2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)文

1、1 / 13 天津文科天津文科 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120分钟.第卷 1至 2页,第卷 3至 5 页. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共 8 小题,每小题 5分,共 40分. 参考公式: 如果事件 a,b 互斥,那么 p(ab)=p(a)

2、+p(b). 棱柱的体积公式 v=sh. 其中 s 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. 球的体积公式 v=43r3. 其中 r表示球的半径. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 天津,文 1)已知集合 a=xr|x|2,b=xr|x1,则 ab=( ). a.(-,2 b.1,2 c.-2,2 d.-2,1 答案:d 2 / 13 解析:解不等式|x|2,得-2x2,即 a=x|-2x2,ab=x|-2x1,故选 d. 2.(2013 天津,文 2)设变量 x,y 满足约束条件3 + -6 0,-2 0,-3 0,则目标函数 z=y-2x的最

3、小值为( ). a.-7 b.-4 c.1 d.2 答案:a 解析:作约束条件3 + -6 0,-2 0,-3 0所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为 y=2x+z,z表示直线在 y 轴上的截距,截距越大 z 越大,作直线 l0:y=2x,平移 l0,当 l0过点 a(5,3)时,z 取最小值,且为-7,选 a. 3.(2013 天津,文 3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为( ). a.7 b.6 c.5 d.4 答案:d 3 / 13 解析:由程序框图可知,n=1时,s=-1;n=2 时,s=1;n=3时,s=-2;n=4时,s=22,输出 n 的值为 4,故

4、选 d. 4.(2013 天津,文 4)设 a,br,则“(a-b) a20”是“ab”的( ). a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 解析:因为 a20,而(a-b)a20,所以 a-b0,即 ab;由 ab,a20,得到(a-b)a20 可以为 0,所以“(a-b)a20”是“ab”的充分而不必要条件. 5.(2013 天津,文 5)已知过点 p(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a=( ). a.-12 b.1 c.2 d.12 答案:c 解析:由题意知点 p(2,2)在圆(x-

5、1)2+y2=5 上,设切线的斜率为 k,则 k2-02-1=-1,解得 k=-12,直线 ax-y+1=0的斜率为 a,其与切线垂直,所以-12a=-1,解得 a=2,故选 c. 6.(2013 天津,文 6)函数 f(x)=sin(2-4)在区间0,2上的最小值为( ). a.-1 b.-22 c.22 d.0 答案:b 解析:因为 x0,2,所以 2x-4 -4,34,当 2x-4=-4,即 x=0 时,f(x)取得最小值-22. 7.(2013 天津,文 7)已知函数 f(x)是定义在 r 上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.若实数 a 满足f(log2a)+f(log12a)2f

6、(1),则 a的取值范围是( ). a.1,2 b.(0,12 4 / 13 c.12,2 d.(0,2 答案:c 解析:因为 log12a=-log2a,所以 f(log2a)+f(log12a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)2f(1),即 f(log2a)f(1). 又因为 f(x)是定义在 r 上的偶函数,且在0,+)上递增, 所以|log2a|1,即-1log2a1, 解得12a2,故选 c. 8.(2013 天津,文 8)设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数 a,b满足 f(a)=0,g(b)

7、=0,则( ). a.g(a)0f(b) b.f(b)0g(a) c.0g(a)f(b) d.f(b)g(a)0 答案:a 解析:由 f(a)=ea+a-2=0 得 0a1. 由 g(b)=ln b+b2-3=0 得 1b2. 因为 g(a)=ln a+a2-30, 所以 f(b)0g(a),故选 a. 第卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30 分. 9.(2013 天津,文 9)i是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)= . 答案:5-5i 5 / 13 解析:(3+i)

8、(1-2i)=3-6i+i-2i2=5-5i. 10.(2013 天津,文 10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为92,则正方体的棱长为 . 答案:3 解析:由题意知 v球=43r3=92,r=32.设正方体的棱长为 a,则32=2r,a=3,所以正方体的棱长为3. 11.(2013 天津,文 11)已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线2222=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 . 答案:x2-23=1 解析:抛物线 y2=8x的准线为 x=-2,则双曲线的一个焦点为(-2,0),即 c=2,离心率 e=2,故 a=1,由a2+b2=c

9、2得 b2=3,所以双曲线的方程为 x2-23=1. 12.(2013 天津,文 12)在平行四边形 abcd中,ad=1,bad=60 ,e为 cd的中点.若 =1,则 ab的长为 . 答案:12 解析:取平面的一组基底 , ,则 = + , = + =-12 + , =( + )(-12 + )=-12| |2+12 +| |2=-12| |2+14| |+1=1,解方程得| |=12(舍去| |=0),所以线段 ab 的长为12. 6 / 13 13.(2013 天津,文 13)如图,在圆内接梯形 abcd中,abdc.过点 a作圆的切线与 cb的延长线交于点e.若 ab=ad=5,be

10、=4,则弦 bd 的长为 . 答案:152 解析:因为在圆内接梯形 abcd 中,abdc,所以 ad=bc,bad+bcd=180 ,abe=bcd. 所以bad+abe=180 . 又因为 ae为圆的切线, 所以 ae2=beec=49=36,故 ae=6. 在abe中,由余弦定理得 cosabe=2+b2-a22=18, cosbad=cos(180 -abe)=-cosabe=-18, 在abd中,bd2=ab2+ad2-2abadcosbad=2254,所以 bd=152. 14.(2013 天津,文 14)设 a+b=2,b0,则12|+|的最小值为 . 答案:34 解析:因为 a

11、+b=2, 所以+2=1,12|+|=+22|+|=4|+4|+|4|+24|=4|+1,当且仅当 b=2|a|时,等号成立. 当 a0 时,4|+1=54,故12|+|54; 7 / 13 当 ab0)的左焦点为 f,离心率为33,过点 f 且与 x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程; (2)设 a,b分别为椭圆的左、右顶点,过点 f且斜率为 k 的直线与椭圆交于 c,d两点.若 + =8,求 k 的值. 解:(1)设 f(-c,0),由=33,知 a=3c. 过点 f且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆方程有(-)22+22=1,解得 y=6b3, 于是2

12、6b3=433,解得 b=2, 又 a2-c2=b2,从而 a=3,c=1, 所以椭圆的方程为23+22=1. (2)设点 c(x1,y1),d(x2,y2),由 f(-1,0)得直线 cd的方程为 y=k(x+1), 由方程组 = ( + 1),23+22= 1消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 求解可得 x1+x2=-622+32,x1x2=32-62+32. 因为 a(-3,0),b(3,0), 所以 + =(x1+3,y1)(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)(3-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2 11 / 13 =6-2x1x2-2k2(x

13、1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 =6+22+122+32. 由已知得 6+22+122+32=8, 解得 k= 2. 19.(2013 天津,文 19)(本小题满分 14 分)已知首项为32的等比数列an的前 n项和为 sn(nn*),且-2s2,s3,4s4成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)证明 sn+1136(nn*). (1)解:设等比数列an的公比为 q,因为-2s2,s3,4s4成等差数列, 所以 s3+2s2=4s4-s3,即 s4-s3=s2-s4,可得 2a4=-a3,于是 q=43=-12. 又 a1=32,所

14、以等比数列an的通项公式为 an=32 (-12)-1=(-1)n-132. (2)证明:sn=1-(-12),sn+1=1-(-12)+11-(-12)= 2 +12(2+1),n 为奇数,2 +12(2-1),n 为偶数. 当 n为奇数时,sn+1随 n 的增大而减小,所以 sn+1s1+11=136. 当 n为偶数时,sn+1随 n 的增大而减小,所以 sn+1s2+12=2512. 故对于 nn*,有 sn+1136. 20.(2013 天津,文 20)(本小题满分 14 分)设 a-2,0,已知函数 f(x)=3-(a + 5)x,x 0,3-+322+ ax,x 0. (1)证明

15、f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增; 12 / 13 (2)设曲线 y=f(x)在点 pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且 x1x2x30.证明 x1+x2+x3-13. 证明:(1)设函数 f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-+32x2+ax(x0), f1(x)=3x2-(a+5),由 a-2,0,从而当-1x0 时,f1(x)=3x2-(a+5)3-a-50,所以函数 f1(x)在区间(-1,0内单调递减. f2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于 a-2,0,所以当 0 x1 时,f2(x)1 时,f2(x)0.即函数 f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增. 综合,及 f1(0)=f2(0),可知函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增. (2)由(1)知 f(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间(0,+36)内单调递减,在区间(+36, + )内单调递增. 因为曲线 y=f(x)在点 pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而 x1,x2,x3互不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3).不妨设 x10 x2x3,由 312-(a+5)=322-(a+