高一数学上册 第3章 函数的基本性质 3.4 函数的基本性质1奇偶性课件 沪教版

1、3.4函数的基本性质函数的基本性质(Basic Properties of Functions)（一）（一） 奇偶性奇偶性2. 请分别画出函数请分别画出函数f (x) 与与g(x)x2的图像的图像. 在初中学习的轴对称图形和中心对称在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？图形的定义是什么？复习回顾复习回顾3. 它们的对称性如何？如何从它们的对称性如何？如何从“数数”的角度解释？的角度解释？1x3观察函数观察函数g(x)=x2的图象，的图象，看看它具有怎样的对称看看它具有怎样的对称性？性？xog(x)=x2y关于关于y轴成轴对称轴成轴对称oxy关于原点成中心对称关于原点成中心对称x1

2、观察函数观察函数f(x)= 的图象，的图象，看看它具有怎样的对称性？看看它具有怎样的对称性？1( )f xx421)2(f21)2(f31)3(f31)3(f1)1(f1)1(f)(11)(xfxxxf为奇函数函数xxf1)(有怎样的关系？与的值，并思考，求由)()() 3 (),3(),2(),2(),1 (),1(1)(xfxfffffffxxf关于原点成中心对称关于原点成中心对称oxyx1观察函数观察函数f(x)= 的图象，的图象，看看它具有怎样的对称性？看看它具有怎样的对称性？1( )f xx5关于关于y轴成轴对称轴成轴对称由由g(x)=x2求求g(-1)、 g(1)、 g(-2)、

3、g(2)、 g(-3)、 g(3)的值，并思考的值，并思考g(-x) 与与g(x)有怎样的关系？有怎样的关系？g(-1)= (-1)2=1g(1) =12=1g(-2)= (-2)2=4、g(-3)= (-3)2=9、g(3) = 32 =9、g(-x) =(-x)2=x2=g(x) 函数函数 g(x)=x2 为偶函数为偶函数g(2)= 22=4、观察函数观察函数g(x)=x2的图象，的图象，看看它具有怎样的对称看看它具有怎样的对称性？性？xog(x)=x2y1. 奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义 奇函数：奇函数：设函数设函数yf (x)的定义域为的定义域为D，如，如果对果对D内的任意

4、一个内的任意一个x，都有，都有f(x)f(x)，则这个函数叫则这个函数叫奇函数奇函数(odd function).偶函数：偶函数：设函数设函数yg (x)的定义域为的定义域为D，如，如果对果对D内的任意一个内的任意一个x，都有，都有g(x)g(x)，则这个函数叫做则这个函数叫做偶函数偶函数(even function). 讲授新课讲授新课从“数”的角度问题问题1：x与与x在几何上有何关系？具有在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？奇偶性的函数的定义域有何特征？ 奇函数与偶函数的定义域的特征是奇函数与偶函数的定义域的特征是关于关于原点对称原点对称.小结：函数定义域小结：函数定义域D

5、关于原点对称是这个函关于原点对称是这个函数为偶（奇）函数的数为偶（奇）函数的 _ 条件？条件？必要非充分判断函数奇偶性前，判断函数奇偶性前，先判断定义域是否关于原点对称。先判断定义域是否关于原点对称。（1）求证：函数）求证：函数 f (x) 是偶函数是偶函数 例例123x（2）求证：）求证： 函数函数 f (x) 是奇函数是奇函数 11xx 判断：判断： 函数函数 f (x) 的奇偶性的奇偶性|1|1|xx问题问题2：图像与奇偶性的关系如何？：图像与奇偶性的关系如何？ (2)如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？中

6、心对称图形，能否判断它的奇偶性？(1)对于任意一个奇函数对于任意一个奇函数f (x)，图像上的点，图像上的点P (x，f (x)关于原点对称点关于原点对称点P的坐标是什么？点的坐标是什么？点P是否也在是否也在函数函数f (x)的图像上？由此可得到怎样的结论的图像上？由此可得到怎样的结论.结论：结论：练习：书练习：书66页页3，4，5函数是奇函数函数是奇函数 函数是偶函数函数是偶函数函数图象关于坐标原点对称函数图象关于坐标原点对称 函数图象关于函数图象关于y轴对称轴对称2. 判断下列论断是否正确判断下列论断是否正确(错错)(对对)(错错)(对对)练练 习习(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点如

7、果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数；个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称域关于坐标原点对称.(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数；称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图像关于如果一个函数的图像关于y轴对称，则轴对称，则 这个函数为偶函数这个函数为偶函数. 例例2 判断下列函数的奇偶性；判断下列函数的奇偶性；(1) f (x) ；(2) f (x)x21； (3) f (x)x1；

8、(4) f (x)x2，x1, 3；(5) f (x)0. (奇函数奇函数)(偶函数偶函数)(非奇非偶函数非奇非偶函数)(非奇非偶函数非奇非偶函数)(既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数) 既是奇函数又是偶函数的函数是函既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为数值为0的常值函数的常值函数. 前提是定义域关于前提是定义域关于原点对称原点对称.1111xx 第一步先判断函数的定义域是否关第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；于原点对称； 第二步判断第二步判断f (x)f (x)还是判断还是判断f (x)f (x)； 第三步写结论。第三步写结论。归归 纳纳： (1)根据定义判断一个函数奇偶性的根

9、据定义判断一个函数奇偶性的方法和步骤是：方法和步骤是： (2)对于一个函数来说，它的奇偶性对于一个函数来说，它的奇偶性有有四种四种可能：可能： 归归 纳纳：奇函数非偶函数；奇函数非偶函数；偶函数非奇函数；偶函数非奇函数；既是奇函数又是偶函数；既是奇函数又是偶函数；非奇非偶函数非奇非偶函数.；2, 111)(2 xxxk(4) (7)(8)(偶偶) 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1) f (x)xx3； (2) f (x)x2； (3) h (x)4x3 +5x； (非奇非偶非奇非偶)(5) f (x)(x1) (x1)； (6) g (x)x (x1)；(奇奇

10、)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习(非奇非偶非奇非偶)(偶偶) (奇奇)(偶偶) (奇奇)2. 如图，给出了奇函数如图，给出了奇函数yf (x)的局部的局部图像，求图像，求f (4).xyO42练习练习求：求：f (x)0的解集的解集函数奇偶性图像运用函数奇偶性图像运用3. 设函数设函数y=f(x) 是奇函数，且是奇函数，且x0时时 ，求函数在，求函数在x0时的解析时的解析式。式。 32( )21f xxx求函数求函数y=f(x)在在R 上的解析式上的解析式函数奇偶性运用函数奇偶性运用求解析式求解析式策略：策略： x代换为代换为-x， 写好定义域写好定义域已知已知y=f(x)是

11、是R 上的偶函数上的偶函数,且方程且方程2f(x)+1=0有有 五个不五个不同的实根同的实根,则则 _. 12345xxxxx、 、 、 、12345x xxxx + +函数奇偶性运用函数奇偶性运用求值求值已知已知f(x)=ax2+bx+3a+b是是R 上的偶函数，上的偶函数，其定义域为其定义域为a-1,2a，则，则 a=_,b= _. 已知已知f(-7)=17,则则f(7)的值为的值为_.53( )25,f xaxbxx2. 奇函数、偶函数图像的对称性；奇函数、偶函数图像的对称性； 课堂小结课堂小结1. 奇函数、偶函数的定义；奇函数、偶函数的定义；3. 判断函数奇偶性的步骤和方法判断函数奇偶

12、性的步骤和方法.4. 函数奇偶性的简单运用函数奇偶性的简单运用.复杂函数奇偶性判断复杂函数奇偶性判断判断以下函数的奇偶性，并加以说明：判断以下函数的奇偶性，并加以说明： 2113xf xxx 24233xf xx 113312xf xx 偶函数奇函数偶函数策略：从定义出发策略：从定义出发研究研究1：分段函数奇偶性的判断：分段函数奇偶性的判断22,0( ),0 xxf xxx判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性研究策略：研究策略： 分段研究；分段研究； 注意注意x与与-x满足的对应关系；满足的对应关系； 对定义域内自变量都要考察；对定义域内自变量都要考察； 有时也可以通过函数图像判断。有时也可以通

13、过函数图像判断。如果函数如果函数f (x)、g (x)为为定义域相同定义域相同的偶函数，试的偶函数，试问它们和（积函数）奇偶性如何？为什么？问它们和（积函数）奇偶性如何？为什么？ (偶函数偶函数)研究研究2：函数运算中的奇偶性：函数运算中的奇偶性12DD、12D=DD （1）y=f(x)+g(x)为为 函数；函数；（2）y=f(x)g(x)为为 函数；函数；(奇函数奇函数)(偶函数偶函数)已知奇函数已知奇函数y=f(x)与与y=g(x)，他们的定义域分别，他们的定义域分别为为 ，且，且在上述条件在上述条件下请你自己下请你自己研究：研究：差函数、商差函数、商函数、函数函数、函数| f (x) |

14、等的等的奇偶性奇偶性研究策略：研究策略： 从定义出发从定义出发思考：若函数思考：若函数f (x)定义域关于原点对称，定义域关于原点对称， 如何以它为基础构造奇函数、偶函数？如何以它为基础构造奇函数、偶函数？如何把如何把 f (x)表示成奇函数、偶函数的和？表示成奇函数、偶函数的和？Ex: 若函数若函数f (x)、 g (x)定义域关于原点对称，则定义域关于原点对称，则f (x)、 g (x)均为偶函数是均为偶函数是f (x)+ g (x)为偶函为偶函数的数的_条件条件若函数若函数f (x)是是R上的任意函数，则下列叙述正确的上的任意函数，则下列叙述正确的是：是：A） f (x) f (-x)是

15、奇函数是奇函数 B） f (x) |f (-x)|是奇函数是奇函数C） f (x)-|f (-x)|是偶函数是偶函数 D） f (x)+f (-x)是偶函数是偶函数 Ex: (1)设设f (x)是偶函数，是偶函数，g (x)是奇函数，是奇函数，且且，11)()( xxgxf求函数求函数f (x)，g(x)的解析式；的解析式；(2)设设f(x) 是奇函数，是奇函数， g(x) 是偶函数，且是偶函数，且求函数求函数f(x) ， g(x)的解析式。的解析式。 21( )( )(0,1, 1)+f xg xxxx研究研究3：抽象函数中奇偶性的判断：抽象函数中奇偶性的判断已知函数已知函数f (x)对一切对一切x、y R，都有，都有f (x) +f (y)= ，判断，判断f (x)的奇偶性。的奇偶性。()1xyfxy研究策略：取特殊值或变量换元研究策略：取特殊值或变量换元研究研究4：含参函数奇偶性问题：含参函数奇偶性问题2、函数、函数f (x)=x | x