想方法是数学中调查的一个重点，方法灵启示：思想方法是数学中调查的一个重点，方法灵敏多变，平常学生留意多积累敏多变，平常学生留意多积累回归教材回归教材1 1以下函数中，在区间以下函数中，

8、在区间(0,2)(0,2)上是增函上是增函数的是数的是( () )A Ay yx x1 1B By yC Cy yx2x24x4x5 5 D Dy y解析：解析：A A是减函数，是减函数，B B中中y2y2x(xx(x0)0)由二次函数的图象可知由二次函数的图象可知x(0,2)x(0,2)上是增上是增函数，函数，C C中中y y(x(x2)22)21 1在在x(0,2)x(0,2)上上是减函数，是减函数，D D是反比例函数是减函数是反比例函数是减函数答案：答案：B B2 2( (教材教材P1601P1601题改编题改编) )函数函数y y(2k(2k1)x1)xb b在在( (，)上是减函数，

9、那么上是减函数，那么( () )A Ak k B Bk kC Ck k D Dk k解析：解析：xRxR，y y(2k(2k1)x1)xb b是减函是减函数，数，2k2k1 10 0，得，得k k . .答案：答案：D D3 3( (教材教材P602P602题改编题改编) )反比例函数反比例函数y y . .假设假设k k0 0，那么函数的递减区间，那么函数的递减区间是是_假设假设k k0 0，那么函数的递，那么函数的递增区间是增区间是_答案：答案：( (，0)0)，(0(0，)( (，0)0)，(0(0，)4 4(2021(2021华东师大附中华东师大附中) )假设函数假设函数y ymx2m

10、x2x x5 5在在 2 2，)上是增函数，上是增函数，那么那么m m的取值范围是的取值范围是_解析：根据题意可得：当解析：根据题意可得：当m m0 0，y yx x5 5在在( (2 2，)上是增函数；当上是增函数；当m m0 0时，时，且且 2 2，解得：，解得：0 0m .m .综综上所述，上所述，m m的取值范围是的取值范围是0m .0m .答案：答案：0m0m5 5函数函数f(x)f(x)log5(x2log5(x22x2x8)8)的增区的增区间是间是_；减区间是；减区间是_答案：答案：(4(4，)( (，2)2)【例【例1 1】知函数】知函数f(x)f(x) log2 log2 ，

11、求函数，求函数f(x)f(x)的定的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性义域，并讨论它的奇偶性和单调性 解析解析 (1)x(1)x须满足须满足所以函数所以函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为( (1,0)(0,1)1,0)(0,1)(2)(2)由于函数由于函数f(x)f(x)的定义域关于原点对称，的定义域关于原点对称，且对定义域内的恣意且对定义域内的恣意x x，有，有研讨研讨f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)内的单调性，任取内的单调性，任取x1x1、x2(0,1)x2(0,1)，且设，且设x1x2x10f(x2)0，即，即f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)内单内单调递减调递减由于由

12、于f(x)f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(x)f(x)在在( (1,0)1,0)内单调递减内单调递减 总结评述总结评述 由于函数由于函数f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，只需判别其在只需判别其在(0,1)(0,1)上的单调性便可知道上的单调性便可知道它在对称区间它在对称区间( (1,0)1,0)上的单调性，故在上的单调性，故在判别其单调性时，首先在判别其单调性时，首先在(0,1)(0,1)上任取上任取x1x1、x2x2，否那么，假设直接在，否那么，假设直接在( (1,0)(0,1)1,0)(0,1)上任取上任取x1x2x1x2，那么，那么f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)变形后

13、变形后的符号便不能判别综合利用函数的单的符号便不能判别综合利用函数的单调性与奇偶性是处理此题的关键调性与奇偶性是处理此题的关键判别以下函数的单调性并证明判别以下函数的单调性并证明(1)f(x)(1)f(x) ，x(x(1 1，)；(2)f(x)(2)f(x)x2x22x2x1 1，x1x1，)；(3)f(x)(3)f(x) ，xx1 1，)命题意图：先判别单调性，再用单调性命题意图：先判别单调性，再用单调性的定义证明的定义证明(1)(1)采用通分进展变形，采用通分进展变形，(2)(2)采用因式分解进展变形，采用因式分解进展变形，(3)(3)采用分子有采用分子有理化的方式进展变形理化的方式进展变

14、形解析：解析：(1)(1)函数函数f(x)f(x) 在在( (1 1，)上为减函数上为减函数利用定义证明如下：利用定义证明如下：任取任取x1x1、x2(x2(1 1，)，且，且1x1x21x1x2，那么有那么有x1x1x20 x2x11x2x11，x2x11x2x11，x2x2x10 x10，x2x2x12x12，x2x2x1x12020，f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)(x2(x2x1)(x2x1)(x2x1x12)02)0，即有即有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)故函数故函数f(x)f(x)x2x22x2x1 1在在11，)上为减函数上为减函数(3)(3)函数函数f(x)f

15、(x) 在在 1 1，)上为增函数，上为增函数，证明如下：证明如下：任取任取x1x1、x2x21 1，)且且1x1x21x1x2，那么有那么有x1x1x20 x21x1时时f(x)0f(x)0，(1)(1)判别函数判别函数f(x)f(x)在在11，)上的单调上的单调性；性；(2)(2)在在(1)(1)的条件下解不等式的条件下解不等式f(x2f(x22x2x3)120.3)x21x1x21，那么，那么x1x1x20 x20，x1x1x2x21111，所以，所以f(x1f(x1x2x21)0.1)0.又又f(x1f(x1x2x21)1)f(x1f(x1x2)x2)f(1)f(1)2(x12(x1x

16、2)x2)1 1，所以，所以f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)f(x2f(x2(x1(x1x2)x2)f(x2)f(x2)f(x1f(x1x2)x2)2x2(x12x2(x1x2)x2)1 1f(x1f(x1x2x21)1)2(x12(x1x2)(x2x2)(x21)0.1)0.所以所以f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，即，即f(x)f(x)在在11，)上单调递增上单调递增(2)(2)令令y y1 1，那么，那么f(xf(x1)1)f(x)f(x)1 12x2x，所以所以f(xf(x1)1)f(x)f(x)2x2x1.1.所以所以f(2)f(2)f(1)f(1)3 3，f(3)f

17、(3)f(2)f(2)5 5，f(4)f(4)f(3)f(3)7 7，f(n)f(n)f(nf(n1)1)2(n2(n1)1)1 12n2n1 1，上述等式两边分别相加得，上述等式两边分别相加得f(n)f(n)f(1)f(1)3 35 57 7(2n(2n1)1)n2n21 1，又由于又由于f(1)f(1)0 0，所以，所以f(n)f(n)n2n21 1，而，而当当n2n21 1120120时，时，n n1111，所以不等式，所以不等式f(x2f(x22x2x3)1203)120等价于等价于f(x2f(x22x2x3)f(11)3)f(11)，又由于，又由于x2x22x2x3 3(x(x1)2

18、1)222.22.所以不等式又等价于所以不等式又等价于x2x22x2x311311，所以，所以2x4.2x4.即不等式即不等式f(x2f(x22x2x3)1203)120的解集为的解集为x|x|2x42x1x1时，时，f(x)0f(x)0，且，且f(xy)f(xy)f(x)f(x)f(y)f(y)(1)(1)求求f(1)f(1)；(2)(2)证明证明f(x)f(x)在定义域上是增函数；在定义域上是增函数；(3)(3)假设假设f( )f( )1 1，求满足不等式，求满足不等式f(x)f(x)f( )2f( )2的的x x的取值范的取值范围围分析：分析：(1)(1)的求解是容易的；对于的求解是容易

19、的；对于(2)(2)，应利用单调性定义来证明，其中应留意应利用单调性定义来证明，其中应留意f(xy)f(xy)f(x)f(x)f(y)f(y)的运用；对于的运用；对于(3)(3)，应利用应利用(2)(2)中所得的结果及中所得的结果及f(xy)f(xy)f(x)f(x)f(y)f(y)进展适当配凑，将所给不等式化进展适当配凑，将所给不等式化为为f g(x)f(a)f g(x)f(a)的方式，再利用的方式，再利用f(x)f(x)的单调性来求解的单调性来求解解析：解析：(1)(1)令令x xy y1 1，得，得f(1)f(1)2f(1)2f(1)，故故f(1)f(1)0.0.总结评述：此题中的函数是笼统函数，总结评述：此题中的函数是笼统函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解在此题的求解的证明、不等式的求解在此题的