大学物理课件：3 刚体的转动

1、静力学静力学：研究物体平衡的条件：研究物体平衡的条件运动学运动学：研究物体位置随时间的变化：研究物体位置随时间的变化动力学动力学：研究各类运动发生的原因：研究各类运动发生的原因第三章第三章 刚体的转动刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）3.1 刚体的运动3.2 刚体的运动定律3.3 刚体转动中的功能关系 3.4 刚体的角动量和角动量守恒定律3.5 转动定律在刚体平面运动中应用3.6 旋进刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）3第三章第三章 刚体的转动刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）3.1 刚体的定轴运动3.2

2、 刚体的转动定律3.3 刚体转动中的功能关系 3.4 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）4 刚刚体体的的运运动动学学描述转动的角量描述转动的角量描述各点运动的线量描述各点运动的线量角位移角位移 速度速度 v角速度角速度 切向加速度切向加速度 a 法向加速度法向加速度 an 角加速度角加速度 刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）5 刚刚体体的的动动力力学学牛顿定律牛顿定律转动惯量转动惯量转动定理转动定理转动动能转动动能 机械能机械能守恒守恒 转转动动定定律律 角动量角动量定理定理角动量角动量力矩

3、力矩 角动量角动量守恒守恒刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）6第第 三三 章章 刚刚 体体 的的 转转 动动均相同平动：运动物体上各点av,基本研究方法：基本研究方法：质点运动规律质点运动规律微积分微积分刚体基本运动规律刚体基本运动规律（大量质点运动的总效应）（大量质点运动的总效应）刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）7M参参考考方方向向xo一、特征：一、特征：、各点都有相同的. 12. （标量）：刚体逆时针转：刚体逆时针转：刚体顺时针转刚体顺时针转3.角量与线量2rararvrSntr=vvr3. 1 刚体的定轴运动刚

4、体的定轴运动刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）8二、匀变速转动二、匀变速转动)( 为常量)(22102020200ttt刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）9 一、力矩是改变刚体转动状态的原因一、力矩是改变刚体转动状态的原因 1. 力在转动平面内力在转动平面内FrMdjFrMF=Mdsin= F rj定轴转动：定轴转动：M（标量）（标量）：刚体逆时针转：刚体逆时针转：刚体顺时针转刚体顺时针转3. 2 刚体的转动定律刚体的转动定律刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）10FM=rF=12r

5、F)(+ 在定轴转动问题中，如不讨论轴上受力，所考在定轴转动问题中，如不讨论轴上受力，所考虑的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力虑的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。矩。转动转动平面平面 2. 力不在转动平面内力不在转动平面内FrFF21变形，对转动无贡献。变形，对转动无贡献。F 只能引起轴的只能引起轴的1rF+=21rrF刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）11oo 二、转动定律二、转动定律ifiri mii对对m质点质点应用牛顿第二定律：应用牛顿第二定律：iF外力外力if内力内力FiijFfiiiiiisinsin+= m atj（1）切向：

6、切向：rmcosiiiiiiFf=cos2j（2）法向：法向：并考虑到并考虑到得到：得到：iri=ar式式(1)ti2Ffiiiiiisinsin+= m rjriri刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）12整个刚体：整个刚体：2Ffiiiiiisinsin+= m rjriri0MJ转动定律：转动定律：JM 三、转动惯量三、转动惯量（J）maF 平动：JM 转动：是转动惯性大小的量度是转动惯性大小的量度J的大小与转轴的位置质量的分布物体的质量有关刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）13miiidefdmrmrJ质量连续分

7、布质量非连续分布22为质元到转轴距离r1.定义式:dm质量元dxdm线分布：dsdm面分布：dVdm体分布：2.转动惯量的计算示例转动惯量的计算示例1.均匀细棒m,l(1).绕过中心与棒轴的转动惯量ox解解: :dm=dxx= x2 dxdJ= x2dm 2/2/2llOdxxJ2/2/331llx3121l2121ml刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）14A(2).绕过棒端与棒轴的转动惯量xdm=dxxlAdxxJ02lx0331331l231ml，且二轴平行轴间距轴与2ldAO2222)2(12131mdlmmlmlJJOA平行轴定理平行轴定理:2md

8、JJO其中其中: JO:刚体对过质心轴的转动惯量JA:刚体对平行于过质心轴的轴的转动惯量d:两平行轴间的距离刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）152.2.均匀园环均匀园环m,RdlRdmRdJ22 RmRRRmRdlRJ2022222解解: :(1)(1)绕过中心与环面绕过中心与环面 轴的转动惯量轴的转动惯量R(2)(2)绕沿直径绕沿直径轴的转动惯量轴的转动惯量dldrRdRdcRdmrdJ22222coscos2cos22023mRdRJdm=dldl刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）163.均匀盘m,R绕过中心与环

9、面轴转动惯量rdrrdsrdmrdJ22222040321212mRrdrrJRRdm=2rdrrdr刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）17maTmg)21(2MRTR Ra例题例题已知：已知：M=2Kg,m=5Kg,R=0.1m,0=10rad/s, (1)求、 (2)=0时,m上升h、(3)m回到原位置时,求。MmR 0解:(1) M,m受力如图所示mgTT2/22MRmRmgR2/7 .81srad(2)00t2021ttRhmh21012. 6(3)从静止态回到原位置22022srad/10刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid

10、 Body ）18解：解：列方程)2() 1 (22221111amTgmamgmTa1a2)3()2121(2222111122RMRMRTRT)5()4(2211RaRa已知:m1 = m2 , M1,R1 M2,R2求：、 T1 、T2例题例题 (课本p127，3-11)M1,R1M2,R2m1m2T2受力分析如图所示T1m1 gT1m2 gT2由（1）（2）（3）（4）（5）解得： 、T1、T2刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）19一、定轴转动中的动能一、定轴转动中的动能ivOiri mi质元质元 的动能：的动能：im刚体的转动动能：刚体的转动动能

11、：22221)(21 JrmEEiiiikik222221)(2121iiiiiikirmrmvmE 二、力矩的功二、力矩的功zOrFddsj)90cos(cos0jFrdFdsdAjMddFr sin21:21MddAA3. 3 刚体刚体刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）20三、三、定轴转动中动能定理定轴转动中动能定理20221212121210JJdJddtdJdJMdA合外合外力矩力矩对定轴转动刚体所作的功功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量四、定轴转动的机械能守恒四、定轴转动的机械能守恒1。定轴转动过程中只有保守力作功的刚体 其机械能（转动动能+

12、重力势能）守恒2。对于刚体、弹簧、质点的混合系统，此时系统机械能 守恒条件为整个系统只有保守力作功整个系统只有保守力作功！21PPEEAA保守力保守力矩刚体的重力势能：Ep=mghc其中：hc为刚体质心到参照面的距离刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）21图(1)例题例题已知均质棒已知均质棒m,l,半径忽略的小球半径忽略的小球m组成组成图示图示系统，系统，求图求图(1) ;图图(2)棒中心棒中心at,an, 60图(2)mg mg解(1)mgllmgM2mgl232231mlmlJ234mlJ/Mlg89II态I态mgmg(2) I态II态,E守恒21EE

13、0022602603421sinlmgsinmgl)ml(lg839刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）220030302sinmglsinlmgMmgl43J/Mlg1692lat329g)(22lan1639g一般情况：一般情况：求：求：用用M=J 用动能定理或用动能定理或E守恒定律守恒定律 at、an、v用线量和角量关系式用线量和角量关系式图(2)II态mgmg60lg839 234mlJ 刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）23一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量zOirivi mi单个质点im：iL2

14、iiiiiirmrvmL方向：沿Z轴正向整个刚体：iLLJrmrvmLiiiiii)(2方向：沿Z轴正向J即刚体绕定轴转动动量矩为绕该轴转动惯量与角速度即刚体绕定轴转动动量矩为绕该轴转动惯量与角速度矢量之积矢量之积3. 4 刚体刚体的角动量和角动量守恒定律的角动量和角动量守恒定律刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）24二、刚体定轴转动的角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理质点：质点：)(vmrdtddtLdM）（刚体：JdtddtdLM定轴转动：定轴转动：dtdJdtdJJdtddtdLM）（1）若质点系为刚体（J为常数）转动定律则：JdtdJM2）若质点

15、系不是刚体（J变化）成立（不成立但则：JdtdMJM刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）25刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理(积分式积分式)21212112)(JJdJJdMdttt冲量距其中：21ttMdt作用于刚体上冲量矩等于刚体动量矩增量作用于刚体上冲量矩等于刚体动量矩增量三、角三、角动量守恒动量守恒由角动量定理可知，当M=0，则：J=J0 0 即若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。即若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。讨论：讨论：1. J、 均不变， J =常数2. J、 都改变， 但 J 不变刚体的转动（刚体的转动（Ro

16、tation of Rigid Body ）26 花样滑冰运动员通过改变身体姿态花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速即改变转动惯量来改变转速刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）27解：由角动量守恒得：解：由角动量守恒得：JJJ=+12211J2JJJJ=+111222)( 例例 若对接前两轮的角速度分别为若对接前两轮的角速度分别为1、 2求：求：1.对接后共同的角速度对接后共同的角速度 2.对接过程中的机械能损失对接过程中的机械能损失1221JJJ=+2(J JJ122)11201+1)(1JJ22Ek11222(JJ12222)=摩擦力

17、矩作负功，摩擦力矩作负功，有机械能损失。有机械能损失。刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）28, 例例2 人和转盘的转动惯量为人和转盘的转动惯量为 J0 , 哑铃的质量为哑铃的质量为m，初始转速为初始转速为1。求：双臂收缩由。求：双臂收缩由r1变为变为r2时的时的角速度及机械能增量。角速度及机械能增量。rr12mmJ01解：解：由角动量守恒由角动量守恒1220210222）（）（解得：mrJmrJ2220121022）（）（mrJmrJ2121022220221221）（）（mrJmrJEk012222122021021210mrJmrJmrJ）（非保守内力

18、作正功非保守内力作正功刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）293.系统角动量守恒的条件:a).系统中各物体均绕同一转轴转动条件: M外力=0b).系统中各物体均绕不同转轴转动条件: M外力=0, 且M内力=04.角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需相对同一惯性参照系。刚体的转动（刚体的转动（Rotation of Rigid Body ）30 例例3 一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅直状态。现有平轴自由转动。开始时杆子处于铅直状态。现有一质量为一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。弹性碰撞并且和杆子粘在一起