线性代数课件：5-1 方阵的特征值和特征向量

1、方阵的特征值和特征向量 特征值和特征向量的概念 特征值和特征向量的求法 特征值和特征向量的性质一、特征值与特征向量的概念., , 1的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 AxAxAxxnnA 说明说明1.0 x 特征向量()3.,0,0.nAEA xEAAllll-=-=阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组有非零解的值 即满足方程的 都是矩阵 的特征值2.特征值问题是对方阵而言的00. .|0AEAll-=31

2、若是矩阵 的特征值的充分必要条件是000. .()0AEA xVlll-=32对应于特征值的全体特征向量再添上零向量构成的解空间，称之为特征子空间，记为。4.0EAl-=1112121222120nnnnnnaaaaaaaaalll-=-LLLLLLL次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n 0EAl-=. 的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记( )fEAll=-称其称其. 的的为方阵为方阵A特征多项式特征多项式()125.,ijnnAal ll=L设阶方阵的特征值为则有121122(1);nnnaaatrAlll+=+=LL.)2(21An 求矩阵特征值

3、与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： ;det . 1EAA 的特征多项式的特征多项式计算计算 ;,0det . 2 21的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEAn ()1113. , ,0,.iiiiirrijiijijriiiAE xkkllaala=-=对于特征值求齐次方程组的基础解系。设一个基础解系为那么(k为不同时为零的任意常数)就是对应于 的全部特征向量二、特征值与特征向量的求法解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221

4、的特征值为的特征值为所以所以A,00231123,2211 xx对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当 .11 ,221 pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得11(0)2.kp kl=所以是对应于的全部特征向量22(0)4.kp kl=所以是对应于的全部特征向量例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)1( )2(2010340

5、11 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A由由解方程解方程时时当当. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基础解系得基础解系11(0)2.kp kl=所以是对应于的全部特征向量由由解方程解方程时时当当. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基础解系得基础解系223(0)1.kp kll=所以是对应于的全部特征向量例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2

6、 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解方程解方程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk .,., 121212121线性无关线性无关则则各不相等各不相等如果如果向量向

7、量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征个特征值个特征值的的是方阵是方阵设设定理定理mmmmppppppmA 证明证明使使设设有有常常数数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk三、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等

8、时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线线性性无无关关所所以以向向量量组组mppp注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特

9、征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由于由于, 0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾21111112121,.,sisiirirrssrAsAllaalaaaaaa设是 的 个不同的特征值，是矩阵 对应于特征值 的线性无关的特征向量，则线性无关推论推论定理二定理二00nAkAll设为 阶矩阵 的 重特征值，则与对应矩阵至多有k个线性无关的特

10、征向量。000kVlll称为的代数重数，的维数称为的几何重数。例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则 x .)1(是任意常数是任意常数的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 ( )2,A当 可逆时., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵