城市表层土壤重金属污染分析数学建模

1、免费自行车交通系统服务网点布局规划摘要 免费自行车公共交通系统是近几年来我国在交通领域开展的一项重要工作，国内在这方面的理论研究尚处于探索阶段。本文针对某城区免费自行车服务系统进行分析研究。针对问题一，我们能够得到两个模型。在模型一中，我们考虑到地铁站A,B,C,D,E和超市S1,S2,S3的人流量比较大，于是我们以这些点为圆心，以人步行所能承受的最大距离为半径画圆（如图2）。结果我们发现在地铁站C和D以及超市S3周围没有自行车服务网点，故在这些区域自行车安排是不合理的。在模型二中我们主要是通过克拉克人口预测模型对各个区域以及各网点服务范围内的人口进行预测。通过分析，我们把城区内的人口分为固定

2、人口和流动人口。然后我们利用克拉克人口密度函数以及编写MATLAB程序计算出各给网点服务范围内的固定人口数，同时根据题给信息计算出城区的流动人口数。在建立评价标准时，我们从个体评价标准和整体评价标准两个方面考虑的，最终我们发现这17个服务网点的分布以及各个网点分配的自行车数量是不合理的。针对问题二，我们求解的方法是建立在模型二的基础之上的。通过模型二中的克拉克人口预测模型，我们可以计算出各个区域的人口分布密度，显然在人口密度大的区域，其所分布的自行车服务网点也应该相应的增加。同时在分布网点时应该考虑到使网点的分布尽量避免在十字路口，网点的服务区域面积尽可能的大，以及网点设置范围尽量不重叠。针对

3、问题三，总结常规选址的因素，设立自行车服务网点，并从自行车需求量，方便程度和建设费用三方面因素评价所设点的合理性。最终通过求解，得到该城区最多布置的自行车服务网点为91个，安排的自行车数量为2150辆。关键词：自行车服务网点，克拉克人口预测模型，固定人口，流动人口一、问题的重述1.1问题背景及信息某城区推行免费公共自行车服务，已知地区基本信息如下（如图所示） 图1此城区现有人口15 万，地域面积约22.9平方公里(如图长4.68公里，高4.89公里)，含两座小山和一个湖泊（如图）。已知规划中的地铁站有5个，图上AE点，预计高峰时间人流量在4000-5000人/站，其余时间10002000人/站

4、。大型社区有两个，社区C有1.4万人，社区C有2.8万人，其余地区，除山地、湖泊和河流区域外，可以认为人口是均衡分布的。大型超市有三个，预计高峰时间人流量在3000人/座，其余时间1000人/座。现建设网点依据有限时间内免费租赁，随处借还的原则，最大可能方便居民使用，应优先考虑交通枢纽和地点人流量，根据现实中调查可以推断：早晨在社区周边的网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点的车辆数较多。十字路口的人流量一般较大。网点之间的距离一般控制在300米1000米之间。目前该地区现有17个网点，600辆免费自行车，统计车辆数如下表所示表1 17个网点的车辆统计表编号上午7:00车辆数下午5:

5、30车辆数170702609034030430105301063010750458301093070103010113020123080132010145060152010162051730601.2提出问题问题1. 设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。问题2. 在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，如何决定网点位置跟每个网点的车辆数，才能使在你的评价指标下达到最优。问题3. 但目前市政资金有限，只能拿出110万元左右，已知建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民，则需要在此

6、地区建立多少个，如何分布网点并确定每个网点的车辆数。二、问题分析在本文中，我们需要解决三个问题，1设定一个评价标准来衡量现有网点和车辆分布状况；2 在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，如何决定网点的位置跟每个网点的车辆数，才能使在你的评价指标下达到最优；3 在最高不超过110万奖金，并且已知建设一个网点需要5000元，投入一辆自行车的成本需要300元，尽可能实现主要居民区网点平均间距为500米的公共交通体系，并最大程度地服务居民，需要在此地建立网点的个数、如何分布网点以及各网点的车辆数。针对问题1，我们主要采用两个模型进行求解的，在模型一中，我们主要从人流量以及人步行所能承受的最

7、大距离这两个方面进行考虑的。首先我们认为地铁站A,B,C,D,E和超市S1,S2,S3的人流量比较大，故我们以这些点为圆心，以人步行所能承受的最大距离为半径画圆（如图2），结果得到该服务网点在地铁站C,D以及超市S3的分布是不合理的。鉴于模型一采用的方法比较简单以及具有局限性，于是在模型二中，我们主要是从自行车利用率角度进行考虑的。我们将城区里的人口分为固定人口和流动人口，将城区划分为10个区域，并作出各个服务网点的服务范围，然后通过克拉克人口密度函数计算出各个服务网点范围内的总的固定人口和流动人口的数量，最后利用其人口数量间接求出各个网点的自行车利用率。针对问题2的求解，我们主要是建立在模型

8、二的基础上进行的，在网点的设置过程中，我们遵循以下原则：1 尽量不在十字路口设置网点；2 网点的设置与人流密度成正比，人流大的地方设置的网点数目多；3 各个网点的服务范围的重叠部分尽量小；综合上面的分析，最终我们把网点的布置以及各网点分布的自行车数目制作成图表。针对问题3的求解，我们主要是根据已知的条件建立一个线性规划模型，并通过编写lingo程序求出所求问题的解。三、模型假设1假设在不同时间段内，同一网点的租用情况不相同，在同一时间段内，不同网点的租用情况也不相同；2假设该城市处在一种封闭的环境内，没有人口的流入和流出，即人口始终保持在15万人；3假设城区里的人每次最多只能租用一辆自行车；4

9、假设除山地、湖泊和河流区域外，人口是均衡分布的；5假设公共自行车不会有被偷、损坏等意外情况发生；6假设网点间的距离为平面距离；7假设该城区的人口流动是稳定的，季节，天气，节假日等因素对其没有影响或者影响很小；8假设不在十字路口设置自行车服务网点；四、符号说明及名词定义；：为社区CI内的网点数；：为社区CII内的网点数；：网点位置在直角坐标系下的坐标；：平均每辆自行车的服务人数；（为常数）：表示网点覆盖的总面积；中央节点：中央节点是指离地铁站A,B,C,D,E和超市S1,S2,S3较近的自行车服务网点；节点：是指除中央节点以外的其他自行车服务网点；五、模型建立模型一 网点布局及自行车分布数目评价

10、模型在对本问题中网点布局及自行车分布数目进行评价时，我们主要从定性分析和定量分析两个方面考虑的，具体内容如下：5.1.1定性分析评价模型问题一中要求我们对17个现有网点的分布状况以及各网点拥有的自行车数目进行评价。由题知，早晨在社区周边的网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点的车辆数较多，十字路口的人流量一般较大，网点之间的距离应该控制在3001000米。联系实际，故我们可以得到以下结论：1 社区、地铁站和超市附近必须设有自行车网点；2 尽量避免在十字路口设置自行车网点；3 为了实现自行车网点利用效率最大化，网点设置范围应尽量不能重叠；4 在固定服务半径下，网点数目与区域人口密度成正

11、相关；5.1.2定量分析评价模型由于题目要求网点之间的距离应控制在3001000米，故我们把相距最近的两网点间的距离统计如下表：表2 相距最近的两个网点间距离统计表相距最近的两个网点两网点间的距离（单位：米）网点1与网点21250网点2与网点121000网点3与网点17200网点4与网点5250网点6与网点8750网点7与网点14500网点8与网点10500网点9与网点11250网点10与网点8500网点11与网点9250网点12与网点3500网点13与网点15450网点14与网点7500网点15与网点13450网点16与网点15800网点17与网点3200鉴于地铁站和超市的人流量比较大，故我

12、们在考虑网点的布局是否合理时，我们以地铁站A,B,C,D,E，超市S1,S2,S3为中心，以人行走所能承受的最大距离为半径在题给图中画圆，由前面的符合说明，我们可以求出，具体见附录1（图2）。并且根据问题分析，有如下结论：社区C1应分部的网点数为：；社区CII应分部的网点数为：；除社区CI和社区CII外应分部的网点数为：；其中，；模型二 网点布局及自行车分布数目评价模型改进由于模型一中的方法比较简单，故我们在模型二中主要是利用克拉克人口密度分布函数来进行求解，我们把该城区的人口分为固定人口和流动人口，然后通过对人口的预测，来间接求出自行车的利用率，进而对该城区自行车服务网点进行评价。5.2.1

13、 固定人口的预测题目中已经知道了社区CI和社区CII的人口总数，则问题归结为计算除社区外的其他区域的人口数，于是根据前面的克拉克人口分布密度函数模型，我们设该城区的人口分布密度函数为：又根据一般城区的现状是人流密集区为交通枢纽区，所以我们分别设地铁站A和B为该城区的人流密集区，从而这两地的中心人口密度为，向四周辐射递减，利用曲面积分：可以求出不同网点服务范围内的固定人口数。5.2.2 流动人口的预测由题给信息可知，地铁站AE预计高峰时间人流量在4000-5000人/站，其余时间1000-2000人/站。大型超市有三个，预计高峰时间的人流量在3000人/座，其余时间1000人/座。在求解本问题时

14、，根据表3我们可以得到地铁站和超市的人流密集区域半径为200米（见图3红色阴影圆）。利用人流量与面积之比，可以得到这些区域内流动人口的平均人流密度。在已知平均人流密度的前提下，故只需要求出面积就可以求出分布在这些区域的流动人口的数量。 表3 公共设施的服务半径统计表公共设施加油站公交站垃圾站大型商场地铁站自行车站服务半径900m300-800m600m200m200m150-500m5.2.3 个体评价模型我们在采用个体评价标准时，主要采用下列函数关系式，通过计算分析进行评价： （注：可由表1中上午7:00钟统计的自行车数量得到）5.2.4 整体评价模型为了对自行车服务网点布局的优劣进行整体评

15、价，我们建立了一个整体评价模型对网点进行评价，同时为解决第二问提供了整体依据，具体的评价函数关系式如下：模型三 网点的布置以及各网点车辆的确定在确定网点的布置时，我们主要从以下三个方面进行考虑：1 尽量避免在十字路口布置网点；2 网点的设置与平均人流密度成正比，人流大的地方设置的网点数目多；3 各个网点的服务范围的重叠部分尽量少。在安排各个网点的自行车数量时，我们主要是利用模型二中求解出来的区域CI,CII,A,B,C,D,E,S1,S2,S3和其它区域的固定人口数和流动人口数以及各个网点范围内的固定人口数和流动人口数进行考虑的，人口数多的区域，则分配的自行车数量就相对的多。模型四 在资金固定

16、条件下如何建立网点城区现有人口15 万，地域面积约22.9平方公里，但市政资金有限，只能拿出110万元左右，建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民。结合实际情况我们算出因市政资金有限，所以此地区最多可建立91个网点，根据所建的网点数可求出应投入的自行车车辆总数为2150辆。六、模型求解6.1 模型一的求解由题目信息，我们可以得到：，； 9.3 18.7 ， 72.0；同时根据（图1），我们可以得到地铁站A,B,C,D,E和超市S1,S2,S3旁的中央节点数，具体如下表： 表4 各区域的中央节点数

17、统计表区域ABCDES1S2S3中央节点数11111111根据以上的信息，我们可以求出社区CI,社区CII,以及其他区域应该分配的自行车服务网点数分别为：1个，2个，14个。由于题目中规定各个网点之间的距离应该控制在3001000米，而通过表2我们可以发现网点1与网点2，网点4与网点5，网点3与网点17，网点9与网点11之间的距离均不满足题目中的规定，故可以得到这些网点分配是不合理的。同时由图2可以发现在地铁C和D以及超市S3周围都没有自行车服务网点，故在这些区域自行车的服务网点分配仍然是不合理的。并且通过计算，理论上社区CI应该分配1个自行车服务网点即可，但从图1我们发现CI有两个自行车服务

18、网点，故造成资源的浪费。6.2 模型二的求解6.2.1 网点服务半径的确定根据一个自行车网点能够提供服务能力的大小，在满足周围人们需求的条件下，我们以网点为中心确定一个服务半径，保证周围一定范围的人们能够享受到便捷服务，又已知题目中网点间的距离应控制在3001000米，故设网点的服务半径满足如下关系式：同时结合（表3）中公共设施的服务半径，我们可以确定自行车网点的服务半径为。以及结合（图2）的制作方法，我们得到如下网点覆盖图： 图3 网点服务区域图 从上图3中我们可以看到有些网点的服务区域出现了重叠现象，例如：网点3与网点17，网点4与网点5，网点9与网点11，从而造成资源的浪费，故这些网点在

19、布局上是不合理的6.2.2 区域人口数和网点服务范围人口数的确定根据网点的设置最大程度地服务于居民，网点的设置与居民流通量程正比，我们将该城区分为10个区域：CI,CII,A,B,C,D,E,S1,S2,S3和其它。我们以A,B为中心，分别测出了其它区域和各网点到A,B的距离统计表，具体如下：表5 各区域同中心区域的距离区域类型CICIICDES1S2S3距离（米）010001000170016006005201550表6 各网点同中心区域的距离网点编号123456789距离（米）2300100087016001800184083018001700网点编号1011121314151617距离（

20、米）1730187035060010003801250800根据以上测出的距离，利用模型二中的公式：然后通过编写MATLAB程序，可以计算出各个区域和网点范围内的人口数，具体如下表：表7 各区域范围内人数统计表区域编码固定人口流动人口高峰期其它时间CI14000CII28000A17004000-50001000-2000B17004000-50001000-2000C13004000-50001000-2000D10004000-50001000-2000E11004000-50001000-2000S1140030001000S2150030001000S3100030001000其它平均

21、分布表8 各网点范围内的人数统计表网点编号上午7:00车辆数下午5:30车辆数网点范围内人数17070200026090270034030200043010160053010160065010150073045208083010155093070160010301016001130201530123080240013201022001450601930152010240016205184017306021006.2.3 个体评价标准通过上面的计算，我们可以计算出自行车服务网点范围内的固定人口和流动人口的总量，让后将其分别乘以，则可以得到各个服务网点的自行车实际需求量，具体如下表： 表9 自行车

22、供给数与需求数编号1234567892634462527267035267060403030305030300.3710.5661.1500.8330.9000.8661.4001.1660.866编号1011121314151617262740375140303430303020502020300.8660.9001.3331.8501.0202.0001.5001.133经分析当的值趋向于1时，说明该网点自行车数量的安排是合理的，但是从表9中我们发现网点1，网点2，网点4，网点5，网点6，网点9，网点10，网点11的都是小于1的，故我们认为在这些网点自行车数量的安排是不合理的，其中网点1，

23、网点2相对于其他几个网点，其不合理程度更强，主要是因为其自行车的供求量过大。6.2.4 整体评价标准在对本问题进行整体评价时，我们主要采用下面这个公式：于是我们根据（表9）中的数据可以得到如下关系式：显然从上面得到的，可以看出从整体上说这些服务网点的布局并不是最合理的，还需要进行适当的调整。6.3 模型三的求解针对网点的布置，我们通过利用模型三中提到的三个衡量标准，利用Photoshope制作如下图形： 图4 100个网点分布图在确定各个网点的自行车数量时，我们主要利用模型二中得到的固定人口数量和流动人口数量来确定各个网点的自行车数量，具体结果见下表表10 各个网点设置的自行车数目网点编码网点

24、坐标上午车辆数下午车辆数1(650,520)70702(1350,1650)60903(2920,1820),40304(2700,700)30105(2640,500)30106(3900,3750)30107(28003680)50458(3900,2990)30109(3790,1700)307010(3900,2350)301011(3850,1490)302012(2280,1990)308013(1550,4590)201014(3150,3990)506015(1690,4190)201016(760,4150)20517(2650,1650)306018（200，4680）20

25、1519（210,3720）455020（210,4200）252021（325,3220）302022（80,2700）707023（90,2090）504024(250,1500)203025( 320,520)607026(1150,610)708027(750,1250)807028(990,1470)857029(1590,1270)759030(1650,480)8010031(2250,680)607032(2000,1390)8010033(2620,780)303034(2690,1390)353035(1610,1710)609036(1800,1980)454537(14

26、90,1990)403038(1710,2190)303539(1400,2190)302040（590,1820）251041（1010,2110）302042（550,2600）607043(840,2820)605044(1400,2800)301545（1690,2990）251046（1400,3300）353547（900,3200）201048（1420,3680）304049（900,3680）201550（590,3700）201551（1850,3820）303552（11400,4150）302053（1880,4390）305054（1060,4520）20555（62

27、0,4450）201056（650,4830）152057（990,4880）251058（1400,4870）152559（2100,4560）253060（2650,4700）203061（3120,4870）303562（3250,4500）353063（3800,4720）252064（4500,4720）201565（2700,4200）507066（3100,4200）605067(2160,3900)709068（3000,3800）506069（3500,4100）203570（3900,4000）301071(4400,4200)101072(2680,3470)605073(2160,3250)403074(2690,2990)403075(3200,3100)453076(400,3400)352077(4500,3600)201078(3340,2800)354079(4500,3000)251080(4200,2600)103081(2160,2410)405082(3100,2500)354083(3400,24000354084(2890,2300)354085(2720,2050)355586(2990,2000)403087(3900,2020)5