高考数学一轮复习第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示

1、1 / 12 平面向量基本定理及坐标表示 考试要求 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2. (2)基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x

2、2，y1y2)， a(x1，y1)，|a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x2x1，y2y1)， |ab| (x2x1)2(y2y1)2. 3平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 a0，b0，a，b 共线x1y2x2y10. 常用结论 1若 a 与 b 不共线，且 ab0，则 0. 2已知 p 为线段 ab 的中点，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 p 点坐标为. 2 / 12 3已知abc 的重心为 g，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，c

3、(x3，y3)，则g. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( ) (2)在abc中，向量ab，bc的夹角为abc.( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的( ) (4)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量12a32b( ) a(2，1) b(2,1) c(1,0) d(1,2) d a(1,1)，b(1，1)， 12a12，12，32b32，32， 12a32b1232，1232(1,2)，故选

4、 d. 2若 p1(1,3)，p2(4,0)且 p是线段 p1p2的一个三等分点，则点 p的坐标为( ) a(2,2) b(3，1) c(2,2)或(3，1) d(2,2)或(3,1) d 由题意可知p1p2(3，3) 若p1p13p1p2，则 p点坐标为(2,2)； 若p1p23p1p2，则 p点坐标为(3,1)，故选 d. 3已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 manb 与 a2b 共线，则mn_. 3 / 12 12 由向量 a(2,3)，b(1,2)， 得 manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1) 由 manb 与 a2b 共线， 得2mn43m2n1， 所以mn12. 4

5、已知abcd 的顶点 a(1，2)，b(3，1)，c(5,6)，则顶点 d 的坐标为_ (1,5) 设 d(x，y)，则由abdc，得(4,1)(5x,6y)，即 45x，16y，解得 x1，y5. 考点一 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决 (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理 典例 1 如图，已知在ocb 中，a是 cb的中点，d是将ob分成 21的一个内分点，dc和 oa交于点 e，设oaa，obb. (1)用 a 和

6、 b 表示向量oc，dc； (2)若oeoa，求实数 的值 解 (1)由题意知，a是 bc的中点，且od23ob，由平行四边形法则， 得oboc2oa， 4 / 12 所以oc2oaob2ab， dcocod(2ab)23b2a53b. (2)由题意知，ecdc，故设ecxdc. 因为ecocoe(2ab)a (2)ab，dc2a53b. 所以(2)abx2a53b . 因为 a 与 b 不共线，由平面向量基本定理， 得 22x，153x，解得 x35，45. 故 45. 点评：本例(2)在求解中，以 d，e，c三点共线为切入点，借助ecdc及向量的合成与分解的相关知识求得 的值如果是小题，本

7、题可以直接设oexod(1x)oc，利用oa12ob12oc及同基底下向量表示的唯一性求得 . 跟进训练 1如果 e1，e2是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) ae1与 e1e2 be12e2与 e12e2 ce1e2与 e1e2 de13e2与 6e22e1 d 选项 a中，设 e1e2e1，则 1，10，无解； 选项 b中，设 e12e2(e12e2)，则 1，22，无解； 选项 c中，设 e1e2(e1e2)，则 1，1，无解； 5 / 12 选项 d中，e13e212(6e22e1)，所以两向量是共线向量故选 d. 2(2020

8、三明模拟)如图，a，b分别是射线 om，on上的点，给出下列向量：oa2ob；12oa13ob；34oa13ob；34oa15ob，若这些向量均以 o为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( ) a b c d b 由向量共线的充要条件可得：当点 p 在直线 ab 上时，存在唯一的一对有序实数 u，v，使得opuoavob成立，且 uv1. 可以证明当点 p 位于阴影区域内的充要条件是：满足opuoavob，且u0，v0，uv1. 121，点 p 位于阴影区域内，故正确；同理正确；而错误故选 b. 考点二 平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法

9、则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标 (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解 典例 2 (1)向量 a，b，c 在正方形网格中，如图所示，若 cab(，r)，则( ) a1 b2 c3 d4 (2)已知 a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)设aba，bcb，cac，且cm3c，cn2b， 求 3ab3c； 6 / 12 求 m，n的坐标及向量mn的坐标 (1)d 以 o为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为 1，可得 a(1,1)，b(6,2)， c(1，3) cab(，r)， 16，32， 解得 2，12

10、. 4. (2)解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) 设 o为坐标原点，cmomoc3c， om3coc(3,24)(3，4)(0,20) m(0,20)又cnonoc2b， on2boc(12,6)(3，4)(9,2)， n(9,2)，mn(9，18) 点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等 跟进训练 1在平行四边形 abcd中，a(1,2)，

11、b(2,0)，ac(2，3)，则点 d的坐标为( ) a(6,1) b(6，1) c(0，3) d(0,3) a ab(3，2)dc，adaccdacab(5，1)，则7 / 12 d(6,1)故选 a. 2.如图，在正方形 abcd中，m，n分别是 bc，cd的中点，若acambn，则 _. 85 方法一：以 ab，ad所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 设正方形的边长为 1，则am1，12，bn12，1 ，ac(1,1)， acambn12，2 ， 121，21，解得 65，25， 85. 方法二：由amab12ad，bn12abad，得acambn2ab2 a

12、d，又acabad， 21，21，解得 65，25.85. 考点三 向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1” (2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(r) 利用向量共线求参数 典例 31 已知 a(1,0)，b(2,1) 8 / 12 (1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线； (2)若ab2a3b，bcamb，且 a，b，c三点共线，求 m的值 解 (1)a(1,0)，b(2,1)， kabk(1,0)(2,1

13、)(k2，1)， a2b(1,0)2(2,1)(5,2)， kab 与 a2b 共线， 2(k2)(1)50， k12. (2)ab2(1,0)3(2,1)(8,3)， bc(1,0)m(2,1)(2m1，m) a，b，c 三点共线， abbc， 8m3(2m1)0， m32. 点评：熟记两向量 a，b 共线的条件是求解此类问题的关键所在 利用向量共线求向量或点的坐标 典例 32 已知点 a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，则 ac与 ob 的交点 p 的坐标为_ (3,3) 方法一：由 o，p，b三点共线，可设opob(4，4)，则apopoa(44,4) 又acocoa(2,6)，

14、由ap与ac共线，得(44)64(2)0， 解得 34，所以op34ob(3,3)， 所以点 p的坐标为(3,3) 方法二：设点 p(x，y)，则op(x，y)，因为ob(4,4)，且op与ob共线，9 / 12 所以x4y4，即 xy. 又ap(x4，y)，ac(2,6)，且ap与ac共线， 所以(x4)6y(2)0，解得 xy3， 所以点 p的坐标为(3,3) 点评：本例中“ac 与 ob 的交点为 p”，实际上变相告知“a，p，c 三点共线”，故该问题便可转化为考向 1，只需引入参数表示出点 p 的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可 跟进训练 1已知向量 a(1,3)，b2，12，若

15、c 为单位向量，且 c(a2b)，则c( ) a.35，45或35，45 b.35，45或35，45 c.22，22或22，22 d.22，22或22，22 b 由题意可知 a2b(3,4)，又 c(a2b)，c(3,4)，即 c(3，4)又|c|1，5|1，15，即 c35，45或35，45，故选 b. 2(2020 北师大附中模拟)已知向量 a(1,1)，点 a(3,0)，点 b为直线 y2x 上的一个动点，若aba，则点 b的坐标为_ (3，6) 设 b(x,2x)，则ab(x3,2x) aba，x32x，即 x3. b(3，6) 10 / 12 备考技法 3 共线定理的推广及应用 平面

16、向量的等和线 由平面向量基本定理，opoaob，当点 p不在直线 ab上时，可以过点 p作直线 ab的平行线，且与oa，ob所在的直线分别交于 m，n两点，则由三点p，m，n共线，不难得出： opxomyon，且 xy1， 又由平行线分线段成比例定理，得：omkoa，onkob其中k|om|oa|， 则opxomyonkxoakyob，即 kx，ky，故 k(xy)k. 把过点 p作直线 ab的平行线 mn称为等和线 等和线的相关结论 (1)当等和线恰为直线 ab时，k1； (2)当等和线在点 o 和直线 ab 之间时，k(0,1)； (3)当直线 ab在点 o和等和线之间时，k(1，)； (

17、4)当等和线过点 o 时，k0； (5)若两等和线关于点 o对称，则定值 k 互为相反数. 技法展示 (2017 全国卷)在矩形 abcd 中，ab1，ad2，动点 p 在以点 c 为圆心且与 bd 相切的圆上若apabad，则 的最大值为( ) a3 b2 2 c 5 d2 a 如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切时，最大，此时 afababbeefab3abab3，故选 a. 评析 应用等和线解题的步骤 (1)求 k1的等和线； 11 / 12 (2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和

18、最小值 技法应用 1.如图，在正六边形 abcdef 中，p是cde内(包括边界)的动点，设apabaf(，r)，则 的取值范围是_ 3,4 当 p在cde 内时，直线 ec是最近的平行线，过 d点的平行线是最远的，所以 anam，adam3,4 2.如图，在扇形 oab 中，aob3，c 为弧 ab 上的动点，若ocxoayob，则 x3y 的取值范围是_ 1,3 ocxoa3yob3，如图，作obob3，则考虑以向量oa，ob为基底显然，当 c在 a点时，经过 m1的平行线，当 c在 b 点时，经过 m3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以 x3y 的取值范围是1,3 3如图，在边长为 2的正六边形 abcdef 中，动圆 q的半径为 1，圆心在线段 cd(含端点)上运动，p是圆 q 上及其内部的动点，设向量apmabnaf(m，n为实数)，则 mn 的取值范围是( ) a(1,2 b5