常微分方程解的结构实用教案

1、121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xky xy xyxy xyx ：设为定义在内的两个函数，：设为定义在内的两个函数，如果存在非零常数 ,使得,则称如果存在非零常数 ,使得,则称线性相关，否称线性相关，否称定定则线性无关则线性无关义义12( )( )0,y xyqyyypx 设是方程的两个设是方程的两个线性无关线性无关定理9.1定理9.1的解，则的解，则1122( )( )( )y xC y xC yx12,.CC是方程的通解，其中为任意常数是方程的通解，其中为任意常数第1页/共24页第一页，共25页。二阶常系数齐次线性方程(x

2、in xn fn chn)解法02 qprr特征方程,2422,1qppr 特征(tzhng)根0 qyypy第2页/共24页第二页，共25页。(1) 有两个(lin )不相等的实根1r2r,11xrey ,22xrey 两个(lin )线性无关的特解得齐次方程(fngchng)的通解为;2121xrxreCeCy 2(40)pq 特征根为第3页/共24页第三页，共25页。(2) 有两个(lin )相等的实根2(40)pq 所以(suy)齐次方程的通解为;)(121xrexCCy ,11xrey ,221prr 一特解为特征根为另一特解;2xrxey 第4页/共24页第四页，共25页。(3)

3、有一对(y du)共轭复根,1 jr ,2 jr 2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx方程(fngchng)的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征(tzhng)根为第5页/共24页第五页，共25页。02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第6页/共24页第六页，共25页。)(xfqyypy 二阶常系数(xsh)非齐次线性方程对应齐次方程, 0 qyypy通解(tngji)结构*(

4、 )( )( ),y xY xyx 二阶常系数(xsh)非齐次线性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一个特解，如果是方程的一个特解，是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解为为第7页/共24页第七页，共25页。12( )( )y xyx定理定理如果与分别为方程如果与分别为方程12( ),( )ypyqyfxypyqyfx和和Y的特解，是方程的特解，是方程, 0 qyypy的通解，则的通解，则*12( )( )( )( )y xY xyxyx 12( )( ).ypyqyfxfx是方程的通解是方程的通解第8页/共24页第八页，共

5、25页。常见类型( ),nP x( ),xnP x e 12(cossin)xeAxAx 难点(ndin)：如何求特解？方法(fngf)：待定系数法.1.( )nypyqyP x设非齐方程特解为*( )yQ x为多项式，为多项式，代入方程( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x第9页/共24页第九页，共25页。1011( )0nnnnQ xa xa xaqxa 时时，( )( )( )( )nQxpQ xqQ xP x01,.naaa其中为待定系数其中为待定系数0 ,0qp时时， 可设， 可设12011( )nnnnQ xa xa xaxa x 0 ,0qp时时， 方程通解可由，

6、方程通解可由( )nyP x .直接积分得到直接积分得到第10页/共24页第十页，共25页。设非齐方程(fngchng)特解为*( )xyQ x e 代入原方程(fngchng)2( )(2)( )() ( )( )nQxp Q xpq Q xP x不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ( )( ),nQ xQx 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ( )( ),nQ xxQx 可设可设*( );xnyQx e *( );xnyxQx e (2.)xnypyqyP x e 第11页/共24页第十一页，共25页。是特征方

7、程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p 2( )( ),nQ xx Qx 可可设设综上讨论(toln)*( ) ,kxnyx eQx 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k*2( ).xnyx Qx e 第12页/共24页第十二页，共25页。特别(tbi)地xAeqyypy 2*2,22xxxAepqAyxepAx e 不是特征方程的根不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的单根是特征方程的重根是特征方程的重根第13页/共24页第十三页，共25页。.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解对应(duyng)齐次方程通解特征方程, 0232

8、rr特征(tzhng)根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程(fngchng), 得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例1第14页/共24页第十四页，共25页。型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 设设,)(1ximke

9、Qxy 利用(lyng)欧拉公式第15页/共24页第十五页，共25页。,)()(xiexPqyypy 设设,)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根 iik第16页/共24页第十六页，共25页。.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解对应(duyng)齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助(fzh)方程,4ixeyy ,是是单单根根i ,*ixAxey 故故代入上式, 42 Ai,2iA ,)

10、cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齐方程(fngchng)特解为,cos2xxy 原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）例2第17页/共24页第十七页，共25页。.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解对应(duyng)齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助(fzh)方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 设设代入辅助(fzh)方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例3第18页/共24页第十八页，共25页。)2sin2)(cos9431(xixix 所

11、求非齐方程(fngchng)特解为,2sin942cos31xxxy 原方程(fngchng)通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取实部）注意(zh y)xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xiAe 第19页/共24页第十九页，共25页。.tan的通解的通解求方程求方程xyy 解对应(duyng)齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程(fngchng)通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tan

12、seclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程(fngchng)通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例4第20页/共24页第二十页，共25页。三、小结(xioji)可以是复数）可以是复数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系数(xsh)法)只含上式一项解法：作辅助(fzh)方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.第21页/共24页第二十一页，共25页。思考题写出微分方程(wi fn fn chn)xexyyy228644 的待定特解的形式(xngsh). 第22页/共24页第二十二页，共25页。思考题解答(jid)设 的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设 的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为0442 rr特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）*2y