解直角三角形应用举例

1、【例】 某灯塔B在观测点A的北30°的方向，船 M在灯塔正东方向，且在观测点 的北60°东的方向距 A30海里，求若船 M在上午11点10分出发， 灯塔B处，求船的速度（精确到 0.1海里）.分析 只需延长MB，归结为解直角三角形问题来加以解决.解：延长Rt MCA 中，MB和正北的方向线相交于C,得乙ACB =90 .在有.CAM =60，所以AC-AM cos. CAM -30 cos60 -30 1 -15;2A下午1点40分时驶抵JtMC =AM sin60、303=15、3.2又，在Rt ABC 中，.ACB =90 ，所以BC 二 AC tan30 =153 =

2、 5、3 .3于是，有MB 二 MC -BC =15.3-5.3=10.3.据题意，船M行驶到B只用时2.5小时，所以，船的速度为10、3-4 3 - 4 1.736.9 （海里 /时）52答：这艘船的速度是 6.9海里/时.说明由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题；本例由于所给的已知角都是特殊角，所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来 解.如设BM =x （海里），证1 11BC AB BM x2 221AC AM =15,2于是，根据勾股定理，有x+- 十152 =302,I 2丿9 2x2 二 675,4由于x 0 ,所以得 下同.【例】某水坝的

3、断面是梯形，上宽 DC =6 （米），底角 A = 60，坡BC的坡比i =1:1.2，坝高为20米，求坝底的宽（精确到0.1米）.BD分析 分别解 Rt.lAED, Rt.lFBC .解：在Rt AED中,AE=DE cot60®=20汉迪=竺亦；3 3在Rt BFC中，有CF 1FB 1.2BF =20 1.2 =24,又，EF = DC，所以AB=20応+6+24 =30+11.53 痒 41.5 （米）答：坝底宽约为41.5米.【例3】在距山坡脚3B100米的测点A测山顶上高压输电铁塔顶端 M的仰角为28 36， 测底端N的仰角为34°42，求铁塔的高（精确到0.1

4、米，如图）.分析AABM 和AABN都是直角三角形，且/启BAN 二 28 36 ； BAM 二 34 42 .解：在Rt ABN中，有BN =AB tan 28 36 =100 0.5452 ： 54.52, 在Rt ABM中，有BM =AB tan 34 42=00 0.6924 ： 69.24,所以，铁塔的高度为MN 二 BM -BN ： 69.24 -54.52 =14.7214.7 （米）说明 应当注意， MAN不是视线和水平线的夹角，所以它既不是仰角， 也不是俯角.【例】某直升飞机在我迫击炮阵地M上方测得敌军雷达站 P的俯角为15°，在向点P的迎面沿仰角30。的方向飞行，

5、升高 100米后再测点P的俯角为30°，分别求原飞行高 度和点M到点P的水平距离（cot15 =23）.B分析 据题意，画出图形女口图，仰角.FAB=30,俯角.EBP =30FAP =15 , BH -1 0 0m).解Rt.lABG可得AG的长由于Rt BNP和Rt.lAMP都没有已知的边长所以都不能独 立解出，所以应列方程组求解解：在Rt ABG中，BG =100，所以AG=100cot30 =100 3，设AM =x, NP = y，于是分别在 Rt. ：AMP和Rt BNP中，有y +100=xcot15：y = (x +100)cot 30 °消去y,整理，得(

6、x 100) .3 100 3 =x(2.3)2x =200 3,二x=1003,把x =100 一 3代入，得y =(100 3 100) 3 =300 100 3，于是，有AM =100.3(m)PM 二 PN MN 二 PN AG= (300 100、3) 100、3= 300 200 3(m)答：我直升机的原飞行高度为100 3米，炮兵阵地 M到P的距离为(300 200 3)米.说明 在解题时，首先要准确画图，理解题意，确定可解的直角三角形.如果没有直接可解的三角形，不能用一元方程求解，则应考虑到方程组求解Rt BDC 中,BC 二 DC = sin 45、210、22AC BC10

7、-33典型例题五例 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线 BC和地面成45。角求两根拉线的总长度（结果用带根号的 数的形式表示）分析：分别在两个直角三角形 ADC和BDC中，利用正弦函数 的定义，求出AC和BC。解 在Rt. ADC中，AC DC'工1.在si n60<33说明：本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握。典型例题六例 为响应哈尔滨市人民政府“形象胜于生命”的号召，在甲建 筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣传条幅（如图），在乙建筑物的 顶部D点测得条幅顶端 A点的仰角为45。

8、，测得条幅度端 E点的俯角 为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离 BC （答案可带根号）分析解决测量问题：一方面要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术词；另一方面要分清谁是测量者与被测量者本考题可过点D作DF _ AE ,垂足为F ,这时仰角.ADF =45 ,从而有AF =DF,又 EF =DF tan. FDE - DF，由 AE EF =30,有 DF - DF =30,解岀 DF =4015.3（m）.33这便是甲、乙两建筑物之间的水平距离（解答略）。典型例题七例 一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60

9、76;, 40分钟后，渔船行至 B处，此时看见小岛 C在船的北偏东30°已知以小岛 C为 中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?分析 要考虑渔船从B处继续向东航行，有没有触礁的危险，关键的一点看BD是否通 过以岛C为圆心，10海里长为半径的危险区域内 可先过C作AB的垂线CD，交AB的延长线于点 D，如图所示，然后考察 CD的长与 半径10海里哪一个大.事实上，依题意，可算出 AB = 10,若设BD = x,在Rt ：ADC和RtCDB中，以CD为等量关系建立方程：（20 x）tan30x tan60 ,解得x

10、= 10.CD = 10ta n60 = 10： 3.10.310r这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域说明：本题考查解直角三角形的应用，解题关键是作垂线构造直角三角形，易错点是弄不清题意造成错解.典型例题八例（石家庄市,2000）如图，一条土埂的横断面是等腰梯形ABCD , AB、DC的坡度为1 : 1.4,上底AD的宽为29.3dm,现在土埂的中间挖出一条横断面MGHN仍为等腰梯形的渠道（图中（三），并把挖出来的土真在土埂两旁（如图中（一）（二）全等的两部分EAMF和PNDQ ）,加高、加宽渠道，且渠的坡度也是1 : 1.4,要求渠道下底面宽 GH为4dm，挖成后渠道的两侧上沿宽 EF

11、和PQ均为3.35dm，渠道的总深度为 5dm.请你设计：在动工时，开始下挖的M点和N点应在土埂上底 AD的什么位置？从上底应向下挖的深度为多少 dm ?（可以用：.91809 =303）1解 依题意： 梯形FGHP的面积=梯形 PNDQ2的面积，设下挖深度为 xdm，则14 4 4 1.4xx 二2 2 22整理化简得：14x2 -387x+1035 = 0,387 土3872 -4"4灯035387_ . 9180928387 _ 30328 .X! =3,或X2 =24?（不合题意，舍去）即下挖深度为3dm.说明：本题考查坡度的应用，解题关键是依题意列出方程.易错点是弄不清题意

12、，列错或列不出方程.典型例题九例 如图，一勘测人员从 B点出发，沿坡角为150的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了 12分钟，然后沿坡角为 200的坡面以3千米/时的速度到达山顶 A点，用了 10分钟求山高（即AC的长度）及A、B两点的水平距离（即BC的长度）（精确到0.01千米）.（s in 15°=0.2588, cos150 =0.9659,si n 20° = 0.3420, cos20° = 0.9397 ）BD =51.6010过D点作DF _ BC于F .AD V =0.5.60在 Rt BFD 和 Rt DEA，AC =AE EC =AE DF

13、=AD sin 20° BD sin15°= 0.5 0.3420 1 0.2588= 0.43 （千米）；BC 二 BF FC BF DE=BD cos150 AD cos200=1 0.96590.5 0.93971.44（千米）.答：山高约为0.43千米，山脚B到山顶的水平距离约为1.44千米.典型例题十例 如图，客轮沿折线 A B C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出 发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮 两船同时起航，并同时到达折线 A B C上的某点E处已知AB =BC =200海里，.ABC =90°，客轮速度是货轮速度的 2倍.（1）

14、选择：两船相遇之处在（）.（A）线段AB上（B ）线段BC上（C）可以在线段 AB上，也可以在线段 BC上（结果保留根号）（2002年南京市中考（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里? 试题）200 ,200+3解：（1） B.（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里.过 D 作 DF _ CB，垂足为 F，连结 DE .则 DE = x, AB BE = 2x -在等腰直角三角形 ABC中， AB =BC =200, D 是 AC 中点, DF =100, EF =300 -2x.在 Rt DEF 中,DE2=DFEFx2 -1002 (300 -2x)2.解之，得x=200 一叱3

15、100.63DE-200 -100、. 6答：货轮从出发到两船相遇共航行了（200 - 100 . 6）海里.3典型例题十一例（辽宁省试题，2002）如图，在小山的东侧 A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为 30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点 B的俯角是15°，求热气球升空点 A与着火点 B 的距离。（结果保留根号，参考数据：&宀 T6 + /2厂宀sin15,cos15,ta n15 =2-、.3,cot15 = 23）4 4解：由解可知 AD =（30 5） 28

16、=980过D作DH _ BA于H3在 Rt . DAH 中，DH 二 AD sin60 =980490.321AH =AD cos 60 =9804902在 Rt ：DBH 中，BH =DH cot15 =490、3 （23） =1470 980. 3 BA = BH -AH =（1470 980、3）-490=980（1、3）（米）答：热气球升空点 A与着火点B的距离为980（13）米。典型例题十二例（吉林省试题，2002）如图，一勘测人员从 B点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的 速度行至D点，用了 12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶 A

17、点, 用了 10分钟，求山高（即 AC的长度）及A、B两点的水平距离（即 BC的长度）（精确到 0.01千米）。（si n15、0.2588 , cos15 -0.9659 , si n20、0.3420, cos20 -0.9397 ）ABD =5 121, AD =3 10 =0.5.60 60在 RtBFD、Rt=DEA 中，AC 二 AE EC 二 AE DF 二 AD sin 20 BD sin 1575 0.3 42 01 0.2 58 8 :0.43 （千米）BC =BF FC =BF DE=BD cos15 AD cos20=1 0.96590.5 0.9397 “1.44 （

18、千米）答：山高约为0.43米，山脚B到山顶的水平距离约为 1.44千米。 说明：解答过程“写成“=”及答中不写“约”字均不扣分。填空题1 如图，在坡角:为30°的山顶C上有一座电视塔，在山脚A处测得电视塔顶部 B的仰角为45°，斜坡AC的长为400m，则电视塔BC的高为m.已知测角仪器高AD2. 如图，在离铁塔150m的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°,=1.5m，则铁塔离BC=m （ J31.732结果精确到0.1m）.3. 如图，在山顶 P测得正东A、B两船的俯角分别是 30。和60°,且两船相距200m ,则山高PQ =m （结果保留准确值）

19、4 .如图，线段 AB , CD 分别表示甲、乙两幢楼的高，AB BD,CD BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角6如图，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需=30测得乙楼底部D的俯角1 =60 ，已知甲楼高 AB = 24m，则乙楼高 CD =m.AB =5 如图，一铁路路基地的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽m.7.如图，旗杆 AB,在C处测得旗杆顶 A的仰角为30°,向旗杆前进10m，到达D，在D处测得A的仰角为45 °,则旗杆的高为 &升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰

20、为 米（用含根号的式子表示）答案：30°,若双眼离地面 1.5米，则旗杆高度为 1 . 200C.3-1)2. 88.13. 100.3 4 . 325. 346 . 5.57 . (5 5 3)m& (8 3 1.5).选择题1 若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m,则树高h的范围是（)(取A. 3 ： h 乞53 =1.7)B. 5 h <10 C . 10 ： h ： 15 D . h 152.某人沿着倾斜角为的斜坡前进了cm，那么他上升的高度是（A . c si n：m b . eta n：m c . c cos m D . c cot:

21、m3.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交 角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）1 1 .A .B .C . Sin ： D .14 .如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距 A点15m的C处（AC _ AB）测得.ACB二50，则A、B间的距离应为（）A. 15sin 50 mB. 15cos50 mC. 15tan50 mD. 15cot50 m号5如图，在离地面高度 是（ ）5m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60A. 10m10.3B.mC.加 m D. 5 3m36.如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向,这艘渔船

22、以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏15渔船的距离是（）A. 7.2海里 B. 14 2海里 C. 7海里 D. 14海里方向，此时，灯塔 M与答案:解答题1 .如图，一座厂房的屋架的形状为三角形， 倾角A为25°, 跨度AB为15米，求中柱 CD和上弦AC的长（精确到0.01 米）.2.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据， 求坝高和坝底宽3.如图，已知为AC上一点,4.如图，已知（精确到0.1米）.Rt ABC 中， C =90 , ABC =45 ,DBC =30 ,CD =15，求 AD 的长.ABC 中， B =30 , C =

23、45 , AC = 8 ,的边和 ABC的面积（提示：作 BC边上的高AD）.D5.敌机在高出地面 255米的上空飞行，此时从地面的高射炮上测得它的仰角为25°,求高射炮和敌机的距离（精确到1米）6 .有两个建筑 AB和CD，都垂直于地面，它们的垂足B，D分别落在一条水平线上，且DB =48.4米，从其中一个较低的建筑物的顶点C测得它到另一个建筑物顶点A的仰角是34 36 到其底部B的俯角是13 56 ，求这两个建筑的高（精确到1米）.7.某日上午8时半，在灯塔 A的东南68.6海里的B处有一只船向正西方向航行，上午11时到达该灯塔的正南 C处，求这只船航行的速度（精确到0.1海里/

24、小时）&如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1: .3，坡面AB的水平宽度 3 3m，基面AD宽2m,S 求路基高AE、坡角B和基底BC的宽.9 .如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD，斜坡BC的坡度为i = 2 : 3，路基高AE为3m，底CD宽12m，求路基顶AB的宽.10 .如图，拉水坝的黄断面为梯形ABCD ,背水坡的坡比1: 0.5变为1 : 1,已知i 3（即i =圧），已知背水坡的长 AB= 20m，求背水坡的坡BE角及拦水坝的高度.11如图，曲靖市人民在南盘江治理改造过程中，需对一段截面 是等腰梯形的河道进行上口扩宽改造，使河道两边的坡度由原来的河道深

25、7米，河道长90m，试求完成这一工程需挖土多少 m3 ?（坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度）12 如图，学校测量组在池塘边的 A点处测得 BAC =90，再在距离A点10m的C点没得.ACB二60 ,根据这些数据，你能算出 A、B两点间的距离吗？请写出解答过程（精确到0.1m , - 3 : 1.73）13.如图，一只船以每小时 16海里的速度自东向西航行，上午 8点到达塔 的北偏东30°的A处，10点钟到达灯塔的正北方 B处，求这时船到灯塔的距 离.A处望见灯塔C在东北方向，前进到 B处望见灯塔C在北北14如图，某船向正东航行，在 偏西30°，又航行了半小时到 向，若

26、船速为每小时 20海里, 取近似值）D处，望见灯塔C恰好在西北方 求A、D两点间的距离（结果不15如图，数学老师指导学生测量旗杆AB的高度，可以在地面上与 AB垂直的直线上选取C、D两点，在C处测得旗杆顶的仰角.C =45沿CB方向向前走6米到达D处，又测得旗杆顶的仰角 ADB = 60，求出旗杆的高 AB（不取近似值，旗杆底座与测倾器高度相同）16 某型号飞机的机翼形状如图所示，AB/CD，根据图中数据计算（精确到 0.1 米，、21.414, .31.732）AC、BC和CD的长度17.如图，一起重机的机身高 21m，吊杆AB长36m，吊杆与水平线的夹角 升到80°,求起重机起吊

27、的最大高度（吊钩本身的长度和所挂重物的高度 忽略不计）和当起重机位置不变时使用的最大水平距离（精确到0.1米,sin 80 = 0.9848, cos80 =0.1836< 3 =1.732 .）BAC可从3018 .如图，河对岸有高层建筑物 AB,为测量其高度，在 C御，由点D 用测量仪测得顶端 A的仰角为30°向高层建筑物前进 50m，到达C 处，由点D测得顶端A的仰角为45 °，已知测量仪器CD =C D"=1.2m，求高层建筑物 AB的高（、3取1.732）19已知：如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC