专项练习：菱形的判定

1、菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD 是菱形的条件是（）A对角线互相平分B对角线互相垂直C邻边相等D对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A矩形B菱形C矩形和菱形D正方形3. 满足下列（）的是菱形A两对角线相等B两对角线垂直C两条对角线垂直且互相平分D两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A等腰梯形B矩形C对角线相等D菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图） ，然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（）A矩形B三角形C正方形D菱形6.

2、 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A梯形B矩形C菱形D正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A矩形B菱形C正方形D无法确定8. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A ABCDB ACBD/11C ACBD 时，它是菱形D当ABC90o 时，它是矩形二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是10. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，从（ 1） ABCD ；（2）AB CD ；（ 3） OAOC ；（ 4） OBOD ；（ 5） AC BD ；（6） AC

3、 平分BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形如（ 1）（ 2）（5）ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：ABCD 是菱形；ABCD 是菱形11. 延长等腰 ABC 顶角平分线 AD 到 E 使 DEAD ，连结 BE，CE ，则四边形ABEC 是_形12. 对角线 _的四边形是菱形13. 将矩形 ABCD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使 A与B重合，得FMAD矩形 BFDE， BF交AD于 M，DE交BC于N，则四边形 BMDN 是_（填特殊四边形的名称）BN C三、证明题E14. 已知，如图，从菱形 ABCD 对角线的交点 O 分别向各边引垂线，垂线分别是E，F ，G

4、， H求证：四边形 EFGH 是矩形15. 已知四边形 ABCD 的四边分别为 a ， b ， c ， d ，且满足a4b4c4d44abcd ，求证：四边形ABCD 是菱形/1116. 已知 Y ABCD 是对角线 AC、BD 相交于 O ，如图，且 AD13， AC6 ，BD 4 ，你能说明四边形 ABCD 是菱形吗？17. 如图所示， Rt ABC 中，ACB90o ，ABC 的角平分线 BD 交 AC 于点 D ，CH AB交 BD 于 F ， DE AB 于 E ，四边形 CDEF 是菱形吗？18. 如图，在五边形 ABCDE 中， ABBCCDDEEA， ABC2DBE 请说明：四

5、边形 ACDE 是菱形19. 如图，在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ，求证：四边形AEDF 是菱形/1120. 如图，矩形 ABCD 中， O 是两对角线的交点， AF 垂直平分线段 OB ，垂足为 E ， CH 垂直平分线段 OD ，垂足为 G 求证：（1） AOB 是等边三角形；（ 2）四边形 AFCH 是菱形21. 如图，矩形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，过 O 点的直线 EF 与 AB ， CD的延长线分别交于E ， F （ 1）求证： BOE DOF ；（ 2）当 EF 与 AC 满足什么条

6、件时，四边形 AECF 为菱形？并证明你的结论22. 如图所示，AD 是 Rt ABC 斜边 BC 上的高， B 的平分线交 AD 于 M ，交 AC于 E ，DAE 的平分线交 CD 于 N 求证：四边形 AMNE 为菱形/1123. 如图所示，在四边形 ABCD 中，对边 ABCD，M ，N ，P，Q分别是 AD，BC ， AC ， BD 的中点，求证： MN PQ AMDQPBNC24. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，且 ADE 与 BCE 都是正三角形，点 P ，Q ， M ， N 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点求证：四边形 PQMN为菱形AP

7、25. 如图，四边形 ABCD 中，ABCADC90o ，M 为 AC 中点，且 MN BD与 MD 的平行线 BN 交于 N ，求证：四边形 BNDM 为菱形/1126. 如图 Rt ABC 中， BAC 90o ，AD BC 于 D ，CE 平分ACB交AD于G，交 AB 于 E ， EF BC 于 F ，求证：四边形 AEFG 为菱形27. YABCD 的对角线的垂直平分线与边 AD， BC 分别交于 E，F ，求证：四边形 AFCE 是菱形AEDOBFC28. 已知： 如图，过 YABCD 的对角线交点 O 作互相垂直的两条直线 EG，FH 与平行四边形 ABCD 各边分别相交于点E，

8、F， G， H 求证：四边形 EFGH 是菱形AEDFOHBCG/1129. 如图，在 YABCD 中， O是对角线 AC的中点，过点 O作 AC的垂线与边 AD，BC分别交于 E，F求证：四边形 AFCE是菱形四、应用题30. 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形 EFGH 为菱形，并说明理由/11参考答案一、选择题1. D2. B3. C4. C5. D6. C7. B8. B二、填空题9. 菱形10. (1)(2)(6)(3)(4)(5) 或(3)(4)(6)11. 菱12. 互相平分且垂直13. 菱形三、证明题1

9、4. 先证四边形 HEFG 为平行四边形，再证 HF EG 15. 解：因为 a4b4c4d 44abcd ，所以 2a42b42c42d 48abcd0 ，所以( a42a2b2b4 ) (b42a2c2c4 ) (c42c2 d2d 4 ) (d 42a2 d 2a4 )2(a2b22abcdc2d 2 )2( a2 d 22abcdb2c2 )0所以(a 2b2 )2(b2c2 )2(c2d 2 )2(d2a2 )22(abcd )22( adbc )20由非负数性质得， a2b20 ， b2c20 ， c2d 20 ，d 2a20 ， ab cd0 ， ad bc 0 所以 abc d

10、 所以四边形 ABCD 是菱形/1116. 解： Q 四边形 ABCD 是平行四边形， AC 6， BD 4 OAOC3，OBOD2又Q AD13AD2OA2OD2.AOD90o，即 : AC BDYABCD 是菱形17. 解：四边形 CDEF 是菱形理由如下：Q DE AB，CH AB，DE CH 即： DECF又Q BD 是角平分线，DEDC ，且BDEBDC.Q DE CH，BDECFD .CDFDFC .CDCF .CFDE.四边形 CDEF 是平行四边形，又因DCDE 四边形 CDEF 是菱形18. 提示：只需证四边形 EACD 为平行四边形，只需证明 AE CD ，过 B 作BM

11、AE 经证 BM CD 即可19. EF 垂直平分 AD ， AEDE，AF DF ， AD 平分 BAC， AED AFD ， AEAF ， AE DEAF DF，故四边形 AEDF 是菱形20. （1）可证 OA1 AC ，OB1 BD ，OAOB 22 AF 垂直平分 OB ， OA ABOB ，故 AOB 为等边三角形（ 2）在等边 AOB 中， AF OB ， OAEBAE 30o ，可证明 FCADAC ， FCAEAO ， AFCF ，/11可证明四边形 AFCH 是平行四边形，而AFCF ，故四边形 AFCH 是菱形21. （1）在矩形 ABCD 中， ABCD ，EF ，EB

12、OFDO ，又BOOD ， BOE DOF （ 2）当 EF 与 AC 垂直时，四边形 AECF 为菱形证明： BOE DOF ， EOFO 又 AOOC ， 四边形 AECF 为平行四边形又 EF AC ， 四边形 AECF 为菱形22. 证明：设 AN 与 ME 交于点 O ，因为 AD 是 Rt ABC 斜边 BC 上的高，所以ABDCAD 又 BE ， AN 分别平分ABD 和CAD ，所以EANABE 所以在 Rt ABE 中，AOB90o ， AME 是等腰三角形，AN 平分 ME ，又因为 ABONBO ， OBOB ，所以 Rt AOB Rt NOB ， AOON ，即 ME

13、垂直平分 AN ，四边形 AMNE 是菱形23. 证明四边形 MQNP 是菱形即可24.连结 AC ，BD ， ADE 与 BCE 都是正三角形，AE DE ，CEBE ，QAEDBEC60o ，AEC60oDECDEB 证 AEC DEB（ SAS）ACDB ，又 P ，Q ，M ， N 分别为各边中点， 得 PQ1AC ，MN1BD PQ2QMPNQM MNNP . 四边形 PQMN 为菱形225.设MN 与 BD交于 O，易证 MBMD ，再证 DOM BON ，从而BNDM ，又由 BN DM ，可证得四边形 BNDM 为菱形26.易证 AE FE，而且 ADEF ，AEGAGE AGE