潮流计算的数学模型及基本解法实用教案

1、2021-12-117.1 7.1 潮流潮流(choli)(choli)计算问题的数学计算问题的数学模型模型一、一、 潮流方程潮流方程 对于对于N N个节点的电力网络（地作为参考节点个节点的电力网络（地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知，不包括在内），如果网络结构和元件参数已知，则网络方程可表示为则网络方程可表示为 （7-17-1） 式中，式中，Y Y为为 阶节点导纳矩阵；阶节点导纳矩阵； 为为 维节点电压列矢量；维节点电压列矢量； 为为 维节点注入电流维节点注入电流列矢量。如果不计网络元件非线性，也不考虑列矢量。如果不计网络元件非线性，也不考虑(kol)(kol)移相变压器

2、，则移相变压器，则Y Y为对称矩阵。为对称矩阵。 电力系统计算中，一般给定的运行变量电力系统计算中，一般给定的运行变量是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系：者之间有如下关系： （7-27-2） IVYNNV1NI1NSIE第1页/共47页第一页，共48页。2021-12-12式中，式中， 为节点的注入复功率，是为节点的注入复功率，是 维列向量；维列向量； 为为 的的共轭共轭;是节点电压的共轭组成是节点电压的共轭组成(z chn)的的 阶对角线矩阵。阶对角线矩阵。由式（由式（7-1）和式（）和式（7-2），可得），可得 S1NSSNNV

3、YES上式就是潮流上式就是潮流(choli)方程的复数形式，是方程的复数形式，是N维的非线性附属代维的非线性附属代数方程组。将其展开，有数方程组。将其展开，有 N,1,2,j YVjPijiijiVQ（7-3）式中，式中， 表示所有和表示所有和 相连相连(xin lin)的节点的节点 ，包括，包括 。ijijij 如果节点电压用直角坐标表示，即令如果节点电压用直角坐标表示，即令 ，代入式（，代入式（7-3）中有中有iiijfeV N,1,2,i )jb(a )jf(e )jf(e)jB(G)jf -(ejPiiiiiiijijijiiiiQ第2页/共47页第二页，共48页。2021-12-13

4、式中式中ijijijijijij)B(G)B(Gijijiiefbfea故有故有iiiiiiiiiibeafQbfaeP（7-4）（7-5） N,1,2,i 式（式（7-4）和式（）和式（7-5）是直角坐标）是直角坐标(zh jio zu bio)系表示系表示的潮流方程。的潮流方程。 如果节点电压用极坐标表示，即令如果节点电压用极坐标表示，即令iiVV 第3页/共47页第三页，共48页。2021-12-14故有故有ijijijijijjiiijijijijijjiiBGQBG)cossin(VV)sincos(VVP（7-6） N，2，1i 式（式（7-6）是极坐标表示）是极坐标表示(bios

5、h)的潮流的潮流方程。方程。第4页/共47页第四页，共48页。2021-12-15二、二、 潮流方程的讨论和节点类型的划分潮流方程的讨论和节点类型的划分 对于对于N N个节点的电力系统，每个节点有四个运行变个节点的电力系统，每个节点有四个运行变量（例如，对于节量（例如，对于节 点点 有有 ， ， 和和 ）故全系统共）故全系统共有有4N4N个变量。对于式（个变量。对于式（7-37-3）所描述的复数潮流方程，）所描述的复数潮流方程，共有共有2N2N个实数方程。要给定个实数方程。要给定2N2N个变量，另外个变量，另外2N2N个变量个变量才可以求解。但这绝不是说任意给定才可以求解。但这绝不是说任意给定

6、2N2N个变量潮流方个变量潮流方程都是可以解的。一般来说，每个节点的四个变量中程都是可以解的。一般来说，每个节点的四个变量中给定两个，另外两个待求。哪两个作为给定量给定两个，另外两个待求。哪两个作为给定量(dngling)(dngling)由该节点的类型决定。由该节点的类型决定。 对于负荷节点，该节点的对于负荷节点，该节点的P P，Q Q是由负荷需求决定是由负荷需求决定的，一般是不可控的。该类节点的特点是的，一般是不可控的。该类节点的特点是P P，Q Q是给定是给定的，则该节点的，则该节点 ， 待求。这类节点称为待求。这类节点称为PQPQ节点。无节点。无注入的联络节点也可以看作注入的联络节点也

7、可以看作P P，Q Q给定节点，其给定节点，其P P，Q Q值值都是零。都是零。 全系统还应满足功率平衡条件，即全网注入功率全系统还应满足功率平衡条件，即全网注入功率之和应等于网络损耗，由式（之和应等于网络损耗，由式（7-67-6）并考虑到）并考虑到 是是奇函数奇函数iPiQiViiVijsin第5页/共47页第五页，共48页。2021-12-16ijijijjilossiijijijjilossiBQGcosVVQcosVVPPN1iN1iN1iN1i（7-7）则有则有可见，系统有功网损可见，系统有功网损 和无功网损和无功网损 都是节点电压幅值和角都是节点电压幅值和角度的函数，只有在度的函数

8、，只有在 和和 都计算出来之后，都计算出来之后， 和和 才能确才能确定，所以定，所以N个节点中至少有一个节点的个节点中至少有一个节点的P，Q不能预先给出，其值不能预先给出，其值要待潮流计算结束，要待潮流计算结束， 和和 确定之后才能确定，该节点称为确定之后才能确定，该节点称为松弛节点或平衡节点。松弛节点或平衡节点。 因为平衡节点的因为平衡节点的P，Q不能预先给出，所以该节点的不能预先给出，所以该节点的 ， 就应预先给出，该节点也称为就应预先给出，该节点也称为 节点，其节点，其P，Q值由潮流计算来值由潮流计算来确定。平衡节点的选取是一种计算上的需要，有多种选法。因为确定。平衡节点的选取是一种计算

9、上的需要，有多种选法。因为平衡节点的平衡节点的P，Q事先无法确定，为使潮流计算结果符合实际，常事先无法确定，为使潮流计算结果符合实际，常把平衡节点选在较大调节余量的发电机节点。潮流计算结束时若把平衡节点选在较大调节余量的发电机节点。潮流计算结束时若平衡节点的有功功率、无功功率和实际情况不符，就要调整其他平衡节点的有功功率、无功功率和实际情况不符，就要调整其他(qt)节点的边界条件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内。节点的边界条件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内。lossPlossQVlossPlossQlossPlossQVV第6页/共47页第六页，共48页。2021-12-17 综

10、上所述，若选第综上所述，若选第N个节点为平衡节点，剩下个节点为平衡节点，剩下n个节点（个节点（n=N-1）中有中有r个节点是个节点是PV节点，则有节点，则有n-r个节点是个节点是PQ节点。因此除了平衡节点。因此除了平衡节点外，有节点外，有n个节点注入有功功率，个节点注入有功功率，n-r个节点注入无功功率以及个节点注入无功功率以及r个节点的电压幅值是已知量。个节点的电压幅值是已知量。 在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)系，待求的状态变量共系，待求的状态变量共2n个，用个，用 以下表示，其潮流方程是以下表示，其潮流方程是式中，式中， 与与 是节点是节点i的有功和无功功率给定值。式（

11、的有功和无功功率给定值。式（7-8）共有）共有2n个方程，个方程，2n个待求状态变量，两者个数相等。个待求状态变量，两者个数相等。 在极坐标系，由于在极坐标系，由于PV节点的电压幅值已知，所以待求的状态节点的电压幅值已知，所以待求的状态变量是变量是Tn n TTT . fff . e ee fex2121,.,nrn ifeVV,.,n, ibeafQQ,.,n, ibfaePPiispiiiiiispiiiiiispii1012102102222（7-8）spiPspiQTrn n TTT . VVV . Vx2121第7页/共47页第七页，共48页。2021-12-18共共2n-r个待求量

12、。其潮流个待求量。其潮流(choli)方程是方程是ijijijijijjiiijijijijijjiiBGQBG)cossin(VVQ )sincos(VVPPspispi,.,n,i21r,.,n,i 21（7-9）共共2n-r个方程。待求量和方程个数相等。个方程。待求量和方程个数相等。 为了更清晰地表达潮流方程中给定量和待求量之间的关系，表为了更清晰地表达潮流方程中给定量和待求量之间的关系，表7.1中把每列中的两个给定量用阴影部分表示中把每列中的两个给定量用阴影部分表示(biosh)，另两个无阴影字，另两个无阴影字符表示符表示(biosh)待求量，平衡节点号为待求量，平衡节点号为s=N=n

13、+1。可见每列都有两个。可见每列都有两个量给定，另两个量待求。量给定，另两个量待求。 表表7.1 潮流潮流(choli)方程中的给定量和待求量方程中的给定量和待求量节点PQ节点PV节点变量r-n21Q . Q Q节点Vr -n21P . P Pr -n21 . r -n21V . V Vn1nP . P rn1n . rn1nQ . Q rn1nV . V r Ps s Vs Qs第8页/共47页第八页，共48页。2021-12-197.27.2以高斯以高斯(o s)(o s)迭代法为基础的迭代法为基础的潮流计算方法潮流计算方法一、一、 高斯迭代法高斯迭代法 首先考察基于节点首先考察基于节点(

14、ji din)(ji din)导纳矩阵的高斯迭导纳矩阵的高斯迭 代法。在网络方程代法。在网络方程（7-17-1）中，将平衡节点）中，将平衡节点(ji din)s(ji din)s排在最后，并将导纳矩阵写成分块的形排在最后，并将导纳矩阵写成分块的形式，取出前式，取出前n n个方程有个方程有 高斯迭代法是最早在计算机上实现的潮流高斯迭代法是最早在计算机上实现的潮流(choli)(choli)计算方法。这种方法编程简单，在某些计算方法。这种方法编程简单，在某些应用领域，如配电网潮流应用领域，如配电网潮流(choli)(choli)计算中还有应计算中还有应用。另外，也用为牛顿用。另外，也用为牛顿- -

15、拉夫逊法提供初值。拉夫逊法提供初值。nssnnIVYVY第9页/共47页第九页，共48页。2021-12-110 平衡节点平衡节点s s的电压的电压(diny) (diny) 给定，给定，n n个节点的个节点的注入电流矢量注入电流矢量 已知，则有已知，则有 sVnIssnnnVYIVY（7-10） 实际电力系统给定量是实际电力系统给定量是n n个节点的注入功率个节点的注入功率(gngl)(gngl)。注入电流和注入功率。注入电流和注入功率(gngl)(gngl)之间的关之间的关系是系是iiiVSI,.,n,i21 写成矢量写成矢量(shling)(shling)形式为形式为 VSIi第10页/

16、共47页第十页，共48页。2021-12-111 再把再把 写成对角线矩阵写成对角线矩阵D D和严格和严格(yng)(yng)上三角矩阵上三角矩阵U U以及以及严格严格(yng)(yng)下三角矩阵下三角矩阵L L的和，即令的和，即令 nY0Y0YY0YYY0YYY0UDLYn1 -n1n12nn22111n，n1n21n， 代入代入(7-10)(7-10)式，经整理式，经整理(zhngl)(zhngl)后有后有nnssn1nVUVLVYIDV（7-11）第11页/共47页第十一页，共48页。2021-12-112 考虑到电流和功率的关系式，上式写成迭代考虑到电流和功率的关系式，上式写成迭代(

17、di di)(di di)格式为格式为）k（jn1ijij）k（j1 - i1jijsskiiii）1k（iVYVYVYVSY1V,n,i21（7-12）1k（iV 0iV 考给定考给定 ， ，代入上式可求得电压新值，代入上式可求得电压新值，逐次迭代直到前后两次遗代求得的电压值的差小于某逐次迭代直到前后两次遗代求得的电压值的差小于某一收敛精度为止。这是高斯法的基本解算步骤。一收敛精度为止。这是高斯法的基本解算步骤。 每次迭代要从节点每次迭代要从节点1 1扫描到节扫描到节n n。在计算。在计算 时，时， ，j=1j=1，2 2，i-1i-1已经求出，若迭代是一个已经求出，若迭代是一个收敛过程收敛

18、过程(guchng)(guchng)，它们应比，它们应比 ， 更接近于真值。更接近于真值。,.,n,i21 考给定考给定 ， ，代入上式可求得电压新值，代入上式可求得电压新值，逐次逐次(zh c)(zh c)迭代直到前后两次遗代求得的电压值的差迭代直到前后两次遗代求得的电压值的差小于某一收敛精度为止。这是高斯法的基本解算步骤。小于某一收敛精度为止。这是高斯法的基本解算步骤。 每次迭代要从节点每次迭代要从节点1 1扫描到节扫描到节n n。在计算。在计算 时，时， ，j=1j=1，2 2，i-1i-1已经求出，若迭代是一已经求出，若迭代是一）1k（jV）1k（jV121,i-,j第12页/共47页

19、第十二页，共48页。2021-12-113）k（jV 考所以，用考所以，用 代替代替 可出得到可出得到(d do)(d do)更好的更好的收敛果。这就是高斯，赛德尔收敛果。这就是高斯，赛德尔(Gauss-Seidel)(Gauss-Seidel)选代选代的基本思想，即一旦求出电压新值，在随后的迭代的基本思想，即一旦求出电压新值，在随后的迭代中立即使用。这种方法的选代格式是中立即使用。这种方法的选代格式是）1k（jV）k（jn1ijij）k（j1 - i1jijsskiiii）1k（iVYVYVYVSY1V,n,i21（7-13） 考高斯考高斯(o s)(o s)一赛德尔法比高斯一赛德尔法比高斯

20、(o s)(o s)迭代法迭代法收敛性要好。收敛性要好。 考在导纳矩阵法的迭代公式考在导纳矩阵法的迭代公式(gngsh)(gngsh)中，导纳矩中，导纳矩阵高度稀疏，每行只有少数几个是非零元素，非对阵高度稀疏，每行只有少数几个是非零元素，非对角非零元素个数与和节点角非零元素个数与和节点j j相联的支路数相等。所以，相联的支路数相等。所以，上一次上一次第13页/共47页第十三页，共48页。 考迭代后得到的电压值，只有少数几个对本次迭代中节点考迭代后得到的电压值，只有少数几个对本次迭代中节点电压的改进有贡献，这使得导纳矩阵法在每次迭代中其节点电压的改进有贡献，这使得导纳矩阵法在每次迭代中其节点电压

21、向解点方向的变化十分缓慢，算法收敛性较差。电压向解点方向的变化十分缓慢，算法收敛性较差。 高斯迭代法的法另一种高斯迭代法的法另一种(y zhn)(y zhn)迭代格式是以节点阻迭代格式是以节点阻抗阵为基础。由于阻抗矩阵是满阵，用阻抗矩阵设计的迭代抗阵为基础。由于阻抗矩阵是满阵，用阻抗矩阵设计的迭代格式可望获得好的收敛性。式（格式可望获得好的收敛性。式（7-107-10）可以改写为）可以改写为 ）（ssn1 -nnVYIYV（7-14）上式也可以上式也可以(ky)(ky)写成写成）（ssnnnVYIZV（7-15）nZnY其中其中 是是 的逆矩阵的逆矩阵(j zhn)(j zhn)，即以平衡，即

22、以平衡节点为电压给定节点建立的节点阻抗矩阵节点为电压给定节点建立的节点阻抗矩阵(j (j zhn)zhn)。第14页/共47页第十四页，共48页。2021-12-115 二、关于高斯法的讨论二、关于高斯法的讨论(toln)(toln) 对于形如对于形如的非线性代数方程组，总可以写成的非线性代数方程组，总可以写成 的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：高斯法迭代的收敛性主要由高斯法迭代的收敛性主要由 0 xf（7-16） xx k1k00 xxxx（7-17） *xxTxxdef*x（7-18）第15页/共47页第十五页，共48页。2021-12-116 的谱半

23、径的谱半径 或矩阵或矩阵 的最大特征值的最大特征值 决定。决定。 是是 的解的解点。当点。当 的谱半径小于的谱半径小于1 1时高斯法迭代可以收敛时高斯法迭代可以收敛(shulin)(shulin)；O(x)O(x)的谱半径越小收敛的谱半径越小收敛(shulin)(shulin)性性越好。越好。 求解求解( 7-27)( 7-27)式有两种方法，即高斯洼和高斯式有两种方法，即高斯洼和高斯一赛德尔法。高斯法的迭代格式是一赛德尔法。高斯法的迭代格式是 高斯一赛德尔法的迭代公式是高斯一赛德尔法的迭代公式是 *x*xx *x knk2k1i1ki，x，xxx,n,i21（7-19） kn1ki1k1 -

24、 i1k21k1i1kixxx，x，xx，,n,i21（7-20）即刚刚计算出的即刚刚计算出的x x的值就在下次迭代计算中立即使用的值就在下次迭代计算中立即使用当当 时，迭代收敛。时，迭代收敛。 对于连通对于连通的电力网络，各节点的电压是相关的，不管两个节点之间的电力网络，各节点的电压是相关的，不管两个节点之间是否是否(sh fu)(sh fu)有支路直接相联。有支路直接相联。 n 21i xxmaxki1ki，第16页/共47页第十六页，共48页。2021-12-117 由于由于Y Y矩阵中的元素代表的是短路参数，它是高度稀疏矩阵中的元素代表的是短路参数，它是高度稀疏的，由的，由(7-12)

25、(7-12)式可见，计算节点式可见，计算节点i i的电压时，只有和节的电压时，只有和节点点j j有支路直接相联的节点有支路直接相联的节点j j的电压对的电压对 有贡献。这种有贡献。这种方法利用的信息较少，收敛性较差。当用阻抗矩阵法时，方法利用的信息较少，收敛性较差。当用阻抗矩阵法时，由于阻抗矩阵是满矩阵，由（由于阻抗矩阵是满矩阵，由（7-157-15）式可见，网络中所）式可见，网络中所有节点的电压都会对有节点的电压都会对 的计算产生影响，这种方法利的计算产生影响，这种方法利用的信息较多，收敛性人大提高了，但由于占用内存多，用的信息较多，收敛性人大提高了，但由于占用内存多，目前已经很少采用了。目

26、前已经很少采用了。 从程序从程序(chngx)(chngx)角度看，如果使用式（角度看，如果使用式（7-7-1414），利用），利用 的因子表而不是直接使用式（的因子表而不是直接使用式（7-157-15）中）中 的矩阵，可大大节省内存，缺点是不易组成高斯一赛德的矩阵，可大大节省内存，缺点是不易组成高斯一赛德尔迭代的计算格式。尔迭代的计算格式。 iViVnYnZ第17页/共47页第十七页，共48页。2021-12-118 不论甩不论甩Y Y矩阵还是用矩阵还是用z z矩阵，对矩阵，对PVPV节点的处理都是节点的处理都是困难的。通常的处理方法是，给定困难的。通常的处理方法是，给定PVPV节点节点Q

27、Q的初值，在的初值，在高斯迭代过程中，高斯迭代过程中，PVPV节点的电压幅值计算值和给定值节点的电压幅值计算值和给定值不同，这时修正给定的不同，这时修正给定的Q Q，直到迭代收敛时，直到迭代收敛时，PVPV节点的节点的电压幅值的计算值和给定值相等（小于某一允许的误电压幅值的计算值和给定值相等（小于某一允许的误差差(wch)(wch)范围）为止。高斯迭代法中关于范围）为止。高斯迭代法中关于PVPV节点的处节点的处理可参考艾献理可参考艾献1616。 例例7.1 7.1 对于例对于例2.32.3的三母线电力系统，各网络元的三母线电力系统，各网络元件参数和节点导纳矩阵已在该例中给出。假定节点件参数和节

28、点导纳矩阵已在该例中给出。假定节点的注入功率是的注入功率是 节点的注入节点的注入功率是功率是 节点是节点是 节节点，点， 。试用节点导纳矩阵和节点阻抗。试用节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的高斯矩阵的高斯- -赛德尔迭代法计算潮流。赛德尔迭代法计算潮流。，0 . 1 j0 . 2S1，415. 0 j5 . 0S2V。00 . 1V3第18页/共47页第十八页，共48页。2021-12-119解 根据(gnj)例2，3的导纳矩阵可写出（7-11）式的表达式 1211nnssn121V9875. 4 j2494. 000 . 19505. 4 j49505. 0430. 9 j9430. 0V415.

29、 0 j5 . 0V0 . 1 j0 . 2908. 9 j74445. 09580.13j1474. 1 VUVLVYIDVVnV第19页/共47页第十九页，共48页。2021-12-1200V9875. 4 j2494. 02于是(ysh)有 9430. 0 j9430. 0V9875. 4 j2494. 0V0 . 1 j0 . 2 9580.13j1474. 1Vk2k111k1 49505. 0 j49505. 0V9875. 4 j2494. 0V415. 0 j5 . 0 .9089 j74445. 0V1k1k211k2第20页/共47页第二十页，共48页。2021-12-12

30、1将上式写成简单迭代(di di)法的高斯一赛德尔迭代(di di)格式： 121121221111kkkkkkV，VfVV，VfV给定初值 计算(j sun)过程如下： 0 . 1 0 . 10201VV 02086. 002165. 113596. 095010. 0002112120201111jV，VfVjV，VfVk第21页/共47页第二十一页，共48页。2021-12-122 02246. 001394. 113570. 093483. 0112212221211121jV，VfVjV，VfVk整个迭代(di di)过程如表7.1所示。表7.1导纳矩阵(j zhn)为基础的高斯一赛

31、德尔法的选代过程第22页/共47页第二十二页，共48页。2021-12-123 不论甩不论甩Y Y矩阵还是用矩阵还是用z z矩阵，对矩阵，对PVPV节点的处理都是由节点的处理都是由以上结果以上结果(ji gu)(ji gu)可见收敛过程是较慢的，可见收敛过程是较慢的，7 7次迭代仍次迭代仍未稳定在一个固定的值上。若以前后两次选代结果未稳定在一个固定的值上。若以前后两次选代结果(ji (ji gu)gu)相差相差0.00010.0001为收敛准则，则为收敛准则，则k=7k=7时收敛。此例如果时收敛。此例如果不采用高斯一赛德尔迭代格式，那么迭代次数还会大大不采用高斯一赛德尔迭代格式，那么迭代次数还

32、会大大增加。增加。 第23页/共47页第二十三页，共48页。2021-12-1247.37.3牛顿牛顿(ni dn)(ni dn)一拉夫逊法潮流计一拉夫逊法潮流计算算一、牛顿一拉夫逊法的一般描述一、牛顿一拉夫逊法的一般描述 求解潮流，数学上就是求解用潮流方程求解潮流，数学上就是求解用潮流方程(fngchng)(fngchng)表示的非线性代数方程表示的非线性代数方程(fngchng)(fngchng)组，因此可用数学上的逐次线性化的方法，即牛顿一拉夫逊法求解。组，因此可用数学上的逐次线性化的方法，即牛顿一拉夫逊法求解。 电力网络的节点功率方程电力网络的节点功率方程(fngchng)(fngch

33、ng)可用可用 表示，式中表示，式中 是节点注入功率给定值是节点注入功率给定值y y是节点注入功率和节点电压之间的函数表是节点注入功率和节点电压之间的函数表达式，达式，x x是节点电压。当然也可以写成功率偏差的形式是节点电压。当然也可以写成功率偏差的形式 xyysp（7-21）spy 0 xyyxfsp（7-22）第24页/共47页第二十四页，共48页。2021-12-125 牛顿一拉夫逊法求解步骤如下。在给定的初值牛顿一拉夫逊法求解步骤如下。在给定的初值 处处将式（将式（7-227-22）作一阶泰勒展开）作一阶泰勒展开 电力网络的节点功率方程可用电力网络的节点功率方程可用 表示，式中表示，式

34、中 是节点注入功率给定值是节点注入功率给定值y y是节点注入是节点注入功率和节点电压功率和节点电压(diny)(diny)之间的函数表达式，之间的函数表达式，x x是节是节点电压点电压(diny)(diny)。当然也可以写成功率偏差的形式。当然也可以写成功率偏差的形式定义定义 为潮流方程的雅克比矩阵，为潮流方程的雅克比矩阵， 为为 在在处的值，则有处的值，则有 0 x 0 xxxfxf00T0TxfJ0JJ 0 x 010 xfxJ第25页/共47页第二十五页，共48页。2021-12-126 用用 修正修正 而得到而得到 的新值，如果的新值，如果(rgu)(rgu)迭代序列迭代序列收敛，它应

35、当更接近解点值。写成一般的表达式，收敛，它应当更接近解点值。写成一般的表达式， 有有 对于潮流收敛的情况，对于潮流收敛的情况， 比比 更接近于解点。更接近于解点。收敛条件为收敛条件为 0 xxx kk1kk1kkxxxfJxxx（7-23）1kx kx .fmaxkix第26页/共47页第二十六页，共48页。2021-12-127二、直角坐标二、直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)的牛顿一的牛顿一拉夫逊法拉夫逊法 对于对于( 7-8)( 7-8)式所示的直角坐标式所示的直角坐标(zh (zh jio zu bio)jio zu bio)乐的潮流方程，乐的潮流方程

36、，(7-32)(7-32)式有式有下面的形式：下面的形式：状态变量是状态变量是 ，是，是2n2n维的。雅可比矩维的。雅可比矩阵是阵是2n2n2n2n阶矩阵，其结构是阶矩阵，其结构是 r feVVr-n feQQn fePP feVfeQfePxf22spspsp2，（7-24）TTT fex第27页/共47页第二十七页，共48页。2021-12-128 n n r fQ eQ r-n fQ eQn fP ePxfJTTTTTTT（7-25） 式式( 7- 23)( 7- 23)所示的修正方程中有所示的修正方程中有2n2n个未知量，有个未知量，有2n2n个方个方程，只要程，只要(zhyo)(zh

37、yo)式式( 7- 23)( 7- 23)中的中的J J非奇异非奇异 则可解。则可解。 在直角坐标情况下，平衡节点是给定节点，即平在直角坐标情况下，平衡节点是给定节点，即平衡节点衡节点s s的电压的实部和虚部可用下式确定；的电压的实部和虚部可用下式确定； 式中，式中， 和和 是平衡节点给定的电压幅值和相角。是平衡节点给定的电压幅值和相角。 xssssssjVVjesincos（7-26）sVs第28页/共47页第二十八页，共48页。2021-12-129三、极坐标的牛顿三、极坐标的牛顿(ni dn)-(ni dn)-拉夫逊法拉夫逊法 对于对于(7-9)(7-9)式所示的极坐标系的潮流式所示的极

38、坐标系的潮流方程，有下面的形式：方程，有下面的形式： 共共2n-r2n-r个方程，状态变量是个方程，状态变量是 共共2n-r2n-r个待求量。个待求量。r r个个PVPV节点的电压幅值是节点的电压幅值是给定量，不需求解。潮流雅可比矩阵的维数给定量，不需求解。潮流雅可比矩阵的维数（2n-r2n-r）（）（2n-r2n-r）阶矩阵，其结构是）阶矩阵，其结构是 r -n VQQn VPPVQVPxfspsp，（7-27）r -n21n21VVV VxTTT 第29页/共47页第二十九页，共48页。2021-12-130 r -n n r-n VQ Qn VP PxfJTTTTT 上式右侧的电压幅值的

39、偏导数项中的电压幅值的上式右侧的电压幅值的偏导数项中的电压幅值的阶次减少阶次减少(jinsho)(jinsho)了了1 1，为使雅克比矩阵的各部分，为使雅克比矩阵的各部分子矩阵具有一致形式，在实际计算中，常将该项乘子矩阵具有一致形式，在实际计算中，常将该项乘以电压幅值，并选取以电压幅值，并选取 作作为待求的修正量，则雅克比矩阵可写成为待求的修正量，则雅克比矩阵可写成r -nr -n2211VVVV VVTVV第30页/共47页第三十页，共48页。2021-12-131 r -n n r-n VVQ Qn VVP PxfJTTTTT（7-28） 将将(7-37)(7-37)式和式和(7-38)(

40、7-38)式代入式代入(7-33)(7-33)式的修正方程则可式的修正方程则可求得求得x x的修正量的修正量 ，用它修正，用它修正x x直到直到(zhdo) (zhdo) 为止。为止。x .fmaxkix第31页/共47页第三十一页，共48页。2021-12-132四、雅可比矩阵的讨论四、雅可比矩阵的讨论 雅克比矩阵是牛顿雅克比矩阵是牛顿- -拉夫逊的核心内拉夫逊的核心内容，需要认真分析其特点。首先容，需要认真分析其特点。首先(shuxin)(shuxin)考察直角坐标系的雅可比矩阵，将考察直角坐标系的雅可比矩阵，将(7-35)(7-35)式式写成写成 矩阵中各子块的维数已在上式中示意地指矩阵

41、中各子块的维数已在上式中示意地指出。其中各子块的元素由下式计算：出。其中各子块的元素由下式计算：r-nn rr-nnS L N RMHJ第32页/共47页第三十二页，共48页。2021-12-133（7-29） 下面再考察下面再考察(koch)(koch)极坐标雅可比矩阵极坐标雅可比矩阵(7-38)(7-38)式，式，可用下式表示：可用下式表示： r-nn r-nnL N MHJ第33页/共47页第三十三页，共48页。2021-12-134下面下面(xi mian)(xi mian)各子块的计算公式是：各子块的计算公式是： (7-30)(7-30)于是于是(ysh)(ysh)雅可比矩阵可写成：

42、雅可比矩阵可写成：QPQPV VL N MHV VJ第34页/共47页第三十四页，共48页。2021-12-135 等号右边中间等号右边中间(zhngjin)(zhngjin)项带撇的量具有导纳的量项带撇的量具有导纳的量纲。式中纲。式中 和和 分别是分别是n n维和维和n-rn-r维节点电压幅值对角维节点电压幅值对角线矩阵。代人牛顿一拉夫逊法修正方程线矩阵。代人牛顿一拉夫逊法修正方程(7-23)(7-23)式后有：式后有：PVQVQPVVV VL N MHV VQPQP 整理后有整理后有 式中，式中， ， ， 和和 分别表示以分别表示以 为元素的矢量为元素的矢量(shling)(shling)

43、，本书其余部，本书其余部分亦同。式分亦同。式（7-317-31）中系数矩阵与雅克比矩阵）中系数矩阵与雅克比矩阵J J不同，记为不同，记为 , ,即即VQVPVVL N MH(7-31)(7-31)VVVVPVQiiVViiViiVPiiVQL N MHJJ第35页/共47页第三十五页，共48页。2021-12-136 除了对角线元素之外，除了对角线元素之外，JJ中没有电压幅值项，它的中没有电压幅值项，它的计算公式在计算公式在(7-30)(7-30)中。中。(7-31)(7-31)式中右边具有电流的量纲，式中右边具有电流的量纲，左边的相角修正项前乘一个电压幅值项，使用时应注意。左边的相角修正项前

44、乘一个电压幅值项，使用时应注意。观察观察(7-30)(7-30)式的雅可比矩阵各元素中有余弦项、正弦项和式的雅可比矩阵各元素中有余弦项、正弦项和含含P P或或Q Q的项，我们把的项，我们把( 7-30)( 7-30)式描述的雅可比矩阵拆成三式描述的雅可比矩阵拆成三个矩阵的个矩阵的(7-31)(7-31)式的雅可比矩阵可写成式的雅可比矩阵可写成 上式中上式中 是矩阵的一种简化是矩阵的一种简化(jinhu)(jinhu)的写法，它和的写法，它和节点导纳矩阵的虚部节点导纳矩阵的虚部B B的结构相同，区别在于矩阵的结构相同，区别在于矩阵B B中的元中的元素素 ，在这里是，在这里是 其它矩阵类同。另外，

45、其它矩阵类同。另外，Q P PQBsin Gsin GsinBsinBcos Gcos GcosBcosJ（7-32）Bcos;cosBijijijB2iiVQdiagQ2iiVPdiagP第36页/共47页第三十六页，共48页。2021-12-137 在正常情况下，在正常情况下， 很小，可令很小，可令 ；另外另外(ln wi)(ln wi)，(7-32)(7-32)式中右边最后一项相对于式中右边最后一项相对于前两项数值较小，可忽略。于是前两项数值较小，可忽略。于是(7-32)(7-32)式的雅可比式的雅可比矩阵可简化成矩阵可简化成 将式（将式（7-337-33）代入）代入(7-31)(7-3

46、1)式，就可以得到定雅可比式，就可以得到定雅可比法潮流计算的快速计算的公式，其修正方程是法潮流计算的快速计算的公式，其修正方程是 由于雅可比矩阵由于雅可比矩阵 是常数，所以只要在迭代开是常数，所以只要在迭代开始形成其因子表，在迭代过程中就可以连续使用。始形成其因子表，在迭代过程中就可以连续使用。定雅定雅可比法由于是一种固定斜率的牛顿一拉是定雅定雅可比法由于是一种固定斜率的牛顿一拉是逊法，所以只具有一阶收敛速度，但由于每次迭代逊法，所以只具有一阶收敛速度，但由于每次迭代 ij0sin, 1cosijijB G GBJ0J（7-33）VQVPVVB GGB（7-34）0J第37页/共47页第三十七

47、页，共48页。2021-12-138 计算的计算时间缩短计算的计算时间缩短(sudun)(sudun)了，所以总的计算速度了，所以总的计算速度比标准牛顿一拉夫逊法大大加快。比标准牛顿一拉夫逊法大大加快。 注意，在实际潮流汁箅中，由于有注意，在实际潮流汁箅中，由于有r r个节点是个节点是PVPV节节点，这时点，这时(7-34)(7-34)式中系数矩阵的四个子矩阵维数可能不式中系数矩阵的四个子矩阵维数可能不同，为区分这种情况，同，为区分这种情况，(7-34)(7-34)式也可写成：式也可写成：VQVPVVB GLNMHGB（7-35）例7.2 对于例2.3的三母线电力系统，假定节点是PQ母线，它的注入功率是 节点是PV母线，它的有功注入是 节点电压给定值是1.01；节点是 母线 ，电压是 试用牛顿-拉夫逊法计算(j sun)潮流，分直角坐标和极坐标两种情况分析。，0 . 1 j0 . 2QP115 . 0P2V。00 . 1V3第38页/共47页第三十八页，共48页。2021-12-139第39页/共47页第三