1下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表

1、第四章1下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表:可变要素的数量可变要素的总丿量可变要素平均丿量可变要素的边 际产量122103244125606677080963（1）在表中填空。（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？解答：（1）利用短期生产的总产量（TP ）、平均产量 （AP）和边际产量（MP）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如下表：可变要素的数量可变要素的总丿量可变要素平均丿量可变要素的边 际产量12222126103248124481224560121266611677010487035/409637-7（2）所谓边际报酬递

2、减是指短期生产中一种可变要素的边际产 量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现 象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说， 由表可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第 5单位时，该要素的边际产量由原来的 24下降为12。2.用图说明短期生产函数 Q=f（L,K）的TPl曲线、APl曲线和 MPl曲线的特征及其相互之间的关系。图4 3 一种可变生产要素的生产函数的产 量曲线（二）关于TPl曲线。由于MP.二匹邑，所以，当MPl>0时，TPl曲dL线是上升的；当 MPlV 0时，TPl曲线是下降的；当 MPl = 0 时，TPl曲线达到最高点。换言之，在L = L

3、 3时，MP l曲线达 到零值的B点与TP l曲线达到最大值的点是相互对应的。 此外，在LVL s即MPl>0的范围内，当mp> 0时，TP l曲 线的斜率递增，即TP l曲线以递增的速率上升；当 皿叮<0时， TP L曲线的斜率递减，即TP L曲线以递减的速率上升；而当 m Pl =0时，TP L存在一个拐点，换言之，在L = L 1时，MPl 曲线斜率为零的A点与TP l曲线的拐点A'是相互对应的。关于APl曲线。由于APl =半，所以在L = L 2时，TPl曲线 有一条由原点出发的切线，其切点为 C。该切点是由原点出发 与TPl曲线上所有的点的连线中斜率最大的

4、一条连线，故该切 点对应的是APl的最大值点。再考虑到 APl曲线和MP l曲线一 定会相交在 APl曲线的最高点。因此，在上图中，在L = L2时，APl曲线与MP l曲线相交于APl曲线的最高点C,而且 与C点相对应的是TPl曲线上的切点Co3.已知生产函数Q = f (L, K) =2KL _0.5 L2 _0.5 K 2，假定厂商目前处于 短期生产，且K=10.(1) 写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPl函数、劳 动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MP L函数。(2) 分别计算当劳动的总产量TPl、劳动的平均产量AP l和劳动的边际产量MPl各自达到最大值时的厂商的劳动投入

5、量。(3) 什么时候AP l = MP l?它的值又是多少？解答：(1) 由生产数 Q=2KL-0.5L 2-0.5K2,且 K=10，可得短期生产函 数为：Q=20L-0.5L2 -0.5*102=20L-0.5L2-50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：劳动的总产量函数 TPl=20L-0.5L2-50劳动的平均产量函数 APl=20-0.5L-50/L劳动的边际产量函数MPl=20-L(2) 关于总产量的最大值：令 巴巴=0，即巴旦=20-L=0dL'dL解得L=20且也工1：:0dL所以，劳动投入量L=20时，劳动的总产量达到极大值。关于平均产量的最大值：

6、令 沁=0,即竺旦一0.5+50L0dLdL解得L=10 (负值舍去)2且 d AJ 100 L，: 0dL所以，劳动投入量为L=10时，劳动的平均产量达到极大值。 关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MPl=20丄 可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以， L=0 时，劳动的边际产量达到极大值。(3) 当劳动的平均产量达到最大值时，一定有APl=MPl。由(2)可知，当L=10时，劳动的平均产量 APl达最大值，及相 应的最大值为：APl 的最大值=20-0.5 X 10-50/10= 10以L=10代入劳动的边际产量函数MPl=20丄，得 MPl=2

7、0-10=10很显然APl=MPl = 10时，APl 一定达到其自身的极大值，此时 劳动投入量为L=10。4、已知生产函数为Q二min2L,3K?。求：(1) 当产量Q=36时，L与K值分别是多少？(2) 如果生产要素的价格分别为Pl=2,P l=5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？解答：(1) 生产函数Q=min 2L,3L 表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q=2L=3K.因为已知产量 Q=36，所以相应地有 L=18,K=12。(2) 由 Q=2L=3K,且 Q=480，可得：L=240,K=160又因为Pl=2,Pk=5，所以C=2X 240+

8、5 X 160=1280即最小成本。5、已知生产函数是1 2(1)Q =5L3K3KLK L2(3)Q = K L Q 二 min3L, K /求：(1)厂商长期生产的拓展线方程。(2)当 Pl=1,P k=1,Q=1 000时，厂商实现最小 成本的要素投入组合。(1)思路：先求出劳动的边际产量与要素的边际产量 根据最优要素组合的均衡条件，整理即可得。(a)K=(2Pl/Pk )L(b)K=( Pl/Pk)1/2 L(c)K=(Pl/2Pk )L(d)K=3L(2)思路：把 PL=1,PK=1,Q=1000，代人扩展线方程与生产函 数即可求出(a) L=200X 4-1/3 K=400X 4-

9、1/3(b) L=2000, K=2000(c) L=1 0X 21/3 K=5X 21/3(d) L=1000/3 K=10006 .已知生产函数©= AL 1/3K / .判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一 种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的 支配？(1).因为 Q=f(L,K)=AL 1/3K223于是有 F(入 J 入 k)=A ( XL) 1/3 ( XK) 2/3=X ALJ/3K1/3=X f(L,K) 所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以k表示；而劳动投入量可变，以L表示

10、。对于生产函数Q=AL1/3k-2/3，有：MPl=1/3AL -2/3k-2/3，且 d MPL/dL=-2/9 AL -5/3 k -2/3<0这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素 劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。相类似的，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以L表示；而资本投入量可变，以 K表示。1 2对于生产函数Q二aL3K3，有：1114MPk=2AL7L,且AIK v 03dK9这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素 资本投入量的增加，资本的边际产量MPk是递减的。17、令生产函数 f (L,K)二 a。 a'LK )2 a?

11、 K asL,其中，0 乞 a： <1, i =0,1, 2, 3.(1) 当满足什么条件的时候，该生产函数表现出规模报酬不 变的特征。(2) 证明：在规模报酬不变的情况下，相应地边际产量是递 减的。解答：规模报酬不变的定义f ( L, K)= . f (L,K) C o)于是有:1f -L , K = a0 y $ 丄 jj 7 K : |2亠 a 2 ；二 K 亠 a3 L1=a0LK 18.已知某企业的生产函数为Q=l3k3，劳动的价格w =2,资本的价格r = l 求：(1) 当成本C= 3 0 0 0时，企业实现最大产量的L、 K和Q的均衡值。 "La2K ：.*.a

12、3L- 1 1- a0 a1 LK 2 a2Ka3L 亠 i 1 - a0二 f L , K 厂1先；a。由上式可见：当a。=0时，对于任何的0 ,有 f L, f L,K成立，即当a=0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)在规模保持不变，即a=0，生产函数可以与成1f L, K =a1 LK 2 a2K a3L相应地，劳动与资本的边际产量分别为:1 1£f(L,K)1 込三MPL (L, K = 一- = a丄 2k 2 +a3,;：L 21 1cf (L, K) 17 右MPk (L, K)a1 L2 K 2 a2cK22;:MPl(L,K): f (L,K);：L而且

13、有：；L2;:MPk(L, K) j f (L, K )一亠丄和24131-2丄 aL2K 2.:K;K4显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。（1）.根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件:M PL wM Pk rdQM PLdL= 2l3k32 2M PkdQ 13L3K 3dK 3 w = 2, r = 11 12 飞 3L 3K 332 21-L3 K 33L 1K = L再以K=L代入约束条件 2L+1X K=3000,有：2L+L=3000解得 L=1000，K=1000以L=K=1000代入生产函数，求得最大的产量2 1 2 1Q =L3K 3 =1000 3 3 =100

14、0（2）可由同（1）的思路得L=K=800 ；C=24009利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量 的最优要素组合的。解答：以下图为例，要点如下：分析三条等产量线，Q1、Q2、Q3与等成本线 AB之间的 关系等产量线Q3虽然高于等产量线Q2。但惟一的等成本线AB与等产量线 Q3既无交点又无切点。这表明等产量曲线Q3所代表的产量是企业在既定成本下无法实现的产量。再看Q1虽然它与惟一的等成本线相交与a、b两点，但等产量曲线 Q1所代表的产量是比较低的。所以只需由a点出发向右或由b点出发向左沿着既定的等成本线AB改变要素组合，就可以增加产量。因此只有在惟一的等成本线 AB和等产量曲线 Q2的相切点E ,才是实现既定成本下的最大产量的要素组合图48既定成本下产量最大的要素组合10、利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成 本的最优要素组合的。解答：如图所示，要点如下：（1）由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图中， 只有一条等产量曲线；此外，有三条等成本线以供分析，并从 中找出相应的最小成本。（2） 在约束条件即等产量曲线给定的条件下，A B'虽然代表的成本较低，但它与既定的产量曲线Q既无交点又无切点，