高等代数（I）课件：第2章 方阵的行列式-引

1、 1. 2 阶行列式的代数意义；阶行列式的代数意义； 2. 2 阶行列式的几何意义；阶行列式的几何意义； 3. 猜测猜测 3 阶行列式的构造阶行列式的构造 . 以下方程组何时有唯一解以下方程组何时有唯一解? 22221211212111bxaxabxaxa:011 a假设假设a11-1 以下方程组何时有唯一解以下方程组何时有唯一解? 2222121111211121bxaxaabxaax:011 a假设假设 - a21 主元的位置主元的位置 ?:011 a假设假设 1121121121121122211111211121aabbaxaaaaaabxaax., 0:21122211有唯一解有唯一

2、解若若讨论讨论aaaa 1121121121121122211111211121aabbaxaaaaaabxaax:, 021122211分两种情况分两种情况若若aaaa0, 0) 1121211 baba.,无解无解常数列有主元常数列有主元, 0)2121211 baba0,主元都在等号左边主元都在等号左边.,有无穷多解有无穷多解有自由变量有自由变量;, 021122211方程组有唯一解方程组有唯一解若若 aaaa 22221211212111bxaxabxaxa我们也有我们也有对一般的情况对一般的情况, 211222111212112211222112121221aaaababaxaaaa

3、babax., 021122211无解或有无穷多解无解或有无穷多解若若 aaaa;, 021122211方程组有唯一解方程组有唯一解若若 aaaa 22221211212111bxaxabxaxa我们也有我们也有对一般的情况对一般的情况, 2 阶行列式的定义阶行列式的定义记为记为的行列式定义为的行列式定义为,21122211aaaa 22211211aaaaA.|22211211aaaa A阶阶方方阵阵2 !没有行列式没有行列式 543211,321,ba.,的多项式的多项式是方阵元素是方阵元素行列式是数行列式是数ija!是没有意义的是没有意义的543211,321式式注：只有方阵才有行列注：

4、只有方阵才有行列022211211 aaaa方程组有唯一解方程组有唯一解 22221211212111bxaxabxaxa211222112121221aaaababax 222112112211112aaaababax ,22211211222121aaaaabab 1. 2 阶行列式的代数意义；阶行列式的代数意义； 2. 2 阶行列式的几何意义；阶行列式的几何意义； 3. 猜测猜测 3 阶行列式的构造阶行列式的构造 . 2 阶行列式的几何意义阶行列式的几何意义张成的张成的22211Rbaba,12212121bababbaa 平行四边形的有向面积平行四边形的有向面积定理：定理： 111ba

5、ACO 222ba2121bbaaB的面积的面积平行四边形平行四边形OBCA 111baAC 222ba2121bbaaB的面积的面积平行四边形平行四边形OBCA OCOBDE)0 ,(xA),(11ba的面积的面积求平行四边形求平行四边形假定假定OBCA, 02 b面积面积面积面积OBDEOBCA 2bx ),(22baCOBE)0 ,(xA? xRAC kk,:21直线直线 111ba 222baO? xRAC kk,:21直线直线 111ba 222ba 02211xbakba解解 02211xbakba解解2121bbkbkb 02211abbax 面积面积OBCA2bx 1221ba

6、ba ? xRAC kk,:21直线直线 111baACO 222ba2121bbaaB的面积的面积平行四边形平行四边形OBCA 111baAC 222ba2121bbaaB的面积的面积平行四边形平行四边形OBCA O12O 22221211212111bxaxabxaxa022211211aaaa若若有唯一解有唯一解不共线不共线21,11x22x 2211xx 1. 2 阶行列式的代数意义；阶行列式的代数意义； 2. 2 阶行列式的几何意义；阶行列式的几何意义； 3. 猜测猜测 3 阶行列式的构造阶行列式的构造 .平行六面体有向体积平行六面体有向体积o132 3332312322211312

7、11aaaaaaaaa三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义 例：长方体体积例：长方体体积abccba000000猜测：三阶行列式是它猜测：三阶行列式是它 9 个元素个元素 的三次齐次多项式的三次齐次多项式 333231232221131211aaaaaaaaa?2112221122211211aaaaaaaa 大胆假设，小心求证 每次取不同行、不同列的每次取不同行、不同列的 三个元素，三个元素， 有几种取法？有几种取法？ 333231232221131211aaaaaaaaa;不同行不同行3k2j1iaaa?)(互异互异不同列不同列kj,i,的排列的排列是是321kji3321123223

8、11332211aaaaaaaaa种排列：种排列：有有6!33 , 2 , 1123, 231, 132, 312, 231, 321对应的乘积是：对应的乘积是：312213322113312312aaaaaaaaa 每次取不同行、不同列的每次取不同行、不同列的 三个元素，三个元素， 有几种取法？有几种取法？2112221122211211aaaaaaaa猜测：三阶行列式应该是以下猜测：三阶行列式应该是以下 六项的代数和六项的代数和332112322311332211aaaaaaaaa312213322113312312aaaaaaaaa典型IQIQ 问题：将排列将排列同一类同一类与与个个每类

9、每类分成两类，分成两类，312,3的是的是312,312, 312123, 231, 132, 312, 231, 321333231232221131211aaaaaaaaa312312322113332211aaaaaaaaa332112312213322311aaaaaaaaa312,312, 312333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211a

10、aaaaaaaaaaaaaaaaa 例例: 求以下列向量在几何空间张成求以下列向量在几何空间张成 的平行六面体体积的平行六面体体积. 247,030,123321201432703043220137027140233 3137233 此平行六面体体积此平行六面体体积 = 3o123333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaa

11、aaaa Warn！n以上三阶行列式的构造及展开公式以上三阶行列式的构造及展开公式均不能推广到更高阶的行列式。均不能推广到更高阶的行列式。作业：作业： 1.3 1 2.1 1(3)(6)(9) , 2, 4, 8 2.2 1(1)(3)(5) , 2(2)(4) , 5 怎样定义怎样定义 n 阶方阵的行列式阶方阵的行列式 ?nnn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaan n 个个 n n 维列向量张成的维列向量张成的 平行多面体的有向体积平行多面体的有向体积 ” 想象一下想象一下 n 维长方体维长方体nnaaaaaa2121000000 n 阶方阵的行列式阶方阵的行列式n21jn2

12、j1jaaannn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaa 退化的情况退化的情况0111111111 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开 参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章n自然数自然数 1, 2, , n 的排列的排列 j1 j2 jn 称为称为 n 元排列元排列. n 元排列一共有元排列一共有 n ! 种种.n目标目标: 找到某种新规则找到某种新规则, 将全体将全

13、体 n 元排列元排列 分成两大类分成两大类. 一类称为偶排列一类称为偶排列, 另一类称为另一类称为 奇排列奇排列. 排列分奇偶排列分奇偶n设设 j1 j2 jn 是是 n 元排列元排列. 考察乘积考察乘积 若乘积若乘积 0 , 则称则称 j1 j2 jn 是偶排列是偶排列; 若乘积若乘积 0 231 (3-2) (1-2) (1-3) 0 312 (1-3) (2-3) (2-1) 0 132 (3-1) (2-1) (2-3) 0 321 (2-3) (1-3) (1-2) 0 213 (1-2) (3-2) (3-1) 04321 (3-4) (2-4) (1-4) (2-3) (1-3)

14、 (1-2) 0 定理定理: 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性 . 4 2 3 1 5 1 2 3 4 5对换对换 (4,1) 第一步第一步, 证明对换证明对换相邻相邻的字符改变的字符改变 排列奇偶性排列奇偶性. 4 2 3 1 5 4 2 1 3 5相邻相邻对换对换(3,1) k i j l k j i l 原排列中的数对分三种类型原排列中的数对分三种类型: 不含不含 i, j 的数对逆序性不变的数对逆序性不变, 如如 k l k l ; 只含只含 i, j 之一的数对总是成对出现之一的数对总是成对出现, 如如: k i , k j ; 对换后变为对换后变为 k j , k i ; 其中

15、的逆序对个数没有改变；其中的逆序对个数没有改变； 最后，数对最后，数对 i j j i 改变逆序性改变逆序性.相邻相邻对换对换( i, j ) k i j l k j i l 原排列中的数对分三种类型原排列中的数对分三种类型: 不含不含 i, j 的数对逆序性不变的数对逆序性不变, 如如 k l k l ; 只含只含 i, j 之一的数对总是成对出现之一的数对总是成对出现, 如如: k i , k j ; 对换后变为对换后变为 k j , k i ; 其中的逆序对个数没有改变；其中的逆序对个数没有改变； 最后，数对最后，数对 i j j i 改变逆序性改变逆序性.相邻相邻对换对换( i, j

16、) k i j l k j i l 原排列中的数对分三种类型原排列中的数对分三种类型: 不含不含 i, j 的数对逆序性不变的数对逆序性不变, 如如 k l k l ; 恰含恰含 i, j 之一的数对总是成对出现之一的数对总是成对出现, 如如: k i , k j ; 对换后变为对换后变为 k j , k i ; 逆序对个数之和不变；逆序对个数之和不变； 最后，数对最后，数对 i j j i 改变逆序性改变逆序性.相邻相邻对换对换( i, j ) k i j l k j i l 原排列中的数对分三种类型原排列中的数对分三种类型: 不含不含 i, j 的数对逆序性不变的数对逆序性不变, 如如 k

17、 l k l ; 恰含恰含 i, j 之一的数对总是成对出现之一的数对总是成对出现, 如如: k i , k j ; 对换后变为对换后变为 k j , k i ; 逆序对个数之和不变；逆序对个数之和不变； 最后，数对最后，数对 i j j i 改变逆序性改变逆序性.对换对换相邻相邻两数两数改变排列奇偶性改变排列奇偶性第二步第二步, 证明作一次证明作一次不相邻不相邻对换对换相当于连续作奇数次相当于连续作奇数次相邻相邻的对换的对换.故对换不相邻的字符也改变排列奇偶性故对换不相邻的字符也改变排列奇偶性 .( i, j ) 对换对换 i k1 k2 ks j k1 k2 ks i j j k1 k2

18、ks i k1 k2 ks j i ( i, j ) 对换对换 i k1 k2 ks j k1 k2 ks i j j k1 k2 ks i k1 k2 ks j i s= 2s1 次相邻的对换次相邻的对换( i, j ) 对换对换 i k1 k2 ks j k1 k2 ks i j j k1 k2 ks i k1 k2 ks j i ss对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性利用利用对换计算排列奇偶性对换计算排列奇偶性 任何任何 n 元排列可以经不超过元排列可以经不超过 n - 1 次次 对换变为标准排列对换变为标准排列 1 2 3 n .例：快速计算以下排列的奇偶性例：快速计算以下排列的奇偶

19、性 6 3 7 5 8 1 2 4 1 3 7 5 8 6 2 4 1 2 7 5 8 6 3 4 1 2 3 5 8 6 7 4 1 2 3 4 8 6 7 5 1 2 3 4 5 6 7 8奇奇排排列列偶偶奇奇偶偶奇奇偶偶 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开 参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章 排列分奇偶排列分奇偶n设设 j1 j2 jn 是一个是一个 n 元排列元排列.

20、奇排列奇排列偶排列偶排列n21n21n21jjj1jjj1)jjjsgn(,的正负号的正负号srsr)jj( n 阶矩阵的行列式公式阶矩阵的行列式公式nnn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaan21jn2j1jn21jjjaaa)sgn( 上三角型行列式上三角型行列式4433221144343324232214131211000000aaaaaaaaaaaaaa 上三角型行列式等于对角元的乘积上三角型行列式等于对角元的乘积nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000 下三角型行列式也等于对角元乘积下三角型行列式也等于对角元乘积nnnnnnaaaaaaaaa2211

21、21222111000 nnnnnnnnaaaaaa)1(12)1(21000 n11)2(n1naaann ) 1) 1(sgn( 34, 2414,4kknaaakknaaan11)2(n1nn11)2(n1n n 阶矩阵的行列式公式阶矩阵的行列式公式nnn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaan21jn2j1jn21jjjaaa)sgn(也可以这样定义？也可以这样定义？nnn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaani2i1in21n21iiiaaa)sgn(? n 个不同行、不同列的元素个不同行、不同列的元素, 在两种方式下添加的符号是否一致在两种方式下添加的符号

22、是否一致?定理定理:n21n21jn2j1jni2i1iaaaaaa)()(n21n21jjjsgniiisgn14434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa24431231)2413sgn(aaaa14434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa43312412)3142sgn(aaaa24431231)2413sgn(aaaa24431231aaaa24433112aaaa31432412aaaa43312412aaaa)3142sgn()2413sgn(31424321行标排列行标排列432

23、12413列标排列列标排列经偶数次对换经偶数次对换14434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa24431231)2413sgn(aaaa43312412)3142sgn(aaaa n 阶矩阵的行列式公式阶矩阵的行列式公式nnn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaan21jn2j1jn21jjjaaa)sgn(也可以这样定义也可以这样定义nnn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaani2i1in21n21iiiaaa)sgn(甲乙二人在甲乙二人在 2010 阶的空方阵上交替地填数阶的空方阵上交替地填数.甲先填甲先填. 每

24、人每次只能在空的位置填写一个每人每次只能在空的位置填写一个实数实数. 方阵被填满后游戏结束方阵被填满后游戏结束. 如果最后方阵如果最后方阵的行列式不为零的行列式不为零, 判甲胜判甲胜. 否则判乙胜否则判乙胜.问甲乙二人谁有必胜的策略问甲乙二人谁有必胜的策略? 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开 参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章 n 阶行列式的完全展开式阶行列式的完全展开式nn

25、n2n12n22211n1211Aaaaaaaaaan21jn2j1jn21jjjaaa)sgn( 按任意顺序读取按任意顺序读取不同行不同行,不同列的不同列的 n 个元素个元素nnn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaa)sgn()sgn(n21n21jjjiiinn2211jijijiaaa也可以这样定义也可以这样定义nnn2n12n22211n1211Aaaaaaaaaani2i1in21n21iiiaaa)sgn( 行列式基本性质行列式基本性质: 1. 行列互换行列互换, 行列式的值不变行列式的值不变.TAA n21n21jn2j1jjjjn21jjjaaa)sgn(左边左边

26、)(按列完全展开按列完全展开右边右边 nn2n1nn22212n12111nnn2n12n22211n1211aaaaaaaaaaaaaaaaaan行列式的行与列的地位是对等的行列式的行与列的地位是对等的: 关于行的结果关于行的结果, 对列也成立对列也成立; 反之反之, 对列的结果对列的结果, 对行也成立对行也成立 行列式基本性质行列式基本性质: 1. 行列互换行列互换, 行列式的值不变行列式的值不变. 2. 两行互换两行互换, 行列式反号行列式反号. 交换一、三行交换一、三行?44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa4443424114

27、1312112423222134333231aaaaaaaaaaaaaaaa 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性?42312314)2134sgn(aaaa42142331)2431sgn(aaaa 列标列标列标列标4312134244434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa44434241141312112423222134333231aaaaaaaaaaaaaaaa两行互换两行互换, 行列式反号行列式反号nmm2m1nkk2k1nrr2r11n1211nmm2m1nrr2r1knk2k11n1211aaaaaaaaaaaaaaaaaaa

28、aaaaa n行列式的行与列地位是对等的：行列式的行与列地位是对等的： 对行成立的结果对行成立的结果, 对列也成立对列也成立; 对列成立的结果对列成立的结果, 对行也成立对行也成立.n两行互换两行互换, 行列式反号行列式反号 两列互换两列互换, 行列式反号行列式反号 cfbeadfcebda321321 ?=fedcba321cbafed321 行列式的基本性质行列式的基本性质1. 方阵做转置方阵做转置, 行列式值不变行列式值不变2. 两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号3. 关于一行关于一行 (一列一列) 呈线性性质呈线性性质:n 一行一行 (列列) 的公因子可以提到外面

29、去的公因子可以提到外面去;n 沿一行沿一行 (列列) 可以拆成两个行列式的和可以拆成两个行列式的和n行列式一行的公因子可以提到外面行列式一行的公因子可以提到外面k44322113sgnaakaa)()3124(44322113sgnaaaa)3124(k44434241343332312423222114131211aaaaaaaakakakakaaaaa44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaan行列式一行（列）的公因子可以提到行列式一行（列）的公因子可以提到 外面去外面去.nnn2n1ini2i11n1211nnn2n1ini2i11n

30、1211aaaaaaaaakaaakakakaaaa 例例:若若 A 是是 n 阶行列式阶行列式, 则则 | k A | = k n | A | , k Kn推论：如果一行（列）全是推论：如果一行（列）全是 0 ， 行列式值为行列式值为 000000000 nnn2n11n1211nnn2n11n1211aaaaaaaaaaaan 若某一行是两组数之和若某一行是两组数之和, 行列式可沿行列式可沿 该行拆成两个行列式的和该行拆成两个行列式的和第第 i 行行nnn2n1nn22111n1211aaacbcbcbaaa nnn2n1nn22111n1211aaacbcbcbaaa nnn2n1n21

31、1n1211nnn2n1n211n1211aaacccaaaaaabbbaaa 行列式的基本性质行列式的基本性质1. 方阵做转置方阵做转置, 行列式值不变行列式值不变2. 两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号3. 关于一行关于一行 (一列一列) 呈线性性质呈线性性质:n 一行一行 (列列) 的公因子可以提到外面去的公因子可以提到外面去;n 沿一行沿一行 (列列) 可以拆成两个行列式的和可以拆成两个行列式的和 推论推论 1: 两行相同两行相同, 行列式值为行列式值为 00第第 i 行行第第 j 行行nnn2n1n21n211n1211aaabbbbbbaaannn2n1n21

32、n211n1211nnn2n1n21n211n1211aaabbbbbbaaaaaabbbbbbaaa 推论推论 1: 两行相同两行相同, 行列式值为行列式值为 002nnn2n1n21n211n1211aaabbbbbbaaa 推论推论 2: 两行成比例两行成比例, 行列式值为行列式值为 00第第 i 行行第第 j 行行nnn2n1n21n211n1211aaakbkbkbbbbaaak推论推论 3: 一行加上另一行的倍数一行加上另一行的倍数, 行列式值不变行列式值不变 knnn2n1n21n211n1211aaacccbbbaaannn2n1nn2211n211n1211aaakbckbc

33、kbcbbbaaa nn2211n21bkcbkcbkcbbbn21n21n21n21bkbkbkbbbcccbbb推论推论 3: 一行加上另一行的倍数一行加上另一行的倍数, 行列式值不变行列式值不变nnn2n1n21n211n1211aaacccbbbaaannn2n1nn2211n211n1211aaakbckbckbcbbbaaa 行列式与初等行变换行列式与初等行变换n两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号 ;n一行一行 (列列) 加上另一行加上另一行 (列列) 倍数倍数 , 行列式值不变行列式值不变 ;n一行一行 (列列) 的公因子可以提到外面去的公因子可以提到外面去

34、 . 利用以上性质可将行列式化为上三角型利用以上性质可将行列式化为上三角型 . 例例: 行列式的数值计算方法行列式的数值计算方法 ?1201680332116412 12016803321164126412680332111201 4010320020101201 2000320020101201 例例: 行列式的数值计算方法行列式的数值计算方法 41201680332116412 第一列找好非零元第一列找好非零元, 交换两行要变号交换两行要变号 第一行不动第一行不动, 第二列找非零元第二列找非零元 一旦找不到非零元一旦找不到非零元, 行列式值为零行列式值为零0 如果第二列有非零元如果第二列有

35、非零元 第二行不动第二行不动, 第三列找非零元第三列找非零元 一旦找不到非零元一旦找不到非零元, 行列式值为零行列式值为零0 如果第三列有非零元如果第三列有非零元Case 1: 在某一步找不到非零元在某一步找不到非零元, 行列式值为零行列式值为零0 nCase 2: 反复交换两行反复交换两行, 一行加另一行倍数一行加另一行倍数, 行列式化为上三角型行列式化为上三角型, 且对角线上的且对角线上的 元素非零元素非零 原行列式原行列式 = 对角线元素的乘积对角线元素的乘积 行列式的数值计算方法行列式的数值计算方法 用用 Gauss 消元法计算消元法计算 n 阶行列式，阶行列式，在最坏情况下要做在最坏

36、情况下要做 次次乘、除运算乘、除运算331n 例例 1. 求行列式的值求行列式的值?105300203132231 510003003200132231 503132231100300200132231 0一行加另一行倍数一行加另一行倍数, 行列式值不变行列式值不变 1190530231 400530231 12 例例 2. 计算计算 3 阶行列式阶行列式332313322212312111bababababababababa332333222231211babaababaababaa332313222131211bababbababbabab0同学的做法更简单同学的做法更简单, 可以推广到可

37、以推广到 n 阶阶 :332313322212312111bababababababababa= 0131313121212312111aaaaaaaaaaaabababa - 1例例 3. 计算计算 n 阶行列式阶行列式abbbbabbbbabbbba加边法加边法abbbbabbbbabbbba第一列公因子可以不提出来第一列公因子可以不提出来 - 1abbbnababbnabbabnabbbbna) 1() 1() 1() 1( 1)() 1( nbabnababababbbbna 000000000) 1(例例 4. 计算计算 n 阶行列式阶行列式10001000132321nnbbbaa

38、aa爪形行列式爪形行列式2b 3b nb 10001000132321nnbbbaaaa 上三角行列式上三角行列式nnbababaa 33221100001000010n32nn33221aaabababaa 行列式的基本性质行列式的基本性质1. 对方阵求转置对方阵求转置, 行列式的值不变行列式的值不变2. 两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号3. 关于一行关于一行 (一列一列) 呈线性性质呈线性性质:n 一行一行 (列列) 的公因子可以提到外面去的公因子可以提到外面去 ;n 沿一行沿一行 (列列) 可以拆成两个行列式的和可以拆成两个行列式的和 .推论推论: 一行一行 (列

39、列) 加上另一行加上另一行 (列列) 的倍数的倍数, 行列式值不变行列式值不变.作业：作业： 2.3 1 (2) (3), 2 (2), 3 (2), 4 (2) 2.4 1 (2) (4), 2, 4, 6, 9补充题补充题: 求求3222122M3MM 6070264252432481A B = 2,4,1,5; 3,2,6,9; 3,7,1,8 B = 2 4 1 5 3 2 6 9 3 7 1 8%求简化阶梯型求简化阶梯型 row reduced echelon form rref( B )ans = 1.0000 0 0 -0.6000 0 1.0000 0 1.2000 0 0 1

40、.0000 1.4000 Matlab 求简化阶梯矩阵求简化阶梯矩阵Ex1. 随机产生大矩阵随机产生大矩阵, 计算其简化计算其简化阶梯矩阵阶梯矩阵, 观察解的情况观察解的情况% 随机产生一个随机产生一个 2021 矩阵矩阵, 元素在元素在 0 到到 100 之间分布之间分布 A = 100 * rand(20,21);% A 减去一个元素都是减去一个元素都是 50 的的 2021 矩阵矩阵 B = A 50 * ones(20,21); rref(B) Ex2. 将图像转换成矩阵形式将图像转换成矩阵形式, 作矩阵作矩阵运算后还原成图像运算后还原成图像% 将照片将照片image.jpg (jpe

41、g, bmp格式格式) 拖入拖入 workspace, 点击点击% 改名为改名为 f1% unit8 格式改成格式改成 double 才能做算术才能做算术 X1 = im2double(f1); % 或直接输入或直接输入 X1 = double(imread( images.jpg );%对对矩阵作转置矩阵作转置 Y1=X1;%显示转置后的矩阵显示转置后的矩阵 imshow(Y1)例例:F35.jpg将图像转换成矩阵形式将图像转换成矩阵形式% 将照片将照片 F35.jpg ( jpeg, bmp格式格式.) 拖入拖入 Matlab 的的% Workspace 区域区域, 直接点击直接点击 Wo

42、rkspace 区域的区域的 % F35.jpg 文件名文件名, 按弹出窗口提示输入按弹出窗口提示输入% 或在或在 Command Window 输入输入 F35 = imread( F35.jpg );% 将将unit8 格式改成格式改成 double 才好做算术运算才好做算术运算 X = im2double( F35 ); % 注意命令结尾加分号注意命令结尾加分号 将图像转换成矩阵形式将图像转换成矩阵形式 whos Name Size Bytes Class F35 444x640 x3 852480 uint8 array X 444x640 x3 6819840 double arra

43、y% 选红色灰度矩阵做运算选红色灰度矩阵做运算 X1=X( : , : , 1 ); imshow(X1)裁取第裁取第111至至222行行, 第第320至至480列的子阵列的子阵 XX = X1(111:222, 320:480) ; imshow(XX)对对矩阵作转置矩阵作转置, 观察图像的变化观察图像的变化 imshow(X1)对对矩阵加白噪音矩阵加白噪音 E = rand(444,640) - 0.5*ones(444,640); imshow( X1 + 0.3*E ) 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一

44、行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开 参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章321321321bbbaaaxxx231312123213132321baxbaxbaxbaxbaxbax321321321bbbaaaxxx)()()(122131331223321babaxbabaxbabax321321321bbbaaaxxx)()()(122131331223321babaxbabaxbabax321321321bbbaaaxxx)()()(122131331223321babaxbabaxba

45、bax321321321bbbaaaxxx212133131232321bbaaxbbaaxbbaax321321321bbbaaaxxx212133131232321bbaaxbbaaxbbaax321321321bbbaaaxxx212133131232321bbaaxbbaaxbbaax 余子式余子式, 代数余子式的概念代数余子式的概念 ( i , j ) 元的余子式元的余子式 M i j 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA23M2323MA32) 1( 444241343231141211aaaaaaaaa23M (2,

46、3) 元的余子式元的余子式 M23 (2, 3) 元的代数余子式元的代数余子式 A23 在在 n 阶行列式中阶行列式中, 划去第划去第 i 行行, 第第 j 列列, 余下的元素按原次序排成的余下的元素按原次序排成的 n - 1 阶阶 行列式称为行列式称为 ( i , j ) 元的余子式元的余子式, 记为记为 M i j . ( i , j ) 元的元的代数代数余子式定义为余子式定义为ijjiijM1)(A一奇一偶一奇一偶奇偶奇偶同同jiMjiMj ij i,代数余子式添加的符号：代数余子式添加的符号： 注注:n行列式、余子式、代数余子式是数或公式行列式、余子式、代数余子式是数或公式, 不要与矩

47、阵的子阵搞混了不要与矩阵的子阵搞混了;n在有多个行列式的情况下，使用在有多个行列式的情况下，使用 M i j , A i j 符号时要特别指明是针对哪一个行列式；符号时要特别指明是针对哪一个行列式；n( i , j ) 元余子式、代数余子式只与第元余子式、代数余子式只与第 i 行行, 第第 j 列以外的元素有关列以外的元素有关, 与第与第 i 行行, 第第 j 列列 元素的取值、变化无关元素的取值、变化无关. ( 1, 1 ) 元的代数余子式相同：元的代数余子式相同：321321321bbbaaaxxx321321321bbbaaayyy11M 行列式按一行行列式按一行(列列)展开展开3213

48、21321bbbaaaxxx212133131232321) 1(bbaaxbbaaxbbaax321321321bbbaaaxxx212133131232321bbaaxbbaaxbbaax321321321bbbaaaxxx212133131232321bbaaxbbaaxbbaax321321321bbbaaaxxx212133131232321bbaaxbbaaxbbaax321321321bbbaaaxxx133122111AAAxxx 定理定理: 行列式等于其第行列式等于其第 i 行诸元素与各自行诸元素与各自 代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和 , 即即nini2i2i1i1

49、iAAAAaaaj in1jj iAa证明证明: 先考察一种特殊情况先考察一种特殊情况 nn2n1n2n22121100|A|aaaaaaan2jnj211n2jj1sgnaaa)(n2jnj2n211jjsgnaaa)(1111Ma证明证明: nn2n1nni2i1in12111|A|aaaaaaaaann2n1nni2in12111nn2n1n1in12111000aaaaaaaaaaaaaaa证明证明: nn2n1nni2i1in12111|A|aaaaaaaaann2n1n2in12111nn2n1n1in121110000aaaaaaaaaaaaaa证明证明: nn2n1nni2i1

50、in12111|A|aaaaaaaaan1jnnjn1nj in1j11100aaaaaaa第第 i i 行行其中其中nnjn1nj in1j11100aaaaaaa i 1次次nnjn1nn1j111j i1i001aaaaaaa)( j 1次次其中其中nnjn1nj in1j11100aaaaaaann1njnn111j1j i2ji001aaaaaaa)(j iMj ij ijiM1a)(j ij iAann2n1nni2i1in11211aaaaaaaaanini2i2i1i1iAAAaaa| A| Annjn1nn2j212n1j111aaaaaaaaajnjnj2j2j1j1AAA

51、aaa 利用利用 A= AT, 不难得到不难得到 按一行按一行(列列)展开计算行列式展开计算行列式例例: 计算行列式计算行列式329214732 最佳方法最佳方法3292147329111101 1012141010例例: 计算行列式计算行列式342432226342432226 1770432226 - 170041224612467)(2)(7)(14)57)(22342432226ba )3( )3( )6(34243222623)336(ba )3( )3( )6(例例: 计算计算 n 阶行列式阶行列式 ( n 1)abbababababa00000000000000000000000

52、0abbababababa000000000000000000000000nnnnnnbabbaa1111) 1() 1( abbababababa000000000000000000000000nnnnnnbabbaa1111) 1() 1( )(n,1例例: 计算计算 n 阶行列式阶行列式 ( n 1)acbacbacbacbacba00000000000000000000nDDn = a Dn-1+acbacbacbacbacba00000000000000000000nDDn = a Dn-1 b c Dn-2acbacbacbacbacba00000000000000000000nD

53、范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式1-nn1-n31-n21-n12n232221n321n1111Vaaaaaaaaaaaa nn = 2 时时,nn = 3 时时,122111aaaa 232221321111aaaaaa - a1313212321)()(0111aaaaaaaaa 3132121312)()(00111aaaaaaaaaa - ()(aaaaaaaaaa3132121312)()(00111aaaaaaaaaa 32131211)( )(aaaaaa)( )(231312aaaaaa3132121312)()(aaaaaaaaa

54、ann = 2 时时,nn = 3 时时,122111aaaa2V232221321111aaaaaa3V)( )(231312aaaaaa 范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式?1111V1-nn1-n31-n21-n12n232221n321n aaaaaaaaaaaa定理定理: 对对 n 1, 有有)()()()()( )(1nn2n231n1312nV aaaaaaaaaaaa n1kllkaa)(n证明证明: 对对 n 应用数学归纳法应用数学归纳法. 当当 n = 2, 3 时时, 上述公式成立上述公式成立; 假设以上公式对假设以上公式对 n - 1 阶成立阶成立, 我

55、们来证明我们来证明 n 阶的情况阶的情况 n1nVkllkaa)(1-nn1-n31-n21-n12-nn2-n32-n22-n1n321n1111Vaaaaaaaaaaaa - a12-nn1n2-n2122-nn2-n22-n13-nn3-n23-n1n21)()(0111aaaaaaaaaaaaaaa - a12-nn1n2-n2123-nn1n3-n2123-nn3-n23-n1n21)()(0)()(0111aaaaaaaaaaaaaaaaaa 2-nn1n2-n2123-nn1n3-n2124-nn1n4-n212n21)()(0)()(0)()(0111aaaaaaaaaaaaa

56、aaaaaaaa - a12-nn1n2-n2123-nn1n3-n2124-nn1n4-n2121n12)()(0)()(0)()(00111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 由归纳假设由归纳假设, 公式对公式对 n 1 阶行列式成立阶行列式成立)()(1n1312nVaaaaaa 2-nn2-n32-n2n32111aaaaaa 由归纳假设由归纳假设, 公式对公式对 n-1 阶行列式成立阶行列式成立)()(1n1312nVaaaaaa )()()(1-nn2n23aaaaaa 由数学归纳法由数学归纳法, 对一切正整数对一切正整数 n, 有有)()()(1-nn2n23aaaaa

57、a )()(1n1312nVaaaaaa 作业：作业： 2.4 8, 12(2) 2.5 3, 7 2.6 3, 4(2)1-nn1-n31-n21-n12n232221n321n1111Vaaaaaaaaaaaa n1kllkaa)(互异互异推论：推论：n21nVaaa,0 例：求例：求233323222222211121bbaabbaabbaa233323222222211121bbaabbaabbaa:0321 aaa先假定先假定233332222221111232221111 ababababababaaa 223311331122232221ababababababaaa233323

58、222222211121bbaabbaabbaa0321 aaa先假定先假定233332222221111232221111 ababababababaaa)( )( )(233213311221babababababa 233323222222211121bbaabbaabbaa0321 aaa先假定先假定233332222221111232221111 ababababababaaa332233112211babababababa nn2n1nni2i1in11211aaaaaaaaanini2i2i1i1iAAAaaa| A定理定理: 行列式等于它第行列式等于它第 i 行元素与各自行元素

59、与各自 代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和 , 即即nini2i2i1i1iAAAAaaa 一行一行元素与元素与另一行另一行元素元素 代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和nnn2n1nkk2k1nii2i11n1211aaaaaaaaaaaa?AAAnkni2k2i1k1 i aaa元素元素行行第第i余子式余子式行代数行代数第第k Annn2n1nii2i1nii2i11n1211aaaaaaaaaaaankni2k2i1k1 iAAAaaa 改为改为行行第第k 0代数余子式代数余子式原行列式的原行列式的0定理定理: 行列式第行列式第 i 行元素与第行元素与第 k 行行 ( k i

60、) 代数余子式乘积之和等于零代数余子式乘积之和等于零, 即即0AAAnkni2k2i1k1 i aaa0Ajkn1jj i ankni2k2i1k1iAAAaaa ki0kiAAjkn1jj iaknjnk2j2k1j1AAAaaa kj0kjAAn1ikij ia例例: 求求3433312A4AA A6070589752432481改为改为行行3 3第第例例: 求求60702401524324813433312A4AA A改为改为行行3 3第第343331A2A4A 代数余子式代数余子式的的|A|607024015243008060702401524324813433312A4AA60024