工程力学 第四章 轴向拉伸与压缩

1、课 时 授 课 计 划授课日期2011.10.22班 别1044-3题 目第四章 轴向拉伸与压缩 目的要求Ø 会应用截面法求指定截面的轴力Ø 能较熟练的分析拉（压）杆件的内力，绘制相应的轴力图。Ø 掌握拉（压）变形的应力及强度的计算。重点截面法求轴力、绘制轴力图、强度计算难点截面法、强度计算教 具课本教 学 方 法课堂教学报书设计第四章 轴向拉伸与压缩第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力第三节 轴向拉（压）杆的强度计算第四节 轴向拉（压）杆的变形计算第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能教学过程：复习： 1、复习平面一般力系的平

2、衡条件及平衡方程。 2、复习平面平行力系的平衡方程。新 课：第四章 轴向拉伸与压缩第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图一、用截面法求轴向拉（压）杆的内力1、内力外力：作用在杆件上的载荷和约束反力统称为“外力”。内力的概念：构件的材料是有许多质点组成的。构件不受外力作用时，材料内部质点之间保持一定的相互作用力，使构件具有固体形状。当构件受外力作用产生变形时，其内部质点之间相互位置改变，原有内力也发生变化。这种由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。轴向拉伸的内力计算实践证明，对于特定的材料，内力的增加有一定的限度，超过了这个限度，杆件就会被拉断而破坏。2、

3、截面法1）截面法如左图所示的构件，在杆端沿杆的轴线作用着大小相等、方向相反的两个力，杆件处于平衡状态，求断面上的内力。（1）为显示内力，用一假想截面将构件在断面处切开，将构件分为段和段。任意保留一段（如段）为研究对象，弃去另一段（如段）。（2）在保留段的截面上，各处作用着内力，设这些内力的合力为，它是弃去部分对保留部分的作用力。（3）由于整个杆件原来处于平衡状态，所以截开后的任意一部分仍应保持平衡，故可对保留部分建立平衡方程。 ， 故 即是截面上的内力。由作用和反作用公理可知，若保留段研究，也可得出同样的结果。式称为内力方程，它反映了截面上的内力与该截面一侧外力间的关系。上述利用假想截面将杆件

4、切开，以显示并计算内力的方法，称为截面法。在其他基本变形中，内力也都用此方法求得。2）截面法求内力的步骤可归纳为:（1）截开:在欲求内力截面处,用一假想截面将构件一分为二。（2） 代替:弃去任一部分,并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替(即显示内力)。然后画出作用于留下部分的受力图。（3）平衡:根据保留部分的平衡条件（N=F）,确定截面内力的大小和方向。轴若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反。 注意：杆件受到的外力多于两个的情况下，需要先根据外力的作用点将杆件进行分段后再计算轴力。3、轴力受轴向拉压杆件，由于外力的作用与杆件的轴线重合，根据连续性假设

5、由此而产生的内力也是连续分布在截面上的，分布内力的合力的作用线也必然与杆的轴线重合，这种内力也称为轴力。常用字母N表示。通常规定拉伸时轴力取正号（即轴力的箭头背离截面），压缩时轴力取负号（即轴力的箭头指向截面）。计算轴力时可设轴力为正，这样求出的轴力正负号与变形保持一致。二、轴力图档杆件同时受到多个轴向外力作用时，杆件内不同的横截面处有不同的轴力。为了清楚地表明杆内轴力随截面位置的改变而变化的情况，引用轴力图。轴力图的绘制方法：用平行于杆轴线的坐标轴x表示杆件横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标轴FN表示相应截面上的轴力的大小，正的轴力画在x轴上方,负的轴力画在x轴下方。这种表示轴力沿杆件轴线变

6、化的规律的图形，称为轴力图 。在轴力图上，除应标明轴力的大小、单位外，还应标明轴力的正负号。绘制轴力图的注意事项：1）轴力图的横坐标要与杆件长度相对应；2）轴力图的纵坐标大小要成比例；3）轴力图的纵坐标要标明数值大小及正负；4）轴力图是一条连续的图线，不能间断，在集中力作用处，轴力图有突变，突变的大小等于集中力的大小；5）在轴力图上要画出阴影线。轴力图的意义 直观反映轴力与截面位置变化关系； 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。例题第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力一、应力概念两根材料相同而粗细不同的杆件，承受着相同的轴向拉力，两杆的内力大小是相同的。

7、但是随着拉力的增加，细杆将首先被拉断，这说明只知道内力大小还不能判断杆件是否会因强度不足而破坏，还必须知道内力在横截面上分布的密集程度（集度）。细杆被拉断，是因为内力在较小面积上分布密集度大。应力：内力在单位面积上的分布集度。它反应了内力在横截面上分布的密集程度。通常应力与截面既不垂直也不相切，将它分解成垂直于截面的分量和相切于截面的分量，垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用表示；相切于截面的应力分量称为剪应力或切向应力，用表示。应力的单位是：Pa（帕斯卡）、kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）1Pa=1N/m2、1kPa=103Pa、1MPa=1N/mm2=106Pa、1G

8、Pa=109Pa工程上常用MPa作为应力的单位，1MPa=1N/mm2。二、轴向拉（压）杆横截面上的正应力 平面假设：杆件变形前横截面为平面，变形后横截面仍然保持为平面且垂直于杆轴线，只是沿杆轴线方向作了平行移动。轴向拉伸与压缩时，横截面上各处产生正应力，且均匀分布。设杆件横截面面积为A，截面上的轴力为FN，则轴向拉伸与压缩时等直杆横截面上的正应力的计算公式：=FN/As 的符号与轴力FN 的符号相同：当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力； 当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力 。 =FN/A的适用条件：只适用于轴向拉伸与压缩杆件。结论：轴向拉压杆横截面上的正应力除

9、与荷载有关外，还和横截面的面积有关，而与杆件的材料无关。可以用应力作为判断杆件强度高低的标准。第三节 轴向拉（压）杆的强度计算一、许用应力与安全系数在工程实际中，若要使杆件能够安全、正常地工作，杆件必须具有一定的强度，即杆件必须具有足够的抵抗破坏的能力。当塑性材料达到屈服极限时，有较大的塑性变形；当脆性材料达到强度极限时，会引起断裂。构件工作时，这两种情况是不允许发生的。我们把构件发生显著变形或断裂时的最大应力，称为极限应力，用so表示。对塑性材料以屈服极限为极限应力： 对脆性材料以强度极限为极限应力： 公式=FN/A为轴向拉压杆在载荷作用下的实际应力，称为工作应力。为了保证构件安全、正常工作

10、，仅把工作应力限制在极限应力以内是不够的。因实际构件的工作条件受许多外界因素及材料本身性质的影响，故必须把工作应力限制在更小的范围，以保证有必要的强度储备。为保证杆件能够安全正常工作，工程中规定了材料容许使用的最大正应力值，称为许用应力，用s表示。式中：s材料的许用应力； so材料的极限应力： K安全系数，K>1。确定安全系数K时，主要考虑的因素有：材料质量的均匀性，荷载估计的准确性，计算方法的正确性，构件在结构中的重要性及工作条件等。一般构件在常温、静载条件下：塑性材料： Ks=1.52.5脆性材料： Kb=23.5许用应力s是强度计算中的重要指标，其值取决于极限应力so及安全系数K。

11、塑性材料：为材料的名义屈服极限。脆性材料：安全系数的选取和许用应力的确定，关系到构件的安全与经济两方面。二、轴向拉（压）杆的正应力强度条件拉压杆的强度条件：杆件的最大工作应力不能超过材料的许用应力。即式中：横截面上的最大工作应力；产生最大工作应力界面的轴力，这个截面称为危险截面；A危险截面的横截面积；材料的许用应力。对于等直杆，轴力最大的截面为危险截面；对于变截面直杆，若轴力不变，横截面积最小的截面为危险截面；若杆件为变截面杆，且轴力也是变化的，FN/Amax所在的截面为危险截面。三、强度条件的应用1、三类强度问题（1）强度校核若已知杆件所受载荷（可求出轴力FN）、截面尺寸（可求出面积A）及材

12、料的许用应力，用强度条件可判断杆件是否满足强度要求，及是否满足的要求，若不满足应重行进行截面设计。（2）设计截面尺寸若已知构件所受荷载（FN）、材料的许用应力，确定横截面积A，有强度条件得该式求出的是截面的最小面积。（3）确定许可载荷已知构建的横截面积（A）、材料的许用应力，则构建所能承受的最大轴力为该式求出的FN的最小值。根据FN与外载荷P之间的关系就可以求出P。结合书P83-84 例3-5、例3-6对强度计算进行详细讲解。2、例题例1：一直径d=14mm的圆杆，许用应力=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。满足强度条件。例2： 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂

13、在C点,B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力s=160MPa，试校核CD杆的强度,并求：（1）结构的许可荷载F;（2）若F=50kN,设计CD杆的直径.第四节 轴向拉（压）杆的变形计算一、弹性变形和塑性变形弹性：当载荷不超过某一定范围时，大多数材料在去除载荷后能即刻恢复它的原有形状和尺寸。弹性变形：在去除载荷后能够消失的变形。塑性：当载荷超过某一定范围时，在去除载荷后，变形只能部分地恢复，而残留下一部分变形不能消失。塑性变形：不能恢复而残留下来的变形。二、胡克定律杆件受轴向力作用时，沿杆件轴线方向会伸长或缩短，同时杆件的横向尺寸将缩小或增大。我们把杆件沿轴线方向伸

14、长或缩短称为纵向变形；横截面方向尺寸的改变量称为横向变形。FFFF1ll杆件在拉伸或压缩时长度发生改变，其改变量称为绝对变形，用表示。设杆件变形前的长度为，变形后的长度为，则其绝对变形 显然，拉伸时绝对变形为正，压缩时绝对变形为负。单位：m（米）或mm（毫米）。FPLALµD实验证明，材料在弹性范围内发生变形时，与外力FP和杆长L成正比，与横截面积成A反比。即引入比例系数E，且FP=N，EAL=DFNL则上式可写作式中：E材料的拉(压)弹性模量，它与材料的性质有关，是衡量材料抵抗变形的一个指标，单位是Pa或GPa。该式所表达的关系称作拉压胡克定律。EA称为抗拉（压）刚度，它反映了杆件

15、抵抗拉（压）变形的能力。对于长度相同、受力相同的杆件，EA越大，纵向变形就越小；EA越小，纵向变形就越大。绝对变形与杆件的长度有关，为去掉杆件原长对变形的影响，常用单位长度的变形量来表示杆件的变形程度，称之为纵向线应变（或线应变），用表示 为无量纲的量，其正负号取决于绝对变形：拉伸时为正值；压缩时为负值。上式是胡克定律的另一种表示方法，其意义为：在弹性范围内，正应力和正应变成正比。虎克定律的适用范围：1)杆件的应力必须在弹性范围内；2）应用公式时，在杆长L内，杆件轴力N、材料的弹性模量E及截面面积A都应是常数。第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能力学性能：材料在外力作用下，在受力和变形方面所表

16、现出来的各种力学性能。不同的材料具有不同的力学性能。材料的力学性能可通过实验得到。常温静载下的拉伸压缩试验常温静载实验：通过材料在室温、静载的条件下进行的拉伸、压缩试验测定出来的。一、材料在拉伸时的力学性能标距：试件中间部分是一段等直杆用来测量变形，其间的长度成为标距。常用的标准试件有圆截面和矩形截面两种。圆截面试件标距l 和截面直径d的比例关系有两种：l = 10d或l =5d 。矩形截面试件标距l 和截面面积A的比例关系有两种：1、低碳钢的拉伸试验1）拉伸图和应力应变图表示F和D l关系的曲线，称为拉伸图。拉伸图与试样的尺寸有关。为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应

17、力；同时把D l 除以标距的原始长度l ，得到应变。表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图。2）拉伸过程的四个阶段（1）弹性阶段（oab）这一阶段可分为：斜直线Oa和微弯曲线ab，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。Oa段：变形是线弹性的，应力与应变成正比。直线oa为线弹性区，其应力与应变之比称材料的弹性模量（杨氏模量）E，几何意义为应力-应变曲线上直线段的斜率，即E=/=tg，它是反映材料弹性性能的指标，单位为MPa、GPa。oa段地最高点a点所对应的应力p称为比例极限，它是材料满足虎克定律的最大应力。：在比例极限内，正应力与正应变成正比关系。B点所对的应力e是材料发生弹

18、性变形的最高应力，称为弹性极限。（2）屈服阶段（bc）当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服。 屈服：应力基本不变，而应变显著增加的现象。在此阶段，材料暂时失去抵抗变形的能力。：屈服段内最低的应力值。表面磨光的试件（低碳钢），屈服时可在试件表面看见与轴线大致成45°倾角的条纹。这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移线。因为在45°的斜截面上剪应力最大。（3）强化阶段（ce）过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力， 要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化。强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。强化阶段的最高点e所对应的应力

19、是材料能承受的最高应力b，称为强度极限（拉伸过程中最高的应力值）。它是衡量材料强度的另一重要指标。（4）颈缩断裂阶段（ef）过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象，一直到试样被拉断。在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形，至到试件断裂。比例极限p、屈服极限s、强度极限b，其中s和b是衡量材料强度的重要指标。3）延伸率和截面收缩率（1）伸长率d试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1，这个变化率称为延伸率，用d表示。d>5%的材料为塑性材料如低碳钢，它的延伸率高达20%30%是很好的塑性材料；d< 5%的材料为脆性材料，如铸铁、玻璃

20、、混凝土等。（2）截面收缩率y试件拉断处横截面积由原来的A变为A1，这个变化率称为截面收缩率，用y表示。低碳钢的截面收缩率一般为60%70%。4）冷作硬化冷作硬化：常温下把材料予拉到塑性变形阶段，然后卸载，再次加载时，材料的线弹性范围将增大，使材料屈服极限提高，而塑性降低。工程上常利用冷作硬化来提高材料屈服极限，从而提高承载能力，如冷拉钢筋、冷拔丝刚等。2、其他材料拉伸时的力学性能（1）其他塑性材料拉伸时的力学性能所有材料的拉伸变形都分为四个阶段。各类碳素钢中，随着含碳量的增加，屈服极限和强度极限逐渐上升，伸长率逐渐下降。工程上以这些材料产生=0.2%的塑性变形时所对应的应力作为屈服极限，称为

21、名义屈服极限。对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈服应力表示0.2。（2）铸铁拉伸时的力学性能图中没有明显的直线部分，且拉力很小时铸铁就被拉断。断裂时的应力就是强度极限b，b是衡量脆性材料强度的唯一指标。通常把产生0.1%的应变所对应的应力范围作为弹性范围，并认为材料在这个范围内近似的服从虎克定律。它的弹性模量使用割线代替应力应变曲线，以割线的斜率tg为的近似值，称为割线弹性模量。铸铁的弹性模量E约为115160GPa。二、材料在压缩时的力学性能1、低碳钢的压缩试验压缩的实验结果表明：低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限ss都与拉伸时大致相同。屈服阶段后，试样越压越扁，横截面面积不断增大，抗压面积增大，抗压能力曾强，试样不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限。2、铸铁的压缩试验铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45° 55°倾角，表明这类试样主要因剪切而破