统考版2022届高考数学一轮复习第十章10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理含解析2021（精编版）

1、第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识重温】一、必记3 个知识点1. 分类加法计数原理完成一件事有n 类不同的方案，在第一类方案中有m1 种不同的方法，在第二类方案中有m2 种不同的方法，在第n 类方案中有mn 种不同的方法，则完成这件事情，共有n 种不同的方法2. 分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n 个不同的步骤，完成第一步有m1 种不同的方法，完成第二步有m2 种不同的方法，完成第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有n 种不同的方法3. 两个原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与 有关，各种方法

2、相互独立，用其中 的 任 一 种 方 法 都 可 以 完 成 这 件 事 ； 分 步 乘 法 计数 原 理 与 有 关 ， 各 个 步 骤 ，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成 二、必明2 个易误点1. 分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的2. 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1) 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2) 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直

3、接完成这件事()(3) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的() (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 ()二、教材改编2已知集合m 1 ， 2,3 ， n 4,5,6， 7 ，从 m ，n 这两个集合中各取一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()a 12b 8c 6d 43.如图，从 a 城到 b 城有 3 条路；从 b 城到 d 城有 4 条路；从 a 城到 c 城有 4 条路，从 c城到 d 城有 5 条路，则某旅客从a 城到 d 城共有 条不同的路线

4、三、易错易混4已知 a，b 2,3,4,5,6,7,8,9 ，则 log ab 的不同取值个数为 5某项测试要过两关，第一关有3 种测试方案，第二关有5 种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为()a 3 5b 3× 5c 35d 53四、走进高考62020 ·山东卷 6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有()a 120 种b 90 种c 60 种d 30 种考点一分类加法计数原理自主练透型 12021 ·湘赣十四校联考有一数学问题可用综合法和分析法两种方

5、法证明，有5 名同学只会用综合法证明，有3 名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1 名同学证明这个问题，不同的选法种数为()a 8b 15c 18d 302. 椭圆x2y2nm1 的焦点在x 轴上，且 m1,2,3,4,5 ，n 1,2,3,4,5,6,7 ，则这样的椭圆的个数为 3. 如图，从a 到 o 有 种不同的走法 (不重复过一点)悟·技法1. 分类加法计数原理的实质分类加法计数原理针对的是“ 分类 ”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立， 每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事2. 使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类

6、的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“ 标准要明确，不重不漏 ”的原则 .考点二分步乘法计数原理 自主练透型 42016 全·国卷 如图，小明从街道的e 处出发，先到f 处与小红会合，再一起到位于g 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()a 24b 18c12d 95. 用 0,1， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() a 243b 252c 261d 27962021 ·河北定州模拟将“福”“禄”“寿”三个字填入如图所示的4× 4 小方格中， 每个小方格内只能填入一个字，且任意两个字既不同行也不同

7、列，则不同的填写方法有()a.288 种b 144 种c 576 种d 96 种悟·技法1. 分步乘法计数原理的实质分类乘法计数原理针对的是“ 分步” 问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存， 完成其中的任何一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事2. 使用分步乘法计数原理的原则(1) 明确题目中的 “ 完成这件事 ” 是什么， 确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的(2) 将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数

8、.考点三两个计数原理的综合应用互动讲练型 考向一：计数问题例 1用 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数(用数字作答 )悟·技法(1) 注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理(2) 注意对较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.考向二：涂色问题例 2现有 5 种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()a 120b 140c 240d 260悟·技法解决涂色问题(1

9、) 要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序(2) 切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色.变式练 (着眼于举一反三)1. 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比40 000 大的偶数共有 () a 144 个b 120 个c 96 个d 72 个2.如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法 ( )a 24b 72c84d 120第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识重温】m1 m2 mn m1× m2

10、×× mn完成一件事情分类分步相互依存【小题热身】1答案： (1) ×(2)(3)(4) ×2. 解析： 分两步：第一步先确定横坐标，有3 种情况，第二步再确定纵坐标，有2 种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2 6，故选 c.答案： c3. 解析： a 城到 b 城到 d 城共有 3× 412(条)， a 城到 c 城到 d 城共有 4× 5 20( 条)， a 城到 d 城共有 1220 32(条)答案： 324. 解析： ( a， b)的不同的取值共有64 个，其中logab 1 有 8 个， logab 2

11、有 2 个， logab12 有 2 个， logab log23 有 2 个， loga b log 32 有 2 个，则不同取值的个数为64 7 1 11 1 53.答案： 535. 解析： 根据题意，某人参加该项测试，第一关有3 种测试方案，即有3 种测试方法， 第二关有5 种测试方案，即有5 种测试方法，则有3×5 种不同的测试方法答案： b1236解析： c6c5c3 60.答案： c课堂考点突破考点一1. 解析： 由题意知本题是一个分类计数问题：证明方法分成两类，一是用综合法证明，有 5 种选法，二是用分析法证明，有 3 种选法，根据分类加法计数原理知共有 35 8 种选

12、法，故选 a.答案： a2. 解析： 因为焦点在 x 轴上， m>n，以 m 的值为标准分类，分为四类：第一类： m5 时，使 m>n，n 有 4 种选择；第二类： m 4 时，使 m>n， n 有 3 种选择；第三类： m3 时， 使 m>n， n 有 2 种选择；第四类： m 2 时，使 m>n， n 有 1 种选择由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有 10 个答案： 103. 解析： 分 3 类：第一类，直接由a 到 o，有 1 种走法；第二类，中间过一个点，有a bo 和 a co2 种不同的走法；第三类，中间过两个点，有a b c o 和 acb o2

13、 种不同的走法 由分类加法计数原理可得共有1 2 25( 种) 不同的走法答案： 5考点二4. 解析： 本题以实际生活为背景，考查乘法计数原理从e 到 f，每条东西向的街道被分成 2 段，每条南北向的街道被分成2 段，从 e 到 f 最短的走法，无论怎样走，一定包括44232段，其中2 段方向相同，另2 段方向相同，每种最短走法，即是4 段中选出2 段走东向的， 选出 2 段走北向的，故共有走法c2c2 6 种同理从f 到 g，最短的走法，有c1c2 3 种 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6× 3 18.故选 b.答案： b5. 解析： 由分步乘法计数原理知：用0,1， 9

14、十个数字组成三位数( 可有重复数字 )的个数为 9× 10× 10 900，组成没有重复数字的三位数的个数为9× 9× 8648，则组成有重复数字的三位数的个数为900 648252，故选 b.答案： b6. 解析： 依题意可分为以下3 步： (1)先从 16 个格子中任选一格放入第一个字，有16 种方法； (2)因为任意两个字既不同行也不同列，所以第二个字有9 个格子可以放，有9 种方法；(3) 第三个字有4 个格子可以放，有4 种方法根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16× 9×4 576( 种)故选 c.答案： c考点三例

15、 1解析： 要完成的 “ 一件事 ” 为“ 组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为 0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步第 1 类，当千位数字为奇数，即取1,3,5 中的任意一个时，个位数字可取0,2,4,6 中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字根据分步乘法计数原理，有3×4× 5× 4 240(种)取法第 2 类，当千位数字为偶数，即取2,4,6 中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三

16、个数字重复的数字根据分步乘法计数原理，有3×3× 5× 4 180(种)取法根据分类加法计数原理，共可以组成240 180 420(个)无重复数字的四位偶数 答案： 420例 2解析： 由题意， 先涂 a 处共有 5 种涂法， 再涂 b 处有 4 种涂法，最后涂c 处， 若 c 处与 a 处所涂颜色相同，则c 处共有 1 种涂法， d 处有 4 种涂法；若c 处与 a 处所涂颜色不同，到 c 处有 3 种涂法， d 处有 3 种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4× (1× 43× 3) 260(种)，故选 d.答案： d变式练1. 解析： 由题意可得，比40 000 大的五位数万位只能是4 或 5，当万位是4 时，由于该五位数是偶数，个位只能从0 或 2 中任选一个，其余三位数字从剩下的四个数中任选三个，有 2× 4× 3× 248( 种)情况；当万位是5 时，由于该五位数是偶数，个位只能从0,2 或 4 中任选一个，其余三位数字从剩下的四个数中任选三个，有3× 4× 3× 2 72(种)情况；由分类加法计数原理可得，满足题意的数共有48 72 120(个)答案： b2.