高中数学讲义微专题42利用函数性质与图像比较大小

1、- 1 - / 12 微专题 42 利用函数性质与图像比较大小 一、基础知识： （一）利用函数单调性比较大小 1、函数单调性的作用：( )fx在, a b单调递增，则 ()()121212,x xa bxxfxfx(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）( ) ( )()( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x gx=+ （2）( )( )( ) ( )( )( )( )2fxfx g xfx gxg xgx= 3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：( )( )0

2、fxfx单调递增；( )( )0fxfx单调递减 （2）定义形式：( )()12120f xf xxx或()()()12120 xxfxfx：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 （3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自

3、变量放入至同一单调区间中进行比较 （二）数形结合比较大小 1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系 - 2 - / 12 （1）若( )f x关于xa=轴对称，且(), a +单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小 （2）若( )f x关于xa=轴对称，且(), a +单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大 2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。抓住

4、共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小 三、例题精析： 例 1：对于r上可导的任意函数( )fx，若满足( )20 xfx，则必有（ ） a.( )( )( )1322fff+ b. ( )( )( )1322fff+ c. ( )( )( )1322fff+ d. ( )( )( )1322fff+ 思 路 ： 由( )20 xfx可 按 各 项 符 号 判 断 出()2x与( )fx异 号 ， 即2x 时 ，( )0fx ,2x 时，( )0fx ( )fx在(),2单调递减，在()2,+上单调递增 ( )( )min2fxf=，进而(

5、 )( )( )( )12 ,32ffff ( )( )( )1322fff+ 答案：c 小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。这样做可以简化表达式的运算。 - 3 - / 12 例2 ： 已 知 定 义 域 为r的 奇 函 数( )f x的 导 函 数 为( )fx， 当0 x 时 ，( )( )0f xfxx+，若()()11,22 ,ln2ln222afbfcf= =，则下列关于, ,a b c的大小关系正确的是（ ） a. bac b. acb c. cba d. bca 思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的, ,a

6、 b c的结构均为( )xf x的形式，故与不等式找到联系。当0 x 时，( )( )0( )( )0f xfxxfxf xx+，即( )()0 xf x，令( )( )g xxf x=，由此可得( )g x在()0,+上单调递增。( )f x为奇函数，可判定出( )g x为偶函数，关于y轴对称。()()1,2 ,ln22agbgcg=，作图观察距离y轴近的函数值小，ln2 与12可作差比较大小：()1114ln22ln2 1ln0222e= 进而可得：bca 答案：d 例 3 ： 函 数( )f x在 定 义 域r内 可 导 ， 若( )(2)f xfx=， 且 当(),1x 时 ，()1(

7、 )0 xfx，设1(0),(3)2afbfcf=，则, ,a b c的大小关系是（ ） a. abc b. bac c. bca d. cab 思路：由( )(2)f xfx=可判断出( )f x关于1x =轴对称，再由()1( )0 xfx，可得1x 时，( )0fx ，所以( )f x在(),1单调递增，由轴对称的特点可知：( )f x在()1,+单调递减。作出草图可得：距离1x =越近的点，函数值越大。所以只需比较自变量距离1x =的远近即可判断出bac 答案：b 例4 ： 已 知( )f x是 周 期 为2的 偶 函 数 ， 且 在 区 间0,1上 是 增 函 数 ， 则()()(

8、)5.5 ,1 ,0fff的大小关系是（ ） - 4 - / 12 a. ()( )()5.501fff b. ()()( )15.50fff c. ( )()()05.51fff d. ()( )()105.5fff 思路：( )f x的周期为2，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：()()5.50.5ff=，而由( )f x偶函数及0,1单调递增，作图可知在区间1,1中，距离y轴近的函数值小，所以有( )()()()00.55.51ffff= 答案：c 小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从而代替原来的自变量。 例 5 ：已 知函数()1fx

9、 +为 偶函数 ， 当()1,x+时 ， 函 数( )sinf xxx=，设12af=，( )( )3 ,0bfcf=，则, ,a b c的大小关系为（ ） a. abc b. cab c.bca d. bac 思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析( )f x的性质，由()1fx +为偶函数可得：()()11fxf x +=+，从而( )f x关于1x =轴对称，当()1,x+，可计算( )cos10fxx= ，所以( )f x在()1,+单调递减，结合对称性可得距离对称轴1x =越近，函数值越大，所以( )( )1302fff 答案：d 小炼有话说：本题的关键在于确定入手

10、点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对( )sinf xxx=的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。所以说题目中有的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。 - 5 - / 12 例 6：已知函数( )f x是定义在r上的偶函数，且在区间()0,+上是增函数，令2sin7af=，55cos,tan77bfcf=，则, ,a b c大小关系为_ 思路：由( )f x为偶函数且在()0,+单调递增可得距离y轴越近，函数值越小。所以需比较, ,a b c自变量与y轴距离：522522cos= cos=cos, tan= tan=tan777777，则需比较22

11、2sin,cos,tan777的大小，因为274，所以222tan1sincos777 ，所以cab 答案：cab 小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现, ,a b c涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二是利用好“桥梁”，比较的关键之处在与4这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值与 1 大小的分界线，而正余弦不大于 1，所以27的正切值最大；另一条是正余弦大小的分界线，0,4时，sincos；而,4 2 时，sincos。 例

12、 7：已知函数()2log1yx=+，且0abc，则( )( )( ),f af bf cabc的大小关系是（ ） a. ( )( )( )f af bf cabc b. ( )( )( )f cf bf acba c. ( )( )( )f bf af cbac d. ( )( )( )f af cf bacb 思路：本题具备同构特点( )()2log1f xxyxx+=，但导数()()22log11 ln2xxxyx+= 难于分析( )f x 单调性，故无- 6 - / 12 法比较( )( )( ),f af bf cabc的大小。换一个角度，可发现( )f x的图像可作，且( )f x

13、x具备几何含义，即( )( )00f xf xxx=，即( )(), x f x与原点连线的斜率。所以作出( )f x的图像，可观察到图像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0abc可得：( )( )( )f cf bf acba 答案：b 例8 ： 已 知 函 数( )fx在r上 可 导 ， 其 导 函 数 为( )fx， 若( )fx满 足 ： ()( )( )10,xfxf x()( )2 22xfxfx e=，则下列判断一定正确的是 （ ） a ( )( )10ff b ( )( )20fef c ( )( )330fe f d( )( )340fe f 思路：联系选项分析条

14、件()( )( )10 xfxf x：当1x 时，( )( )0fxfx，( )( )20 xxxe fxe f xe即( )0 xf xe 令( )( )xf xf xe= ( )f x在()1,+单调递增，而选项中( )( )1 ,0ff均不在单增区间中，考虑利用()( )2 22xfxfx e=进行转换。首先要读懂()( )2 22xfxfx e=说的是()2fx与( )fx的关系，而2x与x刚好在1x =的两侧，所以达到一个将1x =左侧的点转到右侧的作用。在()( )2 22xfxfx e=中令2x =可得：( )( )( )22202fffee=，可代入 b,c 选项进行比较，c

15、正确。而 a,d 两个选项也可以代入进行验证。 答案：c 小炼有话说：由于( )xxee=，所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。所以对于形如( )( )( )( )0,0f xfxfxfx+等轮流求导的式子可猜想隐含xe项，进而结合选项进行变形 - 7 - / 12 例 9：定义在0,2上的函数( )fx，( )fx为它的导函数，且恒有( )( ) tanf xfxx成立，则（ ） a. 3243ff b. ( )12sin16ff c. 264ff d. 363ff 思路：尽管发现( )( ) tanf xfxx存在轮流求导很难直接发现乘除关系。看选项不难发现规律： 4343

16、4332432323sinsin4322ffffffff=( )( )1612sin16sin1sin6ffff等，不等号两侧均为( )sinf xyx=的形式，其导函数为( )()2( )sincos( )sinsinfxfxxxf xxx=于 是 考 虑 构 造 条 件 中 的 不 等 式 ： ( )( )sin( ) tan( )cosxf xfxxf xfxx ( )( )sincos0fxxfx ()2( )sincos( )0sinfxxxf xx即( )0sinf xx,( )sinf xyx=在0,2上单调递增，根据单调性即可判断四个选项是否正确 答案：d 例 10：设123,

17、x xx均为实数，且()123213223111log1 ,log,log333xxxxxx=+=，则123,x xx的大小关系为（ ） a. 132xxx b. 321xxx c. 312xxx d. 213xxx 思路：本题单从指对数方面，不便于比较123,x xx大小。进一步可发现123,x xx均可视为两- 8 - / 12 个函数的交点，且每一个等式的左侧为同一个函数13xy=，而右侧也都可作图，所以考虑在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出123,x xx的大小 答案：a 三、历年好题精选 1 1、（、（20162016，内江四模）设，内江四模）设函数函数)(xf在在

18、r r 上存在导数上存在导数)(xf ，在，在)0(+，上上xxf2sin)(，且rx，有xxfxf2sin2)()(=+，则以下大小关系一定正确的是（ ） a. 5463ff b. ( )4ff c. 5463ff d. ()4ff 2、（2015，福建）若定义在r上的函数( )f x满足( )01f= ，其导函数( )fx满足( )1fxk，则下列结论中一定错误的是（ ） a. 11fkk b. 111fkk c. 1111fkk d. 111kfkk 3、（2015，陕西文） 设( )ln ,0f xxab=，若()( )( )1,22abpfabqfrf af b+=+，则下列关系式中

19、正确的是（ ） a. qrp= b. qrp= c. prq= d. prq= 4、（2015，天津）已知定义在r上的函数( )()21x mf xmr=为偶函数，记()()()0.52log3 ,log 5 ,2afbfcfm=，则, ,a b c的大小关系为（ ） a. abc b. acb c. cab d. cba 5、（2014，山东）已知实数, x y满足()01xyaaa，则下列关系式恒成立的是（ ） a. 221111xy+ b. ()()22ln1ln1xy+ c. sinsinxy d. 33xy - 9 - / 12 6、已知( )()log1af xx a=的导函数是(

20、 )fx，记( )()( ),1afabf af a=+ (),1cfa=+，则（ ） a. abc b. acb c. bac d. cba 7、定义在r上的可导函数( )fx，当()1,x+时，( )( )( )f xfxxfx+恒成立，( )( )() ()12 ,3 ,2122afbfcf=+，则, ,a b c的大小关系为（ ） acab bbca cacb dcba 8、（2014 陕西省五校联考 10）已知( )f x为r上的可导函数，且,xr 均有( )( )f xfx，则有（ ） a20132013( 2013)(0),(2013)(0)efffef b20132013( 2

21、013)(0),(2013)(0)efffef c20132013( 2013)(0),(2013)(0)efffef d20132013( 2013)(0),(2013)(0)efffef - 10 - / 12 习题答案：习题答案： 1、答案：c 解析：由xxf2sin)(可得：可得：( )( )1sin20cos202fxxf xx+ 设( )( )1cos22g xf xx=+，则( )g x在()0,+单调递减 ( )()( )()2cos22sincos21g xgxf xfxxxx+=+=+= ( )()1g xgx= ，可得( )g x关于10,2中心对称 ( )g x在r上单

22、调递减且( )( )1cos22f xg xx= 分别比较四个选项，可知在 c 选项中： 551551cos662364fgg= 441841cos332334fgg=+ 再由4536gg可知)34()65(ff 2 2、答案：c 解析：构造函数( )( )g xf xkx=，则( )( )0gxfxk=，即( )g x在r上为增函数，因为1k ，所以101k，( )1101111kggfkkk ，所以可得：1111fkk，c 错误。其它选项则无法判断对错 3 3、答案：c 解析：()11ln,ln,lnlnln2222ababpfabab qfrabab+=+=，所以- 11 - / 12 pr=，由0ba可得2abab+，从而prq= 4 4、答案：c 解析：通过数形结合可知( )21x mf x=为偶函数时0m =，即( )21xf x =，作图可知距离y轴越近的点，其函数值越小。考虑0.5220log3l