2018高考数学解题技巧-极坐标与参数方程

1、2018 高考数学解题技巧解答题模板3：极坐标与参数方程1、 题型与考点（ 1）极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2）参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3) 利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、 【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos()sinxxttyyt为参数00(,)xy为直线上的定点，t为直线上任一点( ,)x y到定点00(,)x y的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos()sinxarybr为参数(a,b) 为圆心， r 为半径；椭圆22221xyab的参数方程是cos()sinxayb为参数；双曲线2222-1xyab的参数

2、方程是sec()tanxayb为参数；抛物线22ypx的参数方程是22()2xpttypt为参数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系， 点 p的极坐标为( ,)， 直角坐标为( , )x y，则cosx, siny, 222xy, tanyx。解题方法及步骤（1） 、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的） 消去法； 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xf t（或( )yg t，再代入普通方程,0f x y，求得另一

3、关系( )yg t（或xf t）. 一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例 1、方程ttttyx2222（t为参数）表示的曲线是（）a. 双曲线 b.双曲线的上支 c.双曲线的下支 d.圆解析：注意到2tt与2t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，4)22()22(2222ttttyx，即有422yx，又注意到02t，222222tttt，即2y，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422yy，显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选b. （2） 、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉

4、的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合； （2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度. 设点 p的直角坐标为),(yx，它的极坐标为),(，则sincosyx或xyyxtan222；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点p所在的象限（即角的终边的位置） ，以便正确地求出角. 例 2、极坐标方程52sin42表示的曲线是（） a. 圆b. 椭圆c. 双曲线的一支d. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解析：由21cos4sin422cos522，化为直角坐标系方程为22225xyx，化简得22554yx. 显然该方程表示抛物

5、线，故选d. （3） 、参数方程与直角坐标方程互化例 3：已知曲线1c的参数方程为sin10cos102yx（为参数），曲线2c的极坐标方程为sin6cos2（1）将曲线1c的参数方程化为普通方程，将曲线2c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1c，2c是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解： （1）由sin10cos102yx得10)2(22yx，曲线1c的普通方程为10)2(22yx，sin6cos2，sin6cos22，222yx，cosx，siny，yxyx6222，即10)2(22yx，曲线2c的直角坐标方程为10)2(22yx；（ 2）圆1c的圆心为)0, 2

6、(，圆2c的圆心为)3, 1 (，10223)30()12(c2221c两圆相交，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21c c222)10()223()2(d， 22d，公共弦长为22（4）利用参数方程求值域dafeobc例题 4、在曲线1c：）yx为参数(sincos1上求一点，使它到直线2c：1222(112xttyt为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.解：直线2c化成普通方程是122yx，设所求的点为sin,cos1p，则 c 到直线2c的距离2|122sincos1|d|2)4sin(|，当234时，即45时，d取最小值1 ，此时，点p的坐标是)22,221 (. 5）直线参数方程中的参数的几何意义例 5、已知直线l经过点)1 , 1(p，倾斜角6，写出直线l的参数方程 ; 设l与圆422yx相交与两点,a b，求点p到,a b两点的距离之积. 解（1）直线的参数方程为1co