2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学丙卷

1、绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 设集合a=0,2,4,6,8,10,b=4,8,则ab=(a)4,8(b)0,2,6(c

2、)0,2,6,10(d)0,2,4,6,8,10(2) 若z=4+3i,则z|z|=(a)1(b)-1(c)45+35i(d)45-35i(3) 已知向量ba=(12,32),bc=(32,12),则abc=(a)30°(b)45°(c)60°(d)120°(4) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中a点表示十月的平均最高气温约为15,b点表示四月的平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是(a)各月的平均最低气温都在0以上(b)七月的平均温差比一月的平均温差大(c)三月和十一月的平均最高气温基本相同

3、(d)平均最高气温高于20的月份有5个(5) 小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是m,i,n中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(a)815(b)18(c)115(d)130(6) 若tan=-13,则cos2=(a)-45(b)-15(c)15(d)45(7) 已知a=243,b=323,c=2513,则(a)b<a<c(b)a<b<c(c)b<c<a(d)c<a<b(8) 执行右面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=(a)3(b)4(c)5(d)6(9

4、) 在abc中,b=4,bc边上的高等于13bc,则sina=(a)310(b)1010(c)55(d)31010(10) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(a)18+365(b)54+185(c)90(d)81(11) 在封闭的直三棱柱abc-a1b1c1内有一个体积为v的球.若abbc,ab=6,bc=8,aa1=3,则v的最大值是(a)4(b)92(c)6(d)323(12) 已知o为坐标原点,f是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,a,b分别为c的左、右顶点,p为c上一点,且pfx轴.过点a的直线l与线

5、段pf交于点m,与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点,则c的离心率为(a)13(b)12(c)23(d)34第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2224题为选考题。考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) 设x,y满足约束条件2x-y+10,x-2y-10,x1,则z=2x+3y-5的最小值为. (14) 函数y=sinx-3cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移个单位长度得到. (15) 已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于a,b两点,过a,b分别作l的垂线与x轴交于

6、c,d两点,则|cd|=. (16) 已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.()求a2,a3;()求an的通项公式.(18) (本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.()由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以

7、说明;()建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:i=17yi=9.32,i=17tiyi=40.17,i=17(yi-y)2=0.55,72.646.参考公式:相关系数r=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2,回归方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-bt.(19) (本小题满分12分)如图,四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,adbc,ab=ad=ac=3,pa=bc=4,m为线段ad上一点,am=2md

8、,n为pc的中点.()证明mn平面pab;()求四面体n-bcm的体积.(20) (本小题满分12分)已知抛物线c:y2=2x的焦点为f,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交c于a,b两点,交c的准线于p,q两点.()若f在线段ab上,r是pq的中点,证明arfq;()若pqf的面积是abf的面积的两倍,求ab中点的轨迹方程.(21) (本小题满分12分)设函数f(x)=lnx-x+1.()讨论f(x)的单调性;()证明当x(1,+)时,1<x-1lnx<x;()设c>1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)x>cx.请考生在第2224题中任选一题作答,如果多做,则按所

9、做的第一题计分。(22) (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,o中ab的中点为p,弦pc,pd分别交ab于e,f两点.()若pfb=2pcd,求pcd的大小;()若ec的垂直平分线与fd的垂直平分线交于点g,证明ogcd.(23) (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=3cos,y=sin,(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为sin(+4)=22.()写出c1的普通方程和c2的直角坐标方程;()设点p在c1上,点q在c2上,求|pq|的最小值及此时p的直角坐标.(24) (本小

10、题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.()当a=2时,求不等式f(x)6的解集;()设函数g(x)=|2x-1|.当xr时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.试卷全解全析全国丙卷文科(1)c根据补集的定义,知从集合a=0,2,4,6,8,10中去掉集合b中的元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为ab,即ab=0,2,6,10,故选c.(2)d因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=42+32=5,共轭复数为z=4-3i.故z|z|=45-35i,选d.(3)a因为ba=12,32,bc=32,12,所以ba·bc=3

11、4+34=32.又因为ba·bc=|ba|·|bc|cosabc=1×1×cosabc=cosabc,所以cosabc=32,即abc=30°.故选a.(4)d由题图可知,0 在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0 以上,a正确;易知b,c正确;平均最高气温高于20 的月份有3个,分别为六月、七月、八月,d错误.故选d.(5)c密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115.故选c.(6)d(方法1)cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-1321+-13

12、2=45.故选d.(方法2)tan =-13,sincos=-13,即3sin =-cos .两边平方得9sin2=cos2,即9×1-cos22=1+cos22,解得cos 2=45.(7)a因为a=243=423,c=2513=523,b=323,且函数y=x23在0,+)内是增函数,所以323<423<523,即b<a<c.故选a.(8)b开始a=4,b=6,n=0,s=0,执行循环,第一次:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;第二次:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;第三次:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次:a=-2,b=

13、6,a=4,s=20,n=4;此时满足判断条件s>16,退出循环,输出n=4.故选b.(9)d(方法1)记角a,b,c的对边分别为a,b,c,则由题意得,sabc=12a·13a=12acsin b,c=23a.由正弦定理,得sin c=23sin a.c=34-a,sin c=sin34-a=23sin a,即22cos a+22sin a=23sin a,整理得sin a=-3cos a.sin2a+cos2a=1,sin2a+19sin2a=1,即sin2a=910,解得sin a=31010(排除负值).故选d.(方法2)记角a,b,c的对边分别为a,b,c,则由题意得

14、sabc=12a·a3=12acsin b,c=23a.b2=a2+23a2-2a·2a3·22=5a29,即b=5a3.由正弦定理asina=bsinb得,sin a=asinbb=a×225a3=31010.故选d.(10)b由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为35,所以所求表面积为(3×3+3×6+3×35)×2=54+185,故选b.(11)b由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为r,易得abc的内切球的半径为6+8-102=2,则r2.因为2r

15、3,即r32,所以vmax=43×323=92,故选b.(12)a由题意知,a(-a,0),b(a,0),根据对称性,不妨令p-c,b2a,设l:x=my-a,m-c,a-cm,e0,am.直线bm:y=-a-cm(a+c)(x-a).又直线bm经过oe的中点,(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c.e=ca=13,故选a.(13)-10满足已知条件的可行域为如图所示的阴影部分,其中a(1,0),b(-1,-1),c(1,3).z=2x+3y-5,y=-2x3+5+z3.作直线y=-23x,并在可行域内移动,当直线经过点b时,直线在y轴上的截距最小,即z最小.故zmin=2&

16、#215;(-1)+3×(-1)-5=-10.(14)3因为y=sin x-3cos x=2sinx-3,所以函数y=sin x-3cos x的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移3个单位长度得到.(15)4由题意得直线l的倾斜角为6,坐标原点o到直线l的距离为|6|1+(-3)2=3.设直线l与x轴交于点e,结合题意知b(0,23),e(-6,0),则|be|=62+(23)2=43.因为|ab|=212-32=23,所以a为eb的中点.由题意知acbd,所以c为de的中点,即|ce|=|cd|=|ae|cos6=|ab|cos6=2332=4.(16)y=2x当x>

17、;0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.因为f'(x)=ex-1+1,所以f'(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.(17)解 ()由题意得a2=12,a3=14.5分()(等比数列的定义、通项公式)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以an+1an=12.故an是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.12分(18)解 ()由折线图中数据和附注中参考数据得t=4,i=17(ti-t)2=2

18、8,i=17(yi-y)2=0.55,i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-t i=17yi=40.17-4×9.32=2.89.r2.890.55×2×2.6460.99.4分因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.6分()由y=9.3271.331及()得b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=2.89280.103,a=y-b t1.331-0.103×40.92.所以,y关于t的回归方程为:y=0.92+0.10t.10分将2016年对应的t=9

19、代入回归方程得:y=0.92+0.10×9=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.12分(19)解 ()由已知得am=23ad=2.取bp的中点t,连接at,tn,由n为pc中点知tnbc,tn=12bc=2.3分又adbc,故tn􀱀am,四边形amnt为平行四边形,于是mnat.因为at平面pab,mn平面pab,所以mn平面pab.6分()因为pa平面abcd,n为pc的中点,所以n到平面abcd的距离为12pa.9分取bc的中点e,连结ae.由ab=ac=3得aebc,ae=ab2-be2=5.由ambc得m到bc的距离为5,

20、故sbcm=12×4×5=25.所以四面体n-bcm的体积vn-bcm=13×sbcm×pa2=453.12分(20)解 由题设知f12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且aa22,a,bb22,b,p-12,a,q-12,b,r-12,a+b2.记过a,b两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.3分()由于f在线段ab上,故1+ab=0.记ar的斜率为k1,fq的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以arfq.5分()设l与x轴的交点为d(x1,0),则sabf=12|b-a

21、|fd|=12|b-a|x1-12,spqf=|a-b|2.由题设可得12|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的ab的中点为e(x,y).(分类讨论)当ab与x轴不垂直时,由kab=kde可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当ab与x轴垂直时,e与d重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.12分(21)解 ()(导数与函数的单调性)由题设,f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=1x-1,令f'(x)=0解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x&

22、gt;1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.4分()由()知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x1时,ln x<x-1.故当x(1,+)时,ln x<x-1,ln1x<1x-1,即1<x-1lnx<x.7分()由题设c>1,(构造函数)设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxln c,令g'(x)=0,解得x0=lnc-1lnclnc.当x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.9分由()知1<c-1lnc<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<