2010年考研数学二真题及答案

1、2010 考研数学二真题及答案一、选择题1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xxxxxfa0 b1 c2 d3 详解：222111)(xxxxxf有间断点1,0 x202001111) 1)(1()1()(limlimlimxxxxxxxxfxxx，111, 1112020limlimxxxxxx所以0 x为第一类间断点221121)(lim1xfx，所以1x为连续点21111)1)(1()1()(limlimxxxxxxfxx，所以1x为无穷间断点。所以选择 b。2.设21, yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy的两个特解， 若常数,使21yy是该方程的解，21yy是该方

2、程对应的齐次方程的解，则a21,21b21,21c31,32d32,32详解：因21uyy是0)(yxpy的解，故0)()2121uyyxpuyy（所以0)()(2211uyyuyxpy而由已知qyxpyqyxpy2211)(,)(所以0)()(xqu又21uyy是非齐次)()(xqyxpy的解；故)()()(2121xquyyxpuyy所以)()()(xqxqu所以21u。3.aaxayxy相切，则与曲线曲线)0(ln2a4e b3e c2e de 详解：因2xy与)0(lnaxay相切，故212axxax在2xy上，2ax时，2ln212lnaaaay在)0(lnaxay上，2ax时，2l

3、naay2ln21aaeaeaaaaa2212ln2ln22所以选择 c 4.设,m n为正整数 ,则反常积分210ln (1)mnxdxx的收敛性a 仅与m取值有关b 仅与n取值有关c 与,m n取值都有关d 与,m n取值都无关详 解 ：dxxxmdxxxmdxxxmnnn12122102102)1 (ln)1(ln)1 (ln， 其 中dxxxmn2102)1(ln在0 x是瑕点，由无界函数的反常积分的审敛法知：其敛散性与 n有关， 而dxxxmn1212)1(ln在1x是瑕点， 由于0)1(ln) 1(21limnxxxmx，其 中是 可 以 任 意 小 的 正 数 ， 所 以 由 极

4、 限 审 敛 法 知 对 任 意 m ， 都 有dxxxmn1212)1(ln收敛，与 m无关。故选 b。5.设函数( , )zz x y由方程(,)0y zfxx确定,其中f为可微函数 ,且20,f则zzxyxy= axbzcxdz详解：221222211)()(fxzfxyfxfxzfxyfffyzzx，212111ffxfxfffyzzyzfzfffyffzfyyzyxzx22212216.(4)2211lim()()nnxijnninj= a12001(1)(1)xdxdyxyb1001(1)(1)xdxdyxyc11001(1)(1)dxdyxyd112001(1)(1)dxdyxy

5、详解：ninjxninjxnjnninnjninn11221122)(1)1 ()(limlimdyyxdxnjninninjx102102112)1)(1 (1)(11111lim7.设向量组线性表示，：，可由向量组si21r21ii,:，下列命题正确的是：a 若向量组 i 线性无关，则srb 若向量组 i 线性相关，则 rs c 若向量组 ii 线性无关，则srd 若向量组 ii 线性相关，则 rs 详解：由于向量组i 能由向量组 ii 线性表示，所以)()(iirir，即srrsr),(),(11若向量组 i 线性无关，则rrr),(1，所以srrsr),(),(11，即sr，选（a）

6、。8.设a为 4 阶 对称 矩 阵 ,且20,aa若a的 秩 为 3,则a相 似 于a1110b1110c1110d1110详解： 设为 a 的特征值，由于, 02aa所以02， 即0) 1(，这样 a 的特征值为 -1 或 0。由于 a 为实对称矩阵，故a 可相似对角化，即a，, 3)()(rar因此，0111，即0111a。二填空题9.3阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程022yyyy的 通 解y=_ 详解：022yyyy，对应方程为, 022230)2()2(2，0) 1)(2(2，2，i所以通解为xcxcecxsincos322110.曲线1223xxy的渐近线方程为 _

7、详解：21222limxxxx，0122221223323limlimxxxxxxxxx，所以xy211.函数_)0(0)21ln()(nynxxy阶导数处的在详解：由麦克劳林展开有：,!21)1(1nnnnxnfxn!02nfnnn，!120nfnn12._0的弧长为时，对数螺线当er详解：x0，er。1220022ededee13.已知一个长方形的长l 以 2cm/s的速率增加，宽 w 以 3cm/s的速率增加，则当 l=12cm,w=5cm 时， 它的对角线增加的速率为_ 详解：设,tywtxl由题意知，在0tt时刻120tx，50ty，且3, 200tytx，又tytxts22，所以t

8、ytxtytytxtxts22所以351235212220202000tytxtytytxtxts14.设 a， b 为 3 阶矩阵，且_,2,2,311bababa则详解：由于abbabebbaa1111，所以11111bbaabbaaba因为,2b所以2111bb，因此32123111bbaaba。三解答题15.的单调区间与极值。求函数2212)()(xtdtetxxf16.(1)比较10lnln(1)nttdt与10ln(1,2,)ntt dt n的大小,说明理由 . (2)记10ln ln(1)(1,2,),nnuttdt n求极限lim.nxu17.设函数y=f(x)由参数方程。求函

9、数，已知，阶导数，且具有所确定，其中)(,)1(436)1(25)1 (2)()1(),(,2222ttdxydtttyttx18.一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为b23时，计算油的质量。（长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为3/mkg）19. 0,.05124),(222222ubyxayxbayuyxuxuyxfu下简化的值，使等式在变换确定且满足等式具有二阶连续偏导数，设函数20.40 ,sec0),(d,2cos1sin22rrdrdrrid其中计算二重积分21.设函数f(x) 在闭区间 0,1上连续，在开

10、区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=31,证明：存在.)()(),1 ,21(),21,0(22ff使得22. 的通解。求方程组、）求（个不同的解。存在已知线性方程组设baxabaxaba)2(.12.11,110101123.设0431410aaa，正交矩阵 q 使得aqqt为对角矩阵，若q 的第一列为t)1 ,2,1 (61，求 a、q. 答案：bacd bdad 9.xcxcecxsincos322110.y=2x 11.)!1(2nn12.) 1(2 e13.3cm/s 14. 3 三解答题15. .1,0,2)(,)(),()(2222221112xdtexxfdtted

11、texxfxfxtxtxt所以驻点为由于的定义域解：列表讨论如下：x ) 1 ,(-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+) )(xf- 0 + 0 - 0 + )(xf极小极大极小).1 (21)0(,0)1(101-101-)(1102edtteffxft极大值为）；极小值为，）及（，（），单调递减区间为，）及（，的单调增加区间为（因此，16. 0lim,0lnlim)1(111lnln.ln)1ln(ln0)1()2(.ln)1ln(ln,ln)1ln(ln,)1ln(,10)1(10102101010101010nnnnnnnnnnnnnnudtttndttntdttdtttd

12、tttdtttudtttdtttttttttt从而知由因此，当解：17 .).123)(,0,25) 1(.23)(3)().1(3)(, 0, 6)().3)(1 ()1 (3),1 (3t11),().1 (3)(t11)()143)1 (4)()()1(,)143)1 (4)()()1 ()22()22()(2)()22(,22)(3222322111111113223222ttttccttdtttttttctucttcdteteutuututttttttttdxydtttttttttdxydttdxdytdttdtt（于是知由于是知由有设从而，（故（由题设18 解：.)4332()43

13、621()ss(),436()2cos1(2cossin12s,cos,sin,12ss.21ss.121606022202222112222ablplpababablpabdttabtdttabtdtbdytbydybyaxabbyaxb于是油的质量为则设，则轴上方阴影部分的面积是位于记为下半椭圆面积，则记椭圆所围成的图形。图中阴影部分为油面与油罐底面椭圆方程为如下图建立坐标系，则y 19 解：.2,5252,2,5252,22,08)(12105252,22,252,5220412504125.0)4125(8)(1210)4125.2,2,222222222222222222222222

14、2bababababaabbababababbaaubbubaabuaaubuabuaxuubuayuuuuxuuuxu或故，舍去由，解得由题意，令（，得将以上各式代入原等式20. .1631cos3131,sin.)1(131)1 (31)1 (1211sincos1sin20)4(10232010232222022102222222tdtitxdxxdxyxyxdyxdxdxdyyxydrdrrrixxdd则设由题设知，21. .)()(0)(21)(21)0() 1().1 ,21(,)(21)211)()21() 1(),21, 0(.)(21)021)()0()21( 1 ,2121, 0. 0)1 (, 0)0(31)()(2222223ffffffffffffffffxxfxf即二式相加，得：值定理，有上分别应用拉格朗日中和在，由题意知证：设函数22. 为任意常数。其中的通解为所以时，当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。所以时，因为当。或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设kkxbaxbaabaxbaababaxbaxbararaaxbax,10101321,021230000101012, 1)2(.222123000010101