13)专题-“隐形圆”(教师版)

1、隐形圆问题第一讲“形”现“圆”形问题 如图所示，在等腰直角三角形A8C中，A8=8C=2,点P为等腰直角三角形A8C所在平面内一点，且满足则PC的取值范围是./-1,番+ 1变式2I分析本题因为点P满足即NAP3=9(T ,根据直径所对的圆周角是直角，可知点 P在以为直径的圆上运动，点尸的运动轨迹是一个圆，要求PC的取值范围，利用PC 与圆心。三点共线时取得最值，即可解决.可以发现，这里隐藏着一个圆，像这样的问题， 我们称为“隐形圆”问题，本题利用初中的平而几何的知识即可解决.变式1在平面直角坐标系X。)，中，直线人的方程为产直线/2的方程为.田厂260, 若八与，2的交点为P,定点C(2Q)

2、,则PC的取值范围是. 75-1,75 + 1 分析可以发现直线/|与h是互相垂直的，直线/1经过原点0( B),直线，2经过定点40,2),P的轨迹是以A8为直径的圆(不含A点)，于是本题 就转换为上述问题，其平面几何背景即为上述问题.变式2 (2017年南京二模)在平面直角坐标系xOy中， 直线八：点一y+2=0与直线& x+0-2=0相交于点 P，则当实数k变化时，点P到直线刀一、-4=0的距离的最大值为.3点分析直线过定点40,2),直线，2过定点3(2,0), AB=2无，P的轨迹是以A5为直径的圆(不含原点)，其圆心为C(l, 1),到直线的距离为2点，点P到直线工一)，-

3、4=0的距 离的最大值为2叵+丘=3近.圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会 出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的 形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解.这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想 方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来.圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现.策略一 由圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例1(1)如果圆a勿)2+()，一。-3)2=4上总存在两个点到原

4、点的距离为1,则实数4的取值范惘是-<4 <055【解】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相 交，从而有l<J(2”J+(” + 3)2 <3,解得2<a<0.5（2） (2016年南京二模)已知圆炉+32=1,圆M： (x-a)2+()La+4)2=l.若圆M上存在点P,过点P作圆。的两条切线，切点为A, 3.使得NAPB = 60。，则的取值范用为. 2-<«<2 + 22【解】由题意得8 = 2,所以P在以。为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M有公共点,因此有2-1WOM W2+lnl+3一4/

5、9=2- + .22（3） （2017年苏北四市一模）己知4 3是圆C：V+V=1上的动点，AB=#，。是圆.743G :（x-3）2 +（-4尸=1上的动点，则|西+方的取值范围是【解】取AB的中点M,由则2且1+而卜同，转化为两圆上动点的距离的最值,11 71113PA/nun= CIC2-1-1=5-1-1=-,尸”皿=。/2+1 + ±=5+1 + 1 =上 22 222 2所以悭+网的取值范围是7/3.(4)若对任意awR,直线/： xcosa+ysina= （工一】）2+3-7?】）2=1均无公共点，则实数【解】直线/的方程为：（x-l）cosa+（y-乔）sina=4,

6、 M（l,百）到/距离为4所以/是以M 为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆C内含于圆例，所以MCV3 因为3后,所以得到J（L 1）2 +-"尸v3 ,解得-黄机|.注：直线/： Cv.)cosa+G-yo)sina=R为圆M：。一毛尸+(丁一治尸=R，的切线系.(5) (2016年南通三模)在平面直角坐标系xOy中，圆G：(x-1)2+,2=2, 圆g ：(.，) +(> +，)= 屋,若圆C,上存在点P满足：过点夕向圆g作两条切线pa、PB,切点为A、B,1外的面积为1,则正数，的取值范围是【解】设P(x, y), PA, PB的夹角为26.A8P的面积5=：以2血2夕

7、=月42存票 =1.乙ri/1 riz由点/4 = /守=/%2+2,解得抬=点,所以PG=2,所以点P在圆(x-l)2+y2=4上.所以忸0r W， + 2,解得 lW?W3 + 2/ 策略二由动点P对两定点A、8张角是90°(%=-1，或万(即=0)确定隐形圆若圆上存在点P，使得NAP8=90'例2 (1)(2014年北京卷)已知圆C：。一3尸+()4=1和两点4一?,0),儿0)(机0),【解】由N4P8 = 90可知，若点P存在，则点P在以A8为直径的圆。上，其半径为小, 所以圆。与圆C有公共点，从而|?-1|<56+ 1则小的取值范围是4,6.(2)(海安20

8、16届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(T, 0), 。(2, 1), 直线/：心+力+。= 0其中实数小b, C成等差数列，若点P在直线I上的射影为H,则 线段QH的取值范围是【解】直线/过定点R(1, -2) , H在以巴?为直径的圆上，其圆的半径为！丹?=应, 2设PR的中点为M(0, T),则MQ=2&,所以QHm加=26一壶=尤，QH,w=24l +立=3戊，则线段QH的取值范围是点,3点.(3)(通州区2017届高三下开学初检测)设?wR,直线上x + m.y = O与直线mr-y-2?-4 = 0交于点，则X； +.v(+2天的取值范围是 12-4加12 +

9、 4 洞【解】由玉：+)+2/=(不+ 1尸+%2-1,可知其表示(七,%)到定点B(T, 0)的距离的平 方减1.因为八过定点0(0, 0),，2过定点A(2, -4),且/ ±/2,则P在以OA为直径的圆 上，但是由于直线6不能表示斜率为。的直线，直线，2不能表示斜率不存在的直线，所以 要除去一点(2, 0).而上述圆的圆心为C(l, -2),半径为1。4 =/，2由 BC=2在，PBmm=BC-布=2无一下,PB杵=BC+ # = 26+ 小%2 + %2+2/=(为+1)2+%2-1(2点一")2一1,(2虎+"尸-1即12 4加.12 + 4加. 策略三

10、由圆周角的性质确定隐形圆例3(1)已知仇。分别为AA3C的三个内角A,8,C的对边，” =2,/二歹去、(«+b)(sinA-sinB)=(c-Z>)sinC 则 MBC 面积的最大值为.。B、 zC、J例3【解】原式即为八八由余弦定理得遁气,所以46。. 再由正弦定理,得外接圆的半径为三叵，设的外接圆的圆心为。，则。到BC的距离为逆，则边 338C上的高人的最大值为与+ 誓=加，则面积的最大值为里.(2) (2017 年常州一模)在 ABC 中,ZC=45%。是 ABC 的外心，OCmOA + ndS（?，£R）,则1+的取值范围是- 1-V2J)【解】由圆周角的性

11、质，NAOB=2NC=90。，点。在以。为圆心，半径04的圆上（在 优弧A3上）.不妨以。为圆心，QA所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示 的直角坐标系，设A。,。），3（0），C（cosasind）（2<8<27i）,由灰+ 砺 2,得到 °Y，所以，+=cosd + sine = sin（e + 3 ,结合二<夕<2兀，得到 n = sin 042*sin（ + ）e-l）,故胆+的取值范围是H/Il）.当圆周角是直角时，即为策略二的情形.策略四由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形的对角互补，则该四边形四点共 圆）例4 （2011年全国卷2）

12、设向量a, b, c满足=心1=1, a b = 若。一c与万一 c的夹角为60。，则Icl的最大值等于- 2【解】设向量。，b, c的起点为O,终点分别为A, B, C,由已知条A,广二件得，NAO8= 120。，NACB=60。，则点C在A4OB的外接圆上，当 ； / / '； 经过圆心时，最大，在aaob中，求得ab=，5,由正弦定理得 °'Ar：, y3例 4A08外接圆的直径是肃而=2, Icl的最大值是2.【同步练习】L点A, 8分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB = 2,若点A从(小，0)移动到(也, 0),则A3中点。经过的路程为.2 .已知O为坐

13、标原点，向量。方= (2.0), OC = (2,2), Scos a, >/2 sin a),则方与南夹角的范围为.工,史12 123 .已知直线/h-2>，+ ? = 0上存在点M满足与两点4-2,0).3(2.0)连线的斜率之积为-1, 则实数，的取值范围是.-2", 264 .已知圆C： x2+y2=l,点尸(沏，光)在直线八一、-2=0上，。为坐标原点，若圆C上存在一点。，使得NOPQ=30。，则沏的取值范围是. 0,25 .如图，已知点A(1,0)与点3(1.0), C是圆/+2=1上的动点(与点A4不重合),连接 8c并延长至。，使得ICDI = I8CI,

14、则线段PO的取值范围7第二讲“数”现“圆”形解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度(求出其方程)来发现.策略五 直接由圆(半圆)的方程确定隐形圆例1围为.(1) (2016年泰州一模)已知实数，b,。满足1+尸=，'则七的取值范例 1(1)11【解】方法一令0 = X, e = y,则原题转化为实数X、V满足求二的取值 c cx-2范围，归结为以原点为圆心的单位圆上的动点M(x, y)与定点尸(2,0)的斜率的取值范围.方法二令”=085夕， = csin夕，原题转化为求应；6的取值范围，而动点(cos。sin。)在 cos夕一 2以原点为圆心的单位圆上，以下同方法一.

15、(2)若方程3 =x+有解,则的取值范围是. 1-22,引/ / / o7 x 例，【解】令y=3 7二7其方程可化简为(x-2)2+(y3)2=4(lWyW3),即表示圆心为(2,3),半径为2的半圆.当直线/： y=x+与此半圆相切时，满足圆心(2,3)到直线4=工+距离等于2, 解得=1+2&或=1一2点，因为是下半圆，故可得人=1+2/ 当直线过(0,3)时,解得劣=3,故1 -2点WbW3.(3)已知实数小 >满足x->/rrr=j7Ti-)，则人十了的最大值是.【解】设G7T = S2O,则x = 1l,y = J3,代入原式并整理，得（5-1）2+（/-1）2

16、 = .因此动点P（S, f）的轨迹是圆位于第一象限的一段圆弧（含与X轴、 y轴的正半轴的交点），此圆的圆心为C（；,» 半径为r=岁，WA+y = ?+r-4, 所以（x+y） max = （OC + ;*） 4 = （2>/2）2 4 = 4.另法：（基本不等式）原式化为x+y =4 + 1 +4+3 ,平方后为（x+=（>/x+T + yfyV W2（x + l + y + 3）t = 3即（x+y）22（x+y） 8W0,解得 x+yW4 （当且仅当 一t 时取"="）.l.V = 1策略六 直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例2 （1）已知

17、夕/eR,则（coseT 2）2+（sine f + 2）2的取值范围是.9-4&.内)【解】点P（cos3sine）在以原点为圆心的单位圆上，。“+ 2,，-2）在直线八一一4 = 0上, 转化为圆上的动点与直线上的动点的距离的平方的取值范围，圆心到直线的距离为2户,所以，圆上的动点与直线上的动点的距离的最小值为2点-1,其平方为9-4四.（2）（2008年重庆高考）函数,"）=sin x - 1V3-2cosa-2sinx（0WxW2兀）的值域是.例 2(2)l-LO【解】公）=sinx-1 _sinx-15-2cosx-2sinx J(cos x-1)2 + (sin

18、x-1)2 当 sinx=l 时，y（x）=0；当-iWsiiuVl 时，M =COSX-1 9,r+i sinx-1CY '其中 一的几何意义为以原点为圆心的单位圆上的动点(cosx,sinx)与定点(1,1)构成直 sinx-1线的斜率，则丝二1 20,所以得到TW/U) W0.sinx-1策略七 由两定点A、B,动点P满足西丽=4(4是常数)，求出动点P的轨迹方程确定隐形圆例3 已知圆3)2+()，-4)2 =1和两点4TM,0),8(附0)(用0).若圆C上存在点P,使得.而=1,则/的取值范围是. 715,735【解】设点P(x, y),满足方丽=1,得/ +产=1 +m2,

19、这是一个圆的方程，从而转化为两圆有公共点，得a + /7W5Wjl +/+1,解得，的取值范围是尼,用.注 若不.方=0,则点尸在以A3为直径的圆上.变式1 (2017年南通密卷3)已知点4(2,3), 5(6-3),点P在直线3x-4丁 + 3 = 0上，若满足等式Q-丽+22=0的点尸有两个，则实数2的取值范围是.【解】设P(x, y),则9=。一2,)，-3),而= (x-6,y + 3),根据A户8户+ 22=0,有(、一4+)，=13-2/卜¥)(10 义与直线版-4 + 3 = 0相交，圆心到直线的距离”3二一4 0一可=3所以几2.物+ 4工变式2 (2017年江苏高考

20、)在平面直角坐标系xO.v中，4-12,0), 8(0,6),点夕在圆O. x2+y2=50±,若P/ PQW 20,则点夕的横坐标的取值范围是【解】设点P(x, y),由。4"gW20,即。+ 6尸+()-3)2 W65,表示点P在此圆内部(含 边界)，又在圆。上,故联立得仁喉7 结合圆O的最左边点为(-5/0),所以的横坐标的取值范围是-5"1.策略八由两定点A、B,动点P满足幺2 +总2是定值确定隐形圆例4 (1)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C(La)2+(y-“+2)2=1,点A(0, 2),若圆C上存在点M,满足“笛+加。2=10,则实数的取值范围是

21、. 0, 3【解】设M(x, y),由M42+M02=io,月，2),得- 1户=4,而M又在圆C (犷-“)2+()，-“+2)2=1上，故它们有公共点，则1W/+33)2W9,解得实数”的 取值范围是0, 3.(2) (2017届盐城三模)已知A, B, C,。四点共而，3C = 2,八夕+472=20,5=35， 则18方I的最大值为. 10【解】以8C所在直线为x轴，线段8C的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设 A*, y),则 3(-1,0), C(1,O),由 A3?+/1。2=20,得/+)?=9,所以 0A = 3.取七(一 2,0),故在=3。0,所以上。=3。4=9,所以

22、点。在以E为圆心，半径为9的圆上,故18方I的最大值为E5+9=10.变式 在直角坐标系xOy中，已知A(1, 0)、8(0, 1),则满足EH-p¥=4且在圆/+产 =4上的点P的个数为. 2【解】设尸(x, y),由必2一尸¥=4知(x+l)2+为一N+u-i)2j=4,整理，2得x+y-2=0.又圆心(0, 0)到直线叶厂2=0距离小=#=艰V2,因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P有2个.PA策略九 由两定点A、B,动点P满足二="% >0,2。1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆) PB例5 (1) (2016年南通一模)在平而直角坐标xS，中，已知点

23、A(1.0).8(4,0),若直线x y + m = 0上存在点P使得PA = ；PB,则实数m的取值范围是.2也、2也、例 5(1)【解】点尸满足圆的方程为/+)尸=4,转化到直线与圆有交点的问题.变式1若PAWLPBI呢?2【解】点P在圆：£+)3=4的内部(含边界)，仍然转化到直线与圆有交点的问题.变式2 (2013年江苏卷第17题改编)在平面直角坐标系xOy中，已知点0(0,0), A(0,3).如果圆C: -a)? + (y %+ 4> = 1上总存在点M使得M4 = 2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是. 0,-5【解】设M(xy),由肱1 = 2MO,得6+(y

24、-3)2 =277k，化简为/+()，+ 厂=4 , 其表示以。(0.-1)为圆心，半径为2的圆，则圆。与圆C有公共点，得1WJJ+(2l3)2 W3, 解得4的取值范围是0,£.5(2) (2016届常州一模)在平面直角坐标系xO.v中，己知圆0：/+),2=1,O： (x-4)2+y2=4,动点P在直线x + G.v- = 0上，过点P作圆O,。】的两条切线，切点分别为A，&若满足心=2%的点P有且仅有两个，则的取值范围【解】由04 = 224平方得心2=4242,故尸。:一4 = 4(2。2-1).设P(x,y),代入上式得(+ ±)2+)，2=史，其表示以q

25、(_to)为圆心，半径为色的圆， .、33由题意，则直线X + 6.V- = 0与圆。由两个不同的交点，-a故一<-,解出的取值范围为(一次,41. 23k 3 ；(3)已知曲线C的方程W + y2=i, a(2,0),存在一定点8他0)("-2)和常数4,对曲线。上的任意一点M(x,y),都有= 成立，则点P(42)到直线(m + /：)% + ny + 2n + 2m = 0的最大距离为.【解】方法一：由也得(x + 2+y2=%2(x-b>+y1BP (l2 -1)a：2 +(12 -1)/ -(2£>22 +4)x = 4-A2b22b A2+4

26、= 0故/”九2,将方=一2代入4一万好=万一1得2+5人+ 2 = 0,得人 = 1, = 一2 (舍去)，故4=2.2又直线(? +办+行+ 2 + 2? = 0恒过定点(-2.0),所以由几何性质知点尸卜：,2)到直线1 A5(m + )x + y + 2 + 2】 = 0的最大距离为点(-2.0)与P ”,2 ；的距离为不.方法二：作为小题，由=知是阿氏圆轨迹，故取圆C:f+ /=1直径上的两个点131(-1,0),(1,0),即可得解得=二， =2 (舍去)，故4 = 2,以下同b + 1 一2方法一.例6 （2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线/ （一条南北方向的直线）3

27、.8海里的 A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击.已 知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航 速航行.（1）略：（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由.（例6）【解】（1）略（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xO.v.则可2, 20）,设缉私艇在尸y）处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则第=3,即-'十厂：=3.“3一2国整理得，卜用+6”7号所以点P（x, y）的轨迹是以点序州）为圆心，*为半径的圆.因为圆

28、心停，犷）到领海边界线/： x = 3.8的距离为1.55,大于圆半径 所以缉私艇能在领海内截住走私船.【同步练习】1 .已知圆 C： C-3)2+84)2=1,点 A(0, -1), B(O,1). P 是圆。上的动点，当始P+IPBI2 取最大值时，点尸的坐标是.【解】汽油，和)，则I用|2 +俨坪=需+ ("+1)2+而+ 3)1)2 = 2(焉+咐+ 2, 显然焉+)舶勺最大值为(5+1)2,占取=74,此时办=一6无，结合点尸在圆上，解得点P的坐标为(弓，y).2 . (2016年盐城三模)已知线段A3的长为2,动点C满足方.屈=4 (4为常数)，且13点C总不在以点5为圆

29、心，上为半径的圆内，则负数丸的最大值是.-24略解：动点C满足方程V + V=/l + l.3 . (2016年苏北四市一模)已知4(0,1),8(1,0),点。是直线4c上的动点，若AOW 2M恒成立，则最小正整数f的值为. 44 .在平面直角坐标系中，财为直线x=3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M,若圆 M截x轴所得的弦长恒为4.过点O作圆M的一条切线，切点为P,则点P到直线2x +y-10=0距离的最大值为. 375【提示】设M(3, f), P(xo,和)，因为OP_LPM,所以万声前=0,可得期2+y02-3刈一3)=0又圆“截x轴所得的弦长为4,所以 4+产=(xo3)2+(和一整

30、理得行+那一6x(i2(yu+5=0由得其2+州2=5,即点尸在圆好+产=5上，于是P到直线2»+厂10=0距离的最大值为强+木=34.5 .己知x、ywR且满足丁+2冲+ 4./=6 ,则z = /+4)的取值范惘是. 4J2第三讲“隐圆”综合隐藏圆问题可以和很多知识点结合，在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆.一、三角形中的隐形圆例1 (1) (2017年南京、盐城一模)在中，A，a2 +b2 + 2c2 = 8 ,则AABC面积的最大值为B,。所对的边分别为“，瓦c,若2/5y【解】以A8的中点为原点，AB所在直线为x轴，建系设4一二0), 3

31、(二0), C(x,y),贝lj由/+2/=8, 22W(x-)2 +y2 +(x+-)2 +y2 +2r? =8 , KPx2 + y2 =4- 22所以点C在此圆上，sw/wj - ¥=却(4一¥(2) (2008年高考江苏卷)若48=2, AC=&BC ,则【解】以A8的中点为原点，AB所在直线为x轴，建系则 A(-l,0), 8(1,0),设 C(x,y),由题意得+ if + y2 =&(x-l)2 + y2 ,化简可得(x - 3> + y2 =；A OB：x例1 5)一4)-c245S、斯的最大值是. 2在V£,-一、/个 :A

32、 a B: X / 、 / 、X例 1 (2)8,从而C到AB的距离最大值为2，故则5»友.的最大值是2x/2.变式已知AACZ)中,8为C。的中点，且人3=2,。=伍力，则5；山的最大值是.4也【解】5；皿是与应的两倍，从而转化为上题.例3变式2例2 (1)在AA8C中，BC=p, AC=1,以AB为边作等腰直角三角形AB。(3为直角顶点，C、。两点在直线AB的两侧).当NC变化时，线段CD长的最大值为【解】过点8作C8的垂线，取E点，使得BE= & ,连接EO,有BE=BC, BD=BA,NO8E=NA8C,则BEOg/kBCA,故EO=1,O在以E为圆心，1为半径的圆上

33、.故。皿 =OE+CE=l+2 = 3.(2)在AA3C中，点。在边8c上，且OC=28D, AB ： AD ： AC=3 ： k： ,则实数k的取值范围为(|令【解】不妨设A3=3,则AO=k, AC=1,由OC=28D,取A5上一点E,使得AE=2E8,则OE=AC = L,故。在以E为圆心，！为半径的圆上运动，则2 ,<k<2 + L,即* <kv：. 3333333二、向量中的隐形圆例3(1)已知向量g、b、c满足同=JJ,同=04=3,若(c-)(c 一8) = 0,贝Ijp-c|的最大值是75【解】易知。、力的夹角为45° ,作。4 =。，OB = b

34、, OC = c ,则 所以C在以AB为直径的圆上，A8=6，”c| = p4WAB = " 变式1已知向量。、氏c满足="，囱=0/=3,若(c-2zi)(2A-女) = 0,则»-c|的A，最大值是. 1 + /2。二oH B例3变式1【解】由(c - 2flX力一%) = 0得(c 一勿)(。一。)=0，易知。、的夹角为45° ,作M=a, 一_ O_OB=b , OC = c ,。4；=勿，OB' = ：b,由余弦定理知 A'3' = 2,而CL4； C3； = O,所以 C 3在以ATT为直径的圆上，设AZT的中点为。，

35、则5。=，从而长一。| =K4忘34'8' + 80 = 1 +点.变式2已知向量。,b, c满足=1, a-b=b, (a-c') (b-c) =0,若对每一个确定的向量b, Icl的最大值和最小值分别为小，则对于任意向量力，什的最小值是-【解】作。4=。，OB = b , OC = c,由匕-'=跑得08=A8,且AC8C； = 0,所以C在以A8为直径的圆上，设AB的中点为。，则】+ = （。+。）+（0。-（7。）=2OD 因为。小三，所以的最小值弓（2） （2016年高考四川理数）在平面内，定点A, B, C,。满足力/ =。月二。3DA DB = D

36、B DC = DC DA = -2,动点尸，M满足|而卜1, PA/ =砒，则忖必的最大值是49 T【解】由已知可得乙4。=/人。8=/8。=120°, DA=DB=DO2,故ABC为等边三角形.由M为尸。的中点，取AC的中点E,则ME为的中位线，ME=AP = ', 221 3所以M在以E为圆心，半径为上的圆七上8七=二8。= 3,故8M的最大值为2 2I 7, 1498E+ME=3+ 1 = 1 ,则BM .的最大值是一.224例4已知。4, o分为非零的不共线的向量，设"=-04 +_。月.l+r 1+r定义点集知=小 生竺="竺）.当K时，若对任意

37、的22,不等式 KA KB-|Kk；IWcIA加恒成立，则实数c的最小值为例4【解】由月即4e="芯，所以 l+r 1+rCA r由包_竺=维空，有cosNAKC = cos4KC,所以NAKC = 4KC,即CK为KA KBNAK8的角平分线，由角平分线定理得必=坦=1，所以必=”必，故K的轨迹为阿波 KA CA r罗尼斯圆，其圆心在A5直线上，若对任意的,22,不等式I卒:区cl通I恒成立，则c(笑)皿=9吧，(勺)侬即为此圆的直径， ABAB设此圆和直线A3的交点为财、N,则同N为圆的直径，.BM +BN BM BN 11 2r 2C F=4-=AB AB AB r-1 r +

38、 1 r-11r-r当后2时，(厂).=2,故(占)3=之，所以士，实数c的最小值为士. r 2 I 333r例5 (2014年常州高三期末卷)在平而直角坐标系xOy中，已知圆O:丁 +产=16 ,点尸(1,2),M、N为圆。上两个不同的点，且丽 丽=。，若而=国+而，则画的最小值为【解】方法一：显然四边形PMQN为矩形，设MN与PQ的交点为R(x, y),则 OM2=OR2+RM2=OR2+PR2- tip 16 = x2 + y2 + (x -1)2 +(y-2)2得Q_L)2+(y7)2=卫，所以H的轨迹是以S(L1)为圆心，半径为答 的圆, 2422由 PS= g，所以 pRmin=

39、W 一 号，故 |而L = 2PRmin = 36一而.方法二：显然四边形PM0N为矩形，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其 对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有0m2+0呼2=0尸+。2,所以。=36, 故。在以。为圆心，半径为3/的圆上，因为。尸=6，所以P。的最小值为36-6.2变式1 （2017年南通市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知从。为圆丁 +尸=4上两点，点41,1）,且A8L4G则线段8c的长的取值范围为.化简得【解】方法（标解）：设8c的中点为因为。82=0必+3疗=。02+4以2, 所以 4 =犬 + / +(a-1)2 +(y-l)2所以点m的轨迹是

40、以为圆心，至为半径的圆, （2 2）2所以AW的取值范围是 次W，e、+'2 , 22所以的取值范围是方法二：以从从AC为邻边作矩形朋CM贝IJ3C=AM由矩形的几何性质(矩形所在平而上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等)，有OB2+OC2 =O4ON： 所以。N=而，故N在以。为圆心，半径为花的圆上，因为。A=，所以5c的取值 范围是卡-点,V6 + V2J .变式2 已知圆G： /+炉=9,圆c2： /+./=4,定点P(1,O),动点43分别在圆G和 圆上，满足乙4尸8 = 90 ,则线段的取值范闱2>5-1,26+1【解】以小、P8为邻边构造矩形AP8Q,

41、则AB=P。，由矩形的几何性质(矩形所在平而 上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等)，有。产+。2=。1+。出, 所以。=12,即。=26，故。在以。为圆心，半径为26的圆上，因为OP=1,所 以AB的取值范围是26-1,26 +1.变式3已知向量。、力、c满足问=3,同= 2jp| = L(a p).( p) = 0,则-力|范围为2bT2/+1【解】作向量。4=。，OB = b >。户=p,贝Ij/X /值=0, a-b = AB9不妨以。为坐标 原点，0P所在直线为x轴，建立直角坐标系，则本题转化为上题.三、圆锥曲线中的隐形圆例6在平而直角坐标系中，已知圆01，圆.

42、均与x轴相切且圆心O1 , Q与原点O共线，外，Q两点的横坐标之积为6,设圆O.与圆Q相交于P , Q两点，直线/ ： 2x- y-8 = 0 ,则点夕与直线,上任意一点M之间的距离的最小值为. 浮-"【解】设圆心01，。2在直线>="上，P(xo，yo)»可设 01(?，)，。2("，/)，则7 = 6,所以。1 ： (x-m)2+(y")2=(廿)2,/O6>2： (x-n)2+Cy-ntint)2,/ 所以(xom)2+(yo (xo-z?)2+(>to - nt)2=(nt)2 (例6图)所以7、n 为(x(|-x)2

43、+(yu a)2=(fx)2即- 2(*)+ yx)t) x+ x： + y： = 0 的两根.由二次方程的根与系数的关系，得? =片+ y：=6所以P(.m和)在圆+)2=6上，其圆心为0(0, 0),。到,的距离为经，则点P与直线/上任意一点M之间的距离的最小值为 ¥ -面.变式(2015年江苏初赛)如图，在平面直角坐标系xO.y中，圆Q、圆。2都与直线/： y= 心及x轴正半轴相切.若两圆的半径之积为2,两圆的一个交点为P(2, 2),求直线,的方 程.【解】由题意，圆心小，。2都在x轴与直线/的角平分线上.若直线/的斜率4=1皿，设r=tan*贝U =三.21 一尸圆心01,

44、。2在直线y =加上，可设0(，")，。2(，").，交点 P(2, 2)在第一象限，?，r>0.nt)2=(nt)29 所以，所以。工(x-?)，&-"户=(机。2, 001： (xn)2+(yJ (2/+(2”)2=(”)2, (2 n)2+(2-nt)2=(，4产，(变式图)nr-(4+4t)m + 8=0, .2(4+4。 + 8=0, 所以?，n是方程X2(4+4/)X + 8=0的两根，1=8.2由半径的积（"）（/"）=2,得半=；，故2/144:听以 k=、直线 /： y="x.一 y .例7设椭圆E：

45、+9=1,是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点a, B,且【解】假设满足题意的圆存在，其方程为r+32=*，其中0<RV2.设该圆的任意一条切线A8和椭圆E交于A（X, y）、3（X2，X）两点，1。当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m,将其代入椭圆E的方程并整理得(2r +1 店+4gx+2， 8=0.得X+X2= 一若台，乙k I 12?n2-83可干.因为。（_1,。月，所以 xix2+y1y2=0.把代入并整理得（1 +M>lX2+kJ（Xl+x2）+，=0.因为直线A8和圆相切，因此/?=7鼻，由得/?=呼，所以存在圆炉+炉

46、=5满足题意.2。当切线AB的斜率不存在时，易得x：=x；=?由椭圆E的方程得），；=£=?,容易判断。4 ± OB .综上所述，存在圆炉+炉=?满足题意.法二：（引入k算出A、8坐标）1口当。4的斜率存在,且不为。时，设直线。4的方程为尸曲，则直线08的方程为y = -L,v-Q设A。）、Bg将尸反代方+1,得一薪则等，同理'"=记一 .6=*+"=”+甯2设。到A8的距离为/则/=OA2OB2oa2 + ob28(1 + 二)8伏2+1)1 + 2/H .2 =8 8(1 +炉)，8面+1) - G1 + 2卜k2+2Q2。当。4的斜率不存在

47、或为。时，容易验证Q ，综上所述，存在圆心在原点的圆+产=彳满足题意.探究：是否可以将此结论推广到一般性的结论呢？对于椭圆：£+£=13>b>0),椭圆上的两点月、B满足。4_LO8,是否存在以AB为切线且以。为圆心的定圆？如果存在，其半径是多少？法一 ：1。当。4的斜率存在，且不为。时，联列方程y = kx得k=产7T同理，;=*£，Zr+aK"K+d则。T=(i+如)4=(+&2)。为： c>b2=( 1+4) a h . =(2+1)-b- +(rk-k- 2 1ZrK+a0 + 7T!c设。到A8的距离为小则* > b ，八 dbnA2 nR2 (1 +- (A' +1)rpr 2,22 = OB =b-I厂k= a b = 2'一。f+加一,2Ha%2 一户寿一(1 + K)r+ (K +1)rh2+a2k2h2k2+a22。当。4的斜率不存在或为。时，容易验证/=:史> =代cC +6，存在以AB为切线且以。为圆心的定圆，其方程为心篇法二：联列方程 1"+"厂="",得3Y2+/)/+ZJkm: + a2/a22=0 y =h + m2( J