2017年上海春考数学试卷

1、- 1 - 0年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有1题 ,满分 54 分 ,第 6 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. . 设集合3 ,2, 1a，集合4, 3b,则ba。2。 不等式31x的解集为 . 3. 若复数满足iz6312(是虚数单位 )，则。4。若31cos,则2sin。. 若关于、的方程组6342ayxyx无解，则实数。6. 若等差数列na的前项的和为 ,则51aa=。7若、是圆044222yxyx上的动点 ,则pq的最大值为。已知数列na的通项公式nna3,则nnnaaaaa321lim。9。若nxx

2、2的二项展开式的各项系数之和为29,则该展开式中常数项的值为。10。设椭圆1222yx的左、右焦点分别为、,点在该椭圆上，则使得pff21是等腰三角形的点的个数是。11。设621,aaa为6 ,5 ,4,3 ,2, 1的一个排列,则满足654321aaaaaa的不同排列的个数为。设，rb,函数bxaxxf)(在区间2, 1上有两个不同的零点,则1f的取值范围为 . 二、选择题3。 函数21)(xxf的单调递增区间是（)。- 2 - (）,0（b）, 1(c)0,(d)1 ,1。设r， “0a是“01a”的（)。（a) 充分非必要条件(b)必要非充分条件(c）充要条件（d）既非充分又非必要条件1

3、5.过正方体中心 (即到正方体的八个顶点距离相等的点)的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是( )。（ a)三角形（b)长方形(c） 对角线不相等的菱形(d）六边形16。如图所示，正八边形87654321aaaaaaaa的边长为。若为该正八边形上的动点,则paaa131的取值范围为( ）(a ）268,0（b）268,22(c) 22,268(d）268,268三、解答题17。 如图 ,长方体1111dcbaabcd中,2bcab，31aa。(1）求四棱锥abcda1的体积；（2）求异面直线ca1与1dd所成角的大小。18.设,函数122)(xxaxf。(1)求的值 ,使得)(xf为奇函数

4、；（2)若22axf对任意rx成立，求的取值范围。19 。 某 景 区 欲 建 造 两 条 圆 形 观 景 步 道 、（ 宽 度 忽 略 不 计 ), 如 图 所 示 , 已 知- 3 - acab,60adacab(单位 :米)， 要求圆与ab、ad分别相切于点、 ， 圆与ac、ad分别相切于点、 。（ )若60bad,圆和圆的半径(结果精确到01 米） ；（2）若观景步道与的造价分别为每米千元与每米千元。如何设计圆、的大小，使总造价最低?最低总造价是多少?(结果精确到.1 千元） . 20 已知双 曲线 :1222byx(0b） ，直线：mkxy（0km） ，与交于、两点,为关于轴的对称点

5、,直线qp与轴交于点nn,0. (1)若点0 ,2是的一个焦点，求的渐近线方程; (2）若1b,点的坐标为0, 1,且qpnp23，求的值 ; (3）若2m，求关于的表达式。1.已知函数xxxf11log2（1)解方程1xf; (2)设1, 1x，, 1a,证明 :1, 11xaax且afxfxaaxf11；(3）设数列nx中,1,11x,nnnnxxx313111，*nn,求的取值范围,使得nxx3对任意*nn成立。2年上海市普通高校春季招生统一文化考试- 4 - 数学试卷一 填空题（本大题共有2 题，满分 4 分，第 6 题每题分 ,第 7 2 题每题 5 分) 考生应在答题纸的相应位置直

6、接填写结果。1. 设集合3,2, 1a，集合4 ,3b,则ba。【知识点】集合的运算【解】ba4, 3,2, 14,33, 2, 1,故4, 3, 2, 1ba。2. 不等式31x的解集为。【知识点】绝对值不等式的解法【解】31x42313xx,故原不等式的解集为4,2。3. 若复数满足iz6312（是虚数单位） ，则。【知识点】复数的基本概念、运算【解】iz642,iz32，故iz32。4。若31cos，则2sin。【知识点】诱导公式【解】2sin31cos,故2sin31. 5。 若关于、的方程组6342ayxyx无解 ,则实数。【知识点】线性方程组解的判定【 解 】 方 程 组6342a

7、yxyx无 解 直 线 :42yx与 直 线 :63ayx互 相 平 行 ,所 以46213a,解得6a. 6.若等差数列na的前项的和为，则51aa=。【知识点】等差数列的前项和，等差中项【解】由25535as得53a，所以51aa1023a,故51aa10. - 5 - 。若、是圆044222yxyx上的动点 ,则pq的最大值为 . 【知识点】圆的一般方程,圆的性质【解】由044222yxyx得12122yx，所以半径1r，故pq的最大值为 2. 8.已知数列na的通项公式nna3，则nnnaaaaa321lim。【知识点】等比数列的前项和，数列极限【解】由nna3得首项31a,公比13q

8、, 所以naaaa321132331313nn, 故nnnaaaaa321lim2331123lim31323limnnnnn9。 若nxx2的二项展开式的各项系数之和为729,则该展开式中常数项的值为. 【知识点】二项式定理【解】令1x，则nxx27293n,解得6n；所以62xx展开式的通项rrrrrrrxcxxct26666122令3r,则16023364ct，故所求的常数项为16。10.设椭圆1222yx的左、 右焦点分别为、 ，点在该椭圆上,则使得pff21是等腰三角形的点的个数是。【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想【 解 】 由1222yx得1, 222ba, 所 以1

9、22bac， 故2221cff且0 , 1,0, 12f。- 6 - (1)若点位于椭圆的短轴的端点处，pff21是等腰三角形，此时点有两个; (2)若点在椭圆上 ,则12max2pf；12min2pf., 所以121221ff,故以211,ffpf为两腰、2pf为底边构成等腰三角形,此时点有两个;同理以212,ffpf为两腰、1pf为底边构成等腰三角形，此时点有两个；综上 ()（2）满足条件的点的个数为个. 11。设621,aaa为6 ,5 ,4,3 ,2, 1的一个排列,则满足654321aaaaaa的不同排列的个数为。【知识点】排列、组合【解】根据题意可知,若6,5 ,4, 3, 2,

10、1i；6,5,4,3,2, 1j,且ji,则5, 4, 3, 2, 1jiaa即jiaa的最小值为1,当654321aaaaaa时, 只有1654321aaaaaa,所以在2, 1与1 ,2中选出一个,在4,3与3 ,4中选出一个，在6, 5与5 , 6中选出一个 ,然后将选出的三个元素全排列，故不同排列的总数为33121212pccc。12设，rb,函数bxaxxf)(在区间2 ,1上有两个不同的零点,则1f的取值范围为。【知识点】函数性质的综合,不等式的基本性质【解】方法1 令函数bxaxxf)(在区间2, 1上有两个不同的零点分别为、, 且21xx，所以211x、212x,故1101x、

11、1102x（ *) 令0)(xf,则0bxax，即02abxx（0 x） (*) 故、是 (* ）的解 ,所以0)(212xxxxabxxbxaxxf)(xxxxxxabxx212于是)1)(1()1)(1()1(2121xxxxf- 7 - 由 ()可知1)1)(1(021xx,即1) 1(0f。方法 21f1ba由于函数bxaxxf)(在区间2, 1上有两个不同的零点，则必有0a。且21a，即41a，此时axax2（当且仅当ax时,等号成立）令0bxax，即bxax记xaxxg)(,by，则函数xaxxg)(在区间2, 1上与函数by的图像有两个不同的交点。由于22)2(,1) 1(aga

12、g，再令012221aaa得2a（1)若21a，则221aa,则aba12可行域为1221ababa，其端点分别为3,2、22,2、2,1。所以当3, 2 ba或2, 1 ba时 ,01ba; 当22,2 ba时 ，2231ba。此时223)1 (0f; （ )若2a，则3221aa,则322b，即223b，所以22310ba,此时223)1 (0f; (3）若42a，则221aa，则222aba, 可行域为22221ababa其端点分别为3,2、4,4、22,2当3,2 ba时，01ba; 当4,4 ba时,11ba； 当22, 2 ba时,2231ba。此时 ,1) 1(0f；综上 (）

13、（ )（3）可得 ,1) 1(0f，即)1(f的取值范围是1 ,0。- 8 - 方法 3 令bxaxxf)(，则02abxx故“函数bxaxxf)(在区间2, 1上有两个不同的零点”等价于“关于的方程02abxx在区间2 ,1上有两个不同的根 ”记)(xgabxx2，对称轴为2bx，则其图像在区间2 ,1上与轴有两个不同的交点 ,需满足条件 :0)2(0)1 (2210ggb0240124042ababbab可行域端点为2, 3、1 ,2、4,4，故 当2,3 ab或1,2 ab时 ，01) 1(baf； 当4,4 ab时 ，1)1(baf,所以1) 1(0f，即)1(f的取值范围是1 ,0。

14、方法4 要使得函数bxaxxf)(在区间2, 1上有两个不同的零点，必有0a,0b,否则不成立。还需满足如下条件: 0)2(00)1 (21faffa022020141bababaa,以下解法同上. 二、选择题13。 函数21)(xxf的单调递增区间是（） 。(）,0（b), 1(c）0,（d）1 ,【知识点】函数的单调性【解】函数21)(xxf图像的对称轴为直线1x,且该抛物线的开口向上，所以该函数的单调递增区间为, 1，故正确选项为b. 14.设r， “0a”是“01a”的（） 。(a)充分非必要条件（b) 必要非充分条件- 9 - (c）充要条件(d)既非充分又非必要条件【知识点】分式不

15、等式的解法，充要条件【解】01a0a,所以0a是01a成立的充要条件。故正确选项为c. 15过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点)的平面截正方体所得的截面中,不可能的图形是( ）. (a ）三角形(b） 长方形(c） 对角线不相等的菱形(d)六边形【知识点】平面的性质、截面【解】不可能是三角形,故正确选项为a 6. 如图所示,正八边形87654321aaaaaaaa的边长为。若为该正八边形上的动点，则paaa131的取值范围为(）（a）268,0(）268,22（ )22,268(d）268,268【知识点】平面向量的数量积【解】322131aaaaaa，当点在处 ,paaa131取

16、最小值，此时811aapapaaa1312290cos135cos22813221aaaaaa; 当点在处，paaa131取最大值 ,4332211aaaaaapapaaa131433221232214332213221aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2682222248。所以paaa131的取值范围是268,22,故正确答案为b 三、解答题17。 如图，长方体1111dcbaabcd中,2bcab，31aa. (1)求四棱锥abcda1的体积 ; ()求异面直线ca1与1dd所成角的大小. - 10 - 【知识点】椎体的体积,异面直线所成的角【解】 (1）四棱锥abcda1的底面为正

17、方形abcd,其面积4s; 由于aa1底面abcd,所以aa1是四棱锥abcda1的高 , 故3h,于是43431311shvabcda。（2）由于ddaa11/,所以caa1或其补角即为异面直线ca1与1dd所成角。在三角形caa1中，22,31acaa,173222221ca由余弦定理可得，01717317328179cos1caa,所以17173cos1caa, 即caa117173arccos，故异面直线ca1与1dd所成角的大小为17173arccos。8。 设,函数122)(xxaxf. (）求的值 ,使得)(xf为奇函数；(2)若22axf对任意rx成立，求的取值范围. 【知识点

18、】函数的奇偶性，指数函数的性质,分类讨论思想【解】 (1)函数122)(xxaxf的定义域为，由于)(xf为奇函数 ,所以对于任意实数，均有)()(xfxf成立即122xxa122xxa对于任意实数都成立，所以xxxxaa2122121于是aaxx221,即0211xa,所以1a。（2）22axf22122aaxx，由于012x，故22aax若0a,则20,不等式恒成立; 若0a，则aax22，因为02xy,所以02aa,解得20a;若0a,则aax22，此时不等式不是恒成立。- 11 - 综上所述 ,实数的取值范围是2,0。19. 某景区欲建造两条圆形观景步道、（宽度忽略不计) ，如图所示,

19、已知acab，60adacab（单位： 米）,要求圆与ab、ad分别相切于点、 ，圆与ac、ad分别相切于点、 。(1）若60bad,求圆和圆的半径(结果精确到0。1 米); (2）若观景步道与的造价分别为每米千元与每米千元.如何设计圆、 的大小， 使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到。千元)。【知识点】三角比,建立函数关系式，基本不等式【解】（1)已知60bad，得圆的半径为6 .3430tan6021tanbadab(米)。又306090cad，得圆的半径为1 .1615tan6021tanacdac(米） 。（2）设圆和圆的半径分别为和，badt21tan由于900bad，得45

20、210bad,故10ttbadr6021tan601，ttbadr11602145tan602，因此 ,观景步道的总造价为tttrr11609.0608.0229.028 .0219 .2638417144212171181812tt(千元）当且仅当21t时等号成立，此时半径20,3021rr答:当观景步道和的半径分别设计为米和米时，总造价最低，且最低总造价约为9.263千元。- 12 - 20。 已知双曲线：1222byx(0b),直线：mkxy(0km),与交于、两点，为关于轴的对称点，直线qp与轴交于点nn,0。(1)若点0 ,2是的一个焦点,求的渐近线方程; （2)若1b,点的坐标为0

21、, 1，且qpnp23,求的值；（3)若2m，求关于的表达式。【知识点】双曲线的标准方程及其基本性质,直线与双曲线的位置关系【解】 （1)根据已知条件,可得1,2 ac，所以32b,故的方程为1322yx，其渐近线方程为xy3。（2)当1b时，的方程为122yx,点0, 1p设tsq,由qpnp23得，tsn, 123, 1,解得35s又由点在上 ,解得34t,故直线的斜率21)1(0stk。(3)当2m时，直线的方程为2kxy,设11,yxp11, yxq由22222kxybyxb得，0442222bkxxkb由已知可得 ,022kb且044162222bkbk所以22221222144kbbxxkbkxx（ *), 又11, yxp, 故直线qp的方程为112121xxxxyyyy由点nn,0在直线qp上,得22222121211221211221xxxkxxxkxxkxxxxyxyxn(*) - 13 - 将()代入（ * ）得，24422kbkn,即22bn。21。已知函数xxxf11log2()解方程1xf；(2)设1, 1x, 1a,证明：1, 11xaax且afxfxaaxf11；（3） 设数列nx中，1,11x，nnnnxxx313111，*nn,求的取值范围,使得n