2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)文

1、1 / 13 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷湖南卷) 数 学(文史卷) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5页,时量 120 分钟,满分 150分. 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5分,共 45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 湖南,文 1)复数 z=i (1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ). a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:b 解析:z=i(1+i)=i-1=-1+i,故选 b. 2.(2013 湖南,文 2)“1x2”是“x2”成立的(

2、 ). a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 解析:“1x2”能推出“x2”成立,但“x2”不能推出“1x8,故 a=3;a=3不满足 a8,故 a=5;a=5 不满足 a8,故 a=7;a=7不满足 a8,故 a=9,满足 a8,终止循环.输出 a=9. 13.(2013 湖南,文 13)若变量 x,y 满足约束条件x + 2y 8,0 x 4,0 y 3,则 x+y 的最大值为 . 答案:6 解析:画出可行域,令 z=x+y,易知 z 在 a(4,2)处取得最大值 6. 14.(2013 湖南,文 14)设 f1,f2是双曲线 c:x

3、2a2y2b2=1(a0,b0)的两个焦点.若在 c 上存在一点 p,使pf1pf2,且pf1f2=30 ,则 c 的离心率为 . 答案:3+1 解析:如图所示, pf1pf2,pf1f2=30 , 可得|pf2|=c. 由双曲线定义知, |pf1|=2a+c, 6 / 13 由|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2得 4c2=(2a+c)2+c2,即 2c2-4ac-4a2=0, 即 e2-2e-2=0, e=2232,e=1+3. 15.(2013 湖南,文 15)对于 e=a1,a2,a100的子集 x=ai1,ai2,aik,定义 x的“特征数列”为x1,x2,x100,其中xi1

4、= xi2=xik=1,其余项均为 0.例如:子集a2,a3的“特征数列”为 0,1,1,0,0,0. (1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前 3项和等于 ; (2)若 e 的子集 p 的“特征数列”p1,p2,p100满足 p1=1,pi+pi+1=1,1i99;e 的子集 q 的“特征数列”q1,q2,q100满足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1j98,则 pq 的元素个数为 . 答案:(1)2 (2)17 解析:(1)a1,a3,a5的特征数列为 1,0,1,0,1,0,0,前 3 项和为 2. (2)根据题意知,p的特征数列为 1,0,1,0,1,0, 则 p=a1,

5、a3,a5,a99有 50个元素,q 的特征数列为 1,0,0,1,0,0,1, 则 q=a1,a4,a7,a10,a100有 34 个元素, pq=a1,a7,a13,a97, 共有 1+97-16=17 个. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(2013 湖南,文 16)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=cos x cos(x-3). (1)求 f(23)的值; (2)求使 f(x)14成立的 x 的取值集合. 解:(1)f(23)=cos23cos3 =-cos3cos3 7 / 13 =-(12)2=-14. (2)

6、f(x)=cos xcos(x-3) =cos x(12x +32x) =12cos2x+32sin xcos x =14(1+cos 2x)+34sin 2x =12cos(2x-3) +14. f(x)14等价于12cos(2x-3) +1414, 即 cos(2x-3)0. 于是 2k+22x-32k+32,kz. 解得 k+512xk+1112,kz. 故使 f(x)14成立的 x 的取值集合为x|k +512 x k +1112,k. 17.(2013 湖南,文 17)(本小题满分 12 分)如图,在直棱柱 abc-a1b1c1中,bac=90 ,ab=ac=2,aa1=3,d是 b

7、c的中点,点 e在棱 bb1上运动. (1)证明:adc1e; (2)当异面直线 ac,c1e 所成的角为 60 时,求三棱锥 c1-a1b1e的体积. 8 / 13 (1)证明:因为 ab=ac,d是 bc 的中点, 所以 adbc. 又在直三棱柱 abc-a1b1c1中,bb1平面 abc,而 ad平面 abc,所以 adbb1. 由,得 ad平面 bb1c1c. 由点 e在棱 bb1上运动,得 c1e平面 bb1c1c,所以 adc1e. (2)解:因为 aca1c1,所以a1c1e 是异面直线 ac,c1e 所成的角,由题设,a1c1e=60 , 因为b1a1c1=bac=90 ,所以

8、 a1c1a1b1,又 aa1a1c1,从而 a1c1平面 a1abb1,于是 a1c1a1e. 故 c1e=1160=22, 又 b1c1=a1c12+ a1b12=2, 所以 b1e=c1e2-b1c12=2, 从而v三棱锥c1-a1b1e=13sa1b1e a1c1=1312 2 2 2 =23. 18.(2013 湖南,文 18)(本小题满分 12 分)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 x之间的关系如下表所示: x

9、 1 2 3 4 y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1米. (1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量; y 51 48 45 42 频数 4 9 / 13 (2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48 kg的概率. 解:(1)所种作物的总株数为 1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为 1的作物有 2株,“相近”作物株数为 2的作物有 4株,“相近”作物株数为 3的作物有 6株,“相近”作物株数为 4的作物有 3株.列表如下: y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 所种作物的平均年收获量为 51 2 + 48 4

10、 + 45 6 + 42 315 =102+192+270+12615=69015=46. (2)由(1)知, p(y=51)=215,p(y=48)=415. 故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为 48 kg的概率为 p(y48)=p(y=51)+p(y=48)=215+415=25. 19.(2013 湖南,文 19)(本小题满分 13 分)设 sn为数列an的前 n 项和,已知 a10,2an-a1=s1 sn,nn*. (1)求 a1,a2,并求数列an的通项公式; (2)求数列nan的前 n项和. 解:(1)令 n=1,得 2a1-a1=a12,即 a1=a12. 因为 a

11、10,所以 a1=1. 令 n=2,得 2a2-1=s2=1+a2. 解得 a2=2. 当 n2时,由 2an-1=sn,2an-1-1=sn-1两式相减得 2an-2an-1=an. 即 an=2an-1. 10 / 13 于是数列an是首项为 1,公比为 2的等比数列. 因此,an=2n-1. 所以数列an的通项公式为 an=2n-1. (2)由(1)知,nan=n2n-1. 记数列n2n-1的前 n 项和为 bn,于是 bn=1+2 2+3 22+n2n-1, 2bn=1 2+2 22+3 23+n2n. -得 -bn=1+2+22+2n-1-n2n =2n-1-n2n. 从而 bn=1

12、+(n-1)2n. 20.(2013 湖南,文 20)(本小题满分 13 分)已知 f1,f2分别是椭圆 e:x25+y2=1的左、右焦点,f1,f2关于直线 x+y-2=0的对称点是圆 c的一条直径的两个端点. (1)求圆 c的方程; (2)设过点 f2的直线 l被椭圆 e 和圆 c 所截得的弦长分别为 a,b,当 ab 最大时,求直线 l的方程. 解:(1)由题设知,f1,f2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆 c的半径为 2,圆心为原点 o关于直线 x+y-2=0 的对称点. 设圆心的坐标为(x0,y0),由y0 x0= 1,x02+y02-2 = 0解得x0= 2,y0= 2.

13、所以圆 c 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4. (2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+2,则圆心到直线 l的距离 d=|2m|1+m2. 所以 b=222-d2=41+m2. 由x = my + 2,x25+ y2= 1得(m2+5)y2+4my-1=0. 11 / 13 设 l与 e的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1+y2=-4mm2+5,y1y2=-1m2+5. 于是 a=(x1-x2)2+ (y1-y2)2 =(1 + m2)(y1-y2)2 =(1 + m2)(y1+ y2)2-4y1y2 =(1 + m2)16m2(m2+5)2+4m2+5

14、=25(m2+1)m2+5. 从而 ab=85m2+1m2+5=85m2+1(m2+1)+4 =85m2+1+4m2+1 852m2+14m2+1=25. 当且仅当m2+ 1 =4m2+1,即 m= 3时等号成立. 故当 m= 3时,ab最大,此时,直线 l的方程为 x=3y+2 或 x=-3y+2, 即 x-3y-2=0,或 x+3y-2=0. 21.(2013 湖南,文 21)(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=1-x1+x2ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 f(x1)=f(x2)(x1x2)时,x1+x20.(1)解:函数 f(x)的定义域为(-,+). f(x)=(1-x1+x2)ex+1-x1+x2ex 12 / 13 =x2-2x-1(1+x2)2+1-x1+x2ex =-x(x-1)2+2(1+x2)2ex. 当 x0;当 x0 时,f(x)0. 所以 f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+). (2)证明:当 x0,ex0, 故 f(x)0; 同理,当 x1时,f(x)0. 当 f(x1)=f(x2)(x1x2)时,不妨设 x1x2, 由(1)知 x1(-,0),x2(0,1). 下面证明:x(0,1),f(x)f(-x),即证 1-x1+x2ex1+x1+x2e-x. 此不等式