2016年专项练习题集-圆锥曲线中的探所性问题

1、2016 年专项练习题集-圆锥曲线中的探所性问题选择题1、已知椭圆e的中心在原点，一个焦点为f（2， 0） ，定点 a（ 2，1）在 e的内部，若椭圆 e 上存在一点p 使得 |pa|+|pf|=7，则椭圆e 的方程可以是（）a+=1 b+=1 c+=1 d22195xy【分值】 5 【答案】 d 【考查方向】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题【易错点】不能结合椭圆定义和三角形边的关系确定a 的 x 围。【解题思路】通过记椭圆的左焦点为f1（ 2，0） ，则 |af1|=1 ，利用 |pf1| |pa|+|af1|可知 a 4；利用 |pf

2、1| |pa|af1|可知 a 3，进而可得结论【解析】记椭圆的左焦点为f1（ 2， 0） ，则 |af1|=1 ， |pf1| |pa|+|af1|， 2a=|pf1|+|pf| |pa|+|af1|+|pf| 1+7=8 ，即 a 4； |pf1| |pa|af1|， 2a=|pf1|+|pf| |pa|af1|+|pf| 71=6 ，即 a 3， 9a2 16 ，故选： d2、椭圆=1 （ab 0）的两个焦点为12ff、，焦距为2c，若椭圆上存在点p 满足3opc,o 坐标原点，则此椭圆离心率的取值x 围是（）a， b（ 0， c，1）d， 【分值】 5 【答案】 a 【考查方向】本题考

3、查了椭圆的标准方程与其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【易错点】找不到与a、b、c有关的不等式。【解题思路】设p（x0， y0） ，3opc化为又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出【解析】设p（x0，y0） ，3opc，22003xyc又，=，b2=a2c2，故选： a3、能够把椭圆2212xy的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（）af（x） =1xbf（x）=sin xcf（x）=1xxdf（x）=22xx【分值】 5 【答案】 d 【考查方向】本题考查椭圆的简单性质、函数的奇偶性、单调性，考查学生对

4、新问题的分析理解能力与解决能力，属中档题【易错点】不能将“可分函数”转化为关于原点对称的函数，即奇函数。【解题思路】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可【解析】f （x）=1x是奇函数， f （ x）=1x的图象关于原点对称， f （ x）=1x是椭圆的“可分函数”；同理f （x） =sin x、f（x）=1xx是奇函数， f （ x）=sin x、 f（x）=1xx的图象关于原点对称， f （ x）=sin x、 f（x）=1xx也是椭圆的“可分函数”； f （ x）=22xx不是奇函数， f （ x）=22xx的图象关于原点不对称， f （ x）=22xx不是椭

5、圆的“可分函数”故选： d4、已知抛物线c：y2=px （p 0） ，直线 l 与抛物线c 交于 a，b 两点（不同于原点） ，若oaob，坐标原点，则关于直线l 的判断正确的是（）a过定点（ 4p ，0） b过定点（ 2p ，0）c过定点（ p， 0）d过抛物线焦点【分值】 5 【答案】【考查方向】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，属于中档题【易错点】不能正确的选择直线方程形式去设。【解题思路】设直线l：x=my+b，a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，代入抛物线方程，运用韦达定理，oaob，求出 b，即可得出结

6、论【解析】设直线l：x=my+b，a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，代入抛物线方程y2=px ，可得 y2pmy pb=0 ，y1y2= pb ，x1x2=2122()y yp=b2，oaob，x1x2+y1y2=0 ，b2pb=0 ， b=p直线 l 过定点（ p，0） 故选：、 p 为椭圆+=1 （a b 0）上异于左右顶点a1，a2的任意一点，则直线pa1与pa2的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：p 为双曲线=1 （ a0，b0）上异于左右顶点a1， a2的任意一点，则（）a直线 pa1与 pa2的斜率之和为定值b直线 pa1与 pa2的斜率之积为定值c直线

7、pa1与 pa2的斜率之和为定值d直线 pa1与 pa2的斜率之积为定值【分值】 5 【答案】 d 【考查方向】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题【易错点】容易忽视p 点在双曲线上，它的横纵坐标之间满足关系【解题思路】由已知椭圆的性质类比可得直线pa1 与 pa2 的斜率之积为定值然后加以证明即可【解析】设p（x0，y0）为双曲线=1 （a0，b0）上异于左右顶点a1，a2的任意一点，则 a1（ a，0） ，a2（a， 0） ，=，又 p（ x0，y0）在双曲线=1 上，=，直线 pa1与 pa2的斜率之积为定值故选： d填空题6、已知直线y=11 x与椭圆 c：

8、+=1 （ab0）相交于a、b 两点，若椭圆上存在点 p，使得abp是等边三角形，则椭圆c 的离心率e= 【分值】 3 【答案】【考查方向】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的对称性和等边三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题【易错点】忽视直线op 与直线 ab 垂直。【解题思路】联立直线y=x 和椭圆方程，求得a，b 的坐标，以与|oa|2，将直线op方程为，代入椭圆方程，求得p 的坐标与 |op|2，再由 |op|2=3|oa|2，结合离心率公式，可得e【解析】因为，所以；由题设直线op 方程为，所以，所以，所以故答案为：7、以下四个关于圆锥曲线的命题中：设 a，b 为两个

9、定点， k 为正常数， |+|=k （kab） ，则动点p 的轨迹为椭圆；双曲线=1 与椭圆 x2+=1 有相同的焦点；方程 x23x+2=0的两根可分别作为抛物线和双曲线的离心率；已知以 f 为焦点的抛物线y2=4x 上的两点a， b 满足=3，则弦 ab 的中点 p 到准线的距离为3其中真命题的序号为【分值】 3 【答案】【易错点】这种组合题需要逐个判断，错一个就容易使整个题错。【考查方向】本题考查命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义、方程与简单性质，属中档题【解题思路】由题意定义判断；由圆锥曲线的标准方程判断焦点所在坐标轴判断；求解方程判断；利用直线与抛物线的位置关系判断【解析】对

10、于，当k|ab| 时，动点 p 的轨迹为线段ab，故正确；对于，双曲线=1 的焦点在 x 轴上，而椭圆x2+=1 的焦点在y 轴上，故错误；对于，求解方程x23x+2=0，得， x2=2 ，方程 x23x+2=0的两根可分别作为抛物线和双曲线的离心率，故正确；对于，如图：设bf=m ，由抛物线的定义知，aa1=3m ，bb1=m ，abc中， ac=2m ，ab=4m ，直线 ab 方程为 y=（x1） ，与抛物线方程联立消y 得 3x210 x+3=0，ab 中点到准线距离为，故错误故答案为：8、已知平面上两点m （ 5，0）和 n （5，0） ，若直线上存在点p 使|pm| |pn|=6

11、，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中： y=x+1 y=2 y=4x y=2x+1是“单曲型直线”的是【分值】 3 【答案】【考查方向】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用【易错点】不能将条件转化为双曲线与直线是否有交点。【解题思路】由已知点p 在以 m 、n 为焦点的双曲线的右支上，即， （x0） 分别与中的直线联立方程组，根据方程组的解的性质判断该直线是否为“单曲型直线”解析：|pm| |pn|=6点p 在以 m 、n 为焦点的双曲线的右支上，即， （x0） 对于，联立，消 y 得 7x218x 153=0 ，=（18 ）2 4 7（153

12、 ） 0，y=x+1 是“单曲型直线”对于，联立，消 y 得 x2=454，y=2是“单曲型直线”对于，联立，整理得222163247x，成立4xy是“单曲型直线”对于，联立，消 y 得 20 x2+36x+153=0，=362 4 20 153 0 y=2x+1不是“单曲型直线”故符合题意的有故答案为：综合题 2 个9、已知椭圆c（）经过点 m（，），（，），过点p（2，1）的直线l 与椭圆 c 相交于不同的两点a，b（）求椭圆c 的方程；【分值】 5 【答案】【考查方向】本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习【易错点】容易将椭圆方程

13、设为标准式，加大计算量。【解题思路】设一般方程，带入点坐标解m 、n。【解析】（）设方程，因为过点m（，），（，），所以得，解得：，所以方程为（）是否存直线l，满足？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由【分值】 7 【答案】【考查方向】 本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习【易错点】 忽视判别式大于0，而将 k 的 x 围扩大，产生增解。【解题思路】假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k （x2）+1 ，然后与椭圆方程联立消去y 得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应大于0 得到 k 的 x 围，进而可得到两根之和、两

14、根之积的表达式，再表示出、，再代入关系式可确定 k 的值，从而得解【解析】（）若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y=k （x2） +1 ，由得（ 3+4k2） x28k （2k 1） x+16k2 16k 8=0 因为直线l 与椭圆 c 相交于不同的两点a，b，设 a，b 两点的坐标分别为（x1，y1） ，（x2，y2） ，所以= 8k （2k 1）2 4? （ 3+4k2） ?（ 16k216k 8） 0整理得 32（ 6k+3 ） 0解得又，且，即，所以即所以，解得所以于是存在直线l 满足条件，其的方程为10 、椭圆 c:22221(0)xyabab,它的一个焦点为(2 3

15、,0)，一个顶点恰好在抛物线x2=8y 的准线上（1）求椭圆c 的标准方程；【分值】 5 【答案】【考查方向】本题考查了椭圆的标准方程与其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题易错点：不能由 apq= bpq ，推理出 pa，pb 的斜率互为相互数。【解题思路】由椭圆的一个顶点恰好在抛物线28xy的准线 y=-2上，可得 -b=-2，解得b又2 3c联立解得即可【解析】椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y 的准线 y= 2 上，b= 2，解得 b=2 又2 3c，a2=b2+c2， a=4 ，可得椭圆 c 的标准方程为（2）点 p（2，） ，q（2，）在椭圆上，a，b 是椭圆上位于直线pq 两侧的动点当 a，b 运动时，满足apq= bpq，试问直线ab 的斜率是否为定值，请说明理由【分值】 5 【答案】【考查方向】本题考查了椭圆的标准方程与其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题【易错点】不能由apq= bpq ，推理出pa，pb 的斜率互为相互数。【解题思路】设a（x1，y1）， b（ x2，y2），由apq= bpq，则pa