常数项级数的概念与性质实用教案

1、一、级数(j sh)的概念1. 1. 级数级数(j sh)(j sh)的定义的定义: : nnnuuuuu3211(常数(chngsh)项)无穷级数一般项部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 第1页/共21页第一页，共22页。2. 2. 级数级数(j sh)(j sh)的收敛与发散的收敛与发散: : 当当n无限增大时无限增大时, ,如果级数如果级数 1nnu的部分和的部分和数列数列ns有极限有极限s, , 即即 ssnn lim 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛, ,这时极限这时极限 s叫做级数叫做级数

2、1nnu的和的和. .并并写成写成 nuuus21 如果如果ns没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散. . 第2页/共21页第二页，共22页。即即 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误差为误差为nr)0lim( nnr第3页/共21页第三页，共22页。例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如果如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqq

3、an 第4页/共21页第四页，共22页。,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛(shulin) 发散(fsn)时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散(fsn) aaaa级数变为级数变为不存在不存在nns lim 发散 综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn第5页/共21页第五页，共22页。例例 2 2 判别无穷级数判别无穷级数 11232nnn的收敛性的收敛性. . 解解nnnu 1232,3441 n已知级数(j sh)为等比级数(j sh)，,34 q公比公比, 1| q.原级

4、数发散原级数发散第6页/共21页第六页，共22页。例例 3 3 判别无穷级数判别无穷级数 )12()12(1531311nn 的收敛性的收敛性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn第7页/共21页第七页，共22页。)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛第8页/共21页第八页，共22页。三、基本(jbn)性质性质性质 1 1 如果级数如果级数 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnku亦收敛亦收敛. . 性质性

5、质 2 2 设两收敛级数设两收敛级数 1nnus, , 1nnv, , 则级数则级数 1)(nnnvu收敛收敛, ,其和为其和为 s. . 结论结论: : 级数级数(j sh)(j sh)的每一项同乘一个不为零的常数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛收敛(shulin)(shulin)级数可以逐项相加与逐项相减级数可以逐项相加与逐项相减. .第9页/共21页第九页，共22页。例例 5 5 求级数求级数 121)1(5nnnn的和的和. . 解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11

6、115令令),111(5 n第10页/共21页第十页，共22页。, 5)111(lim5lim ngnnn,211是等比级数是等比级数 nn，首项是首项是公比公比21, 121 qnnnnh lim211. 61521)1(51 nnnn故故, 121121 第11页/共21页第十一页，共22页。性质性质 3 3 若级数若级数 1nnu收敛收敛, ,则则 1knnu也收敛也收敛)1( k. .且其逆亦真且其逆亦真. . 证明证明(zhngmng) nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明(zhngmng)在级数前

7、面加上有限项不影响级数的敛散性. ( (即级数(j sh)(j sh)的前面加上（或去掉）有限项，级数(j sh)(j sh)的敛散性不变） 性质性质 4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .第12页/共21页第十二页，共22页。注意注意(zh y)收敛级数(j sh)去括弧后所成的级数(j sh)不一定收敛. )11()11(例如例如 1111推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级则原来级数也发散数也发散. . 收敛(shulin) 发散第13页/共21页第十三页，共22页。四、收敛(shul

8、in)的必要条件级数收敛级数收敛. 0lim nnu证明证明(zhngmng) 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋于零趋于零它的一般项它的一般项无限增大时无限增大时当当,nun级数收敛级数收敛(shulin)(shulin)的必要条件的必要条件: :第14页/共21页第十四页，共22页。注意注意(zh (zh y)y)1.1.如果级数(j sh)(j sh)的一般项不趋于零, ,则级数(j sh)(j sh)发散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 发散(fsn)2.2.必要条件不充分. .?, 0lim但级数是否收敛但级数是否

9、收敛有有 nnu n131211例如调和级数例如调和级数第15页/共21页第十五页，共22页。讨论讨论(toln)(toln)nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和为其和为假设调和级数收敛假设调和级数收敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级数发散级数发散)(210 n便有便有.这是不可能的这是不可能的第16页/共21页第十六页，共22页。五、小结(xioji)1.1.由定义由定义, ,若若ssn, ,则级数收敛则级数收敛; ;2.2.当当0lim nnu, ,则级数发散则级数发散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. . 常数(chngsh)项级数的基本概念基本

10、(jbn)审敛法第17页/共21页第十七页，共22页。一、一、填空题填空题: : 1 1、 若若nnan242)12(31 , ,则则 51nna= =_； 2 2、 若若nnnna! , ,则则 51nna= =_； 3 3、 若级数为若级数为 642422xxxx则则 na_； 4 4、 若级数为若级数为 97535432aaaa则则 na_； 5 5、 若级数为若级数为 615413211 则当则当 n_时时 na_；当；当 n_时时 na_； 6 6、 等比级数等比级数 0nnaq, ,当当_时收敛；当时收敛；当_时发散时发散 . . 练习题练习题第18页/共21页第十八页，共22页。

11、三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性. . 四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: : 1 1、 n31916131； 2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn； 3 3、 nn101212014110121 . . 第19页/共21页第十九页，共22页。练习题答案练习题答案(d n)一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. . 三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、发散、发散、 nkknks12)10121( . . 第20页/共21页第二十页，共22页。谢谢您的观看