材料力学超静定(2)

1、1 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C处受扭转力偶处受扭转力偶矩矩Me作用，如图作用，如图a所示。已知杆的扭转刚度为所示。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆。试求杆两端的反力偶矩以及两端的反力偶矩以及C截面的扭转角。截面的扭转角。例题例题 6-56-3 扭转超静定问题扭转超静定问题pGITl dxGIxTlp)( 21. 有二个未知的反力偶矩有二个未知的反力偶矩MA， MB，但只有一个独立的，但只有一个独立的静力平衡方程静力平衡方程故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。 0 0eBAxMMMM，(b)MAMB例题例题 6-5解：解：3 2. 以固定端以固定端B为

2、为“多余多余”约束，反力偶矩约束，反力偶矩MB为为“多余多余”未知力。在基本静定系上加上荷载未知力。在基本静定系上加上荷载Me和和“多余多余”未知力偶未知力偶矩矩MB(如图如图c)；它应满足的位移相容条件为；它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角截面的扭转角 B=0，利用叠加法可得，利用叠加法可得BBMBM e(c)例题例题 6-54可由平衡方程求得为可由平衡方程求得为3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程求得求得ppeGIlMGIaMB eeeelbMlaMMMMMBA elaMMB 例题例题 6-554. 杆的杆的AC段横截面上的扭矩为段横截

3、面上的扭矩为lbMMMMTABACee (c)例题例题 6-5从而有从而有 peplGIabMGIaTACC 6 图图a所示组合杆，由半径为所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为的实心铜杆和外半径为rb，内半径为，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩钢杆横截面上的扭矩Ta和和Tb，并绘出它们横截面上切应，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。力沿半径的变化情况。例题例题 6-671. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为实

4、心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和和Tb(图图b)，但只有一个独立平衡方程但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。例题例题 6-6解：解：TbTaMe82. 位移相容条件为位移相容条件为实心杆和空心杆的实心杆和空心杆的B截面相对于截面相对于A截面截面的扭转角相等的扭转角相等。在图。在图b中都用中都用 表示（设表示（设A端固定）。端固定）。)2(BbBa 例题例题 6-6TbTaMe93. 利用物理关系由利用物理关系由(2)式得补充方程为式得补充方程为)3( ppppbbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlT ，即，即例题例题

5、 6-6TbTaMe104. 联立求解联立求解(1)式和式和(3)式得：式得：)4(epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa ，例题例题 6-6TbTaMe115. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为实心铜杆横截面上任意点的切应力为 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心钢杆横截面上任意点的空心钢杆横截面上任意点的切应力为切应力为abrrbbebpbapabpbT G M =IG I+G I切应力沿半径的变化情况切应力沿半径的变化情况如图如图c所示。所示。ara arb rarb(c)例题例题 6-6 由图由图c可见，在可见，在 = ra处，处，

6、 a b，这是因为这是因为 Ga D DC D DA的情况进行分的情况进行分析。此时，支座析。此时，支座B相对于支座相对于支座A 、C 沉陷后的点沉陷后的点A1 、C1 的的连线有位移连线有位移33于是，如以支座于是，如以支座B1作为作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力FB为为“多多余余”未知力，则作为基本静定系的简支梁未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图参见图b)在在荷载荷载 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共同作用下应满足的位移相容共同作用下应满足的位移相容条件就是条件就是210CABBBBw 34于是得补充方程于是得补充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIl

7、FEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按叠加原理有按叠加原理有( (参见图参见图c、d):):35再由静力平衡方程可得再由静力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF36(2) 梁的上梁的上,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装就位，安装就位，其后，由于梁的其后，由于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底，底面温度升高至面温度升高至 t2，且且 t2t1，从而产生，从而产生约束力约束力如

8、图中所示。如图中所示。 由于未知的由于未知的约束力约束力有有6个，而独立的平衡方程只有个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。个，故为三次超静定问题。l37 现将右边的固定端现将右边的固定端B处的处的3个约束作为个约束作为“多余多余”约束，约束，则解除则解除“多余多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上它在上, ,下表面有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差的情况下，右端产生转角 Bt和挠度和挠度wBt( (见图见图c) )以及轴向位移以及轴向位移D DBt。38 如果忽略如果忽略“多余多余”未知力未知力FBx对挠度和转角的影响，则对

9、挠度和转角的影响，则由上由上,下表面温差和下表面温差和“多余多余”未知力共同引起的位移符合下未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：统：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 39式中一些符号的意义见图式中一些符号的意义见图c、d、e。0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 40 现在先来求现在先来求 Bt和和wBt与梁的上与梁的上, ,下表面温差下表面温差( (t2- - t1) )之之间的物理关系。间的物理关系。 从上面所示的图

10、从上面所示的图a中取出的微段中取出的微段dx, 当其下表面和上当其下表面和上表面的温度由表面的温度由t0分别升高至分别升高至t2和和t1时，右侧截面相对于左侧时，右侧截面相对于左侧截面的转角截面的转角d 由图由图b可知为可知为 xhtthmmnnhnnldd120 上式中的负号用以表示图上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角所示坐标系中该转角 d 为负。为负。41将此式积分，并利用边界条件将此式积分，并利用边界条件0| 0|dd|000 xxxwxw， 得得 212122 xhttwxhttll ，根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠

11、曲线微分方程为方程为 httxxwl1222dddd 42从而有从而有 hlttwwhlttllxBtllxBt2| |21212 ，至于温差引起轴向位移至于温差引起轴向位移D DBt则为则为ltttlBt 0212 43 位移相容条件表达式中由位移相容条件表达式中由“多余多余”未知力引起的位移未知力引起的位移所对应的物理关系显然为所对应的物理关系显然为 33EIlFwByBFBy 22EIlFByBFBy EAlFBxBFBx EIlMwBBMB22 EIlMBBMB 44EAlFBxBFBx 33EIlFwByBFBy 22EIlFByBFBy EIlMwBBMB22 EIlMBBMB 1

12、2hlttlBt ltttlBt 0212 hlttwlBt2212 0 BByBMBFBtBwwww0 BByBMBFBtB 0 BxBFBtBx位移相容条件位移相容条件已得出的物理关系已得出的物理关系45 将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得即可解得 02021 BylBxFtttEAF， 12httEIMlB 46练习（练习（1）图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承）图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩受外力偶矩 。若。若 ，试求固定端的支反力偶矩，试求固定端的支反力偶矩 和和 ，并作扭矩图。，并作

13、扭矩图。eM212dd AMBM47解：把解：把B支座去掉，代之以约束反力偶支座去掉，代之以约束反力偶 ，其矩为其矩为 转向为逆时针方向，则转向为逆时针方向，则BMBBCMTeBCAMMT变形协调条件：变形协调条件：A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：为两固定端支座，不允许其发生转动，故：0CBACABBeBP1P2(M - M )aM 2a+= 0GIGIBeBP1P2M - M2M+= 0II48式中，式中，241414111632116)2(321321PPIdddI故：故：021622PBPeBIMIMM0216BeBMMM33eBMM333233eeeAMMMM（顺时针方向转动）（顺时针方向转动）4933eBCBMTM3233eCABeMTMM AB轴的轴力图如下：轴的轴力图如下：a3axy3233eM33eM50练习（练习（2）荷载）荷载F作用在梁作用在梁AB及及CD的连接处，试求每根梁在连的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为：接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为： 和和 。2321ll5421EIEI51解：把连接梁解：把连接梁AB与梁与梁CD的垫块去掉，代之以约束反力的垫块去掉，代之以约束反力 （） （）。显然，它们是一对作用力反作用力）。显然，它们是一对作用力反作用力 。BRCRCBRR查附录查附录IV得：得：AB