专题五直线圆锥曲线平面向量

1、专题五直线圆锥曲线平面向量一能力培养1,函数与方程思想2,数形结合思想3,分类讨论思想4,转化能力5,运算能力0,抛物线寸=2x与过焦点的直线交于a,b两点，求oa ob的值.二问题探讨问题1设坐标原点为2 2x y问题2已知直线l与椭圆 =1交于p,q不同两点，记op,oq的斜率分别为a bb2kop,koq，如果kop koq =,求pq连线的中点m的轨迹方程.a问题3给定抛物线c:y2 =4x,f是c的焦点，过点f的直线i与c相交于a,b两点.(i)设i的斜率为1,求0a与0b夹角的大小； (ii)设fb =aaf，若几亡4,9,求i在y轴上截距的变化范围.问题4求同时满足下列三个条件的

2、曲线是椭圆或双曲线；c的方程：原点o和直线x=1分别为焦点及相应准线 被直线x + y=0垂直平分的弦ab的长为242.三习题探选择题2 21已知椭圆+ =1的离心率5b,3或25e芈,则实数 的值为ka,332cj52一动圆与两圆a,圆b,椭圆+8x+12 =0都外切，则动圆圆心的轨迹为d,抛物线c,双曲线的一支3已知双曲线的顶点为(2,-1)与(2,5),它的一条渐近线与直线3x-4y =0平行，则双曲线的准线方程是9a,y=2匚4抛物线2b,x =2 59c,y = 2rd,x= 2125p的坐标是55b，(1,y =2x上的点p到直线y=x+4有最短的距离，则a,(0,0)2)15已知

3、点f (,0)，直线i:x =-,点b是i上的动点.若过b垂直于y轴的直线与线段44bf的垂直平分线交于点a,双曲线m,则点m的轨迹是b,椭圆c,圆d,抛物线11(1)c，2,j 1、叫，2)填空题2 2x y6椭圆 =1 (a b 0)上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离10为一，则此椭圆的方程为337与方程x = y的图形关于y = -x对称的图形的方程是8设p是抛物线y2-4y-4x=0上的动点,点a的坐标为(0, 1),点m在直线pa上,m的轨迹方程是且分pa所成的比为2:1,则点9设椭圆与双曲线有共同的焦点f1(1,0), f2(1,0),且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,

4、则椭圆与双曲线的交点轨迹是 解答题10已知点h( -3,0)，点p在y轴上，点q在x轴的正半轴上，点m在直线pq上,且满足hp pm=0,pm=-mq.32(i)当点p在y轴上移动时，求点m的轨迹c； (ii)过点t(1,0)作直线i与轨迹c交于a,b两点若在x轴上存在一点e(xo,0),使得心abe是等边三角形，求x0的值.2 2x y11已知双曲线c：务=1 (a0,b0),点b,f分别是双曲线c的右顶点和右焦点，a bo为坐标原点a在x轴正半轴上，且满足oa,ob,of.|点成等比数列，过点f作双曲 线c在第一,第三象限的渐近线的垂线l，垂足为p.(i)求证:pa op = pa fp；

5、(ii)设a=1,b=2,直线i与双曲线c的左,右两分dfi ii i支分别相交于点d,e,求的值.12已知双曲线的两个焦点分别为b(3,2)在双曲线上.(i)求点f2的轨迹方程；fi,f2,其中fi又是抛物线y2=4x的焦点,点a(1,2),(ii)是否存在直线y = x + m与点f2的轨迹有且只有两个公共点？若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.四参考答案问题1解:(1)当直线ab丄 x轴时，在y =2x中,令x =-,有y =1,则1a( ,1),b(i1),得oaob=d，1)4,1)=电22224当直线ab与x轴不互相垂直时，设ab的方程为：y = k(x-1)y222由j

6、=k(x2),消去y,整理得k x (k +2)x+丄42ly =22k +2a(x1y1)b(x2y2)2设- -，则心=必2 1k =0,显然kho.2oa ob =(x1, yj(x2, y2)= x1咲2+k(x-)222齐円 冲=(1 +k )x1x2-(1k2)y1灯花1k(x22)=4 + 七k2宀2+*=_344综(1),(2)所述，有oa ob =问题2解:设点p,q,m的坐标分别为22 2由条件知+马b2(xi,yi),(x2,y2),(x,y)2y2=122aba2y1y2b1 +y2,y2为x2a222x2* +y222ab2222即(x1+x2)f2222=2,将，代

7、入得222abb于是点m的轨迹方程为=1笃+2 2xa22.2b2=1.问题3解:(i)c的焦点为f(1,0),直线i的斜率为1,所以i的方程为y=x1,把它代入y2=4x,整理得x?-6x+1 =0设a(xi, yi),b(x2, y2)则有xi+x2=6,xix2 =1.oa ob =(x1,y1)(x2,y2)=曲2+炖2=2x,x2 -(x1+x2)+1=-3.oa ob =(x； +y2 = jx1x2x1x2+ 4(捲 +x2) +16 = 74?2341coscoa, ob =oa oboalob 41所以oa与ob夹角的大小为兀-arccos 41341(ii)由题设fb =a

8、af得(x2-12)=入(1 -x1, -yj，即 -x? 1 = a(1 xj 2 “得丫2=几 y1，又y1= 4x1, y?= 4x2，有x2= z x1，可解得x?=几，由题意知a 0,得b仏,2 jt)或仏，-2 jt),又f(1,0),得直线l的方程为(a1)y =27r(x -1)或仏1)y = 27r(x1),当点4,9时,1在y轴上的截距为知在4,9上是递减的，于是3 4- 或-，由，可a14 a133 入 一 12443 ,3 4y所以直线i在 轴上的截距为匕，七,3.问题4解:设m(x, y)为曲线c上任一点，曲线c的离心率为e (e0,e h1),由条件，得x-1=e,

9、化简得：(1 -e2)x2+ y2 +2e2x e2 = 0(i)(ii)(iii),设弦ab所在的直线方程为y = x + m(ii)代入(i)整理后得：(2-e2)x2+2(m+ e2 )x + m2-e2 =02可知e2 =2不合题意，有2 -e h0,设弦ab的端点坐标为a(x1, yj,b(x2, y?),ab的中点p(x0, y。)则x1,x?是方程(iii)的两根.222(m+ e)“、 2(m+e)x2,将它代入(i)得3xy8x + 4 =0.422（x-石） 所求的曲线c的方程为双曲线方程：3 -=1.4439zy25b.1焦点在x轴得k=3；焦点在y轴得2设圆心，0为动圆

10、的圆心贝u oo12，-oo =(r +4)-(r +1)=3,选c.2y3知双曲线的中心为（2,2）,由3x-4y=0变形得yx=0，于是所求双曲线方程为2 2t-t它的准线为99，即y = 2 -，选a.224设直线y=x+m与y =2x相切，联立整理得+ 2(m1)x + m =0,(-,1),选b.qq22由a =4(m1) -4m =0,得m=-,这时得切点5由mf = mb知点m的轨迹是抛物线，选d.1i2a +c =8i2826可得 y2,且5、y是方程的两个根.%=普切 2,上 4川)202i5i5 y2yi又yiydf2,得世冷,因此y爾yyii-y2匹 2 yii12解:(i)fi(1,0),af1=bf2=2近，设f2 (x, y)则- af2=bfi-bf2=2a0,去掉绝对值号有两种情况,分别得f2的轨迹2 2方程为x=i和(x j+_d =i ( y h0, y 工 4 )8422(ii)直线li：x =i,l2：y =x + m,d(i,4),椭圆q：(x i)+(y 2) =i84若12过点fi或d,由fi,d两点既在直线li上，又在椭圆q上,但不在f2的轨迹上