第一章充分条件必要条件

1、1.已知集合已知集合A、B，则，则“ ”是是“AB=A”的（的（ ）A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 A2.已知已知h0，设命题，设命题p：两个实数：两个实数a、b满足满足|a-b|2h；命题；命题q：两个实数：两个实数a、b满足满足|a-1|h且且|b-1|h，那么，那么（ ）A.p是是q的充分非必要条件的充分非必要条件B.p是是q的必要非充分条件的必要非充分条件C.p是是q的充要条件的充要条件D.p既不是既不是q的充分条件也不是的充分条件也不是q的必的必要条件要条件B 根据绝对值

2、不等式的性质：由根据绝对值不等式的性质：由|a-1|h且且|b-1|h得得|（a-1）-（b-1）|a-1|+|b-1|2h，但由，但由|a-b|2h推不出推不出|a-1|h且且|b-1|h，故选故选B.易错点：易错点：（1）不能熟练运用绝对）不能熟练运用绝对值不等式性质作上述推理，因而误选值不等式性质作上述推理，因而误选D.（2）乱用不等式的性质，由乱用不等式的性质，由|a-b|2h|（a-1）-（b-1）|h+h|a-1|h，|b-1|b，q：a2b2B.p：ab，q：2a2bC.p：ax2+by2=c为双曲线，为双曲线，q：ab0，D20cbqaxx：依题意，即要求依题意，即要求p推不推

3、不出出q，而，而q能推出能推出p.在在A中中p：（：（a-b）0，q：（：（a-b）（）（a+b）0,p是是q的的既不充分又不必要条件；在既不充分又不必要条件；在B中中p：a-b0，q：2a2b，由函数，由函数y=2x的单的单调性知调性知p是是q的充要条件；的充要条件；在在C中，中，p：ax2+by2=c为双曲为双曲线线p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.D中，中，p：ax2+bx+c0，p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件.故选故选D.ab0c0，q：ab0 x04.“”是是“”的的条件条件. 因为时，因为时，；反之，若反之，若 ，则，则tan=-2sin，则，则sin=0或，或，

4、此时此时未必等于未必等于 ，故前者是后者的，故前者是后者的充分不必要条件充分不必要条件.23tan2cos2（）232tantan3,3 2cos2sin3tan2 （）tan2cos2（）1cos2 23充分不必要充分不必要5.函数函数y=x2+bx+c在在x0，+）时）时是单调函数的充要条件是是单调函数的充要条件是. 因为函数因为函数y=x2+bx+c的图象的的图象的对 称 轴 为 直 线 对 称 轴 为 直 线 ， 要 使 函 数， 要 使 函 数y=x2+bx+c在在0，+）上为单调函数，）上为单调函数，则则 ，所以，所以b0；反之，当；反之，当b0时，函时，函数数y=x2+bx+c在

5、区间在区间0，+）上是单调）上是单调递增函数递增函数.b02bx 02b当当“若若p，则，则q”形式的命题为真时，就形式的命题为真时，就记为记为 ，称，称p是是q的充分条件，同时称的充分条件，同时称q是是p的必要条件的必要条件.判断充分条件或者必要条件判断充分条件或者必要条件的实质是判断命题的实质是判断命题“若若p，则，则q”（或其逆命（或其逆命题）的真假题）的真假.判定充要条件的常用方法有以下几种：判定充要条件的常用方法有以下几种：（1）使用定义，同时注意用特殊值；使用定义，同时注意用特殊值；（2）利用集合的包含关系；利用集合的包含关系；（3）使用四种命题进行判定使用四种命题进行判定.pq重

6、点突破：重点突破：充分条件、必要条充分条件、必要条件、充要条件的判定件、充要条件的判定给出下列命题：给出下列命题：（）p：两个三角形相似，：两个三角形相似，q：两：两个三角形全等；个三角形全等；（）在在ABC中，中，p：A45，2sin2qA ：（）已知已知D2+E2-4F0，p：D2=4F；q：圆：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与与x轴轴相切；相切；试分别指出试分别指出p是是q的什么条件的什么条件.首先要分清条件与结论，首先要分清条件与结论，然后判别是前者能推出后者还是后者然后判别是前者能推出后者还是后者能推出前者能推出前者.（）p是是q的必要非充分条的必要非充分条件；件；（）在在ABC中

7、，中，A45但但A=135时，而在时，而在ABC中若中若，则，则A45且且A135，所以，所以p是是q的的必要不充分条件；必要不充分条件；（）p是是q的充要条件的充要条件.2sin2A 2sin2A 判断命题中判断命题中p与与q的条件关系，的条件关系，通常可以采用以下方法：通常可以采用以下方法：（1）直接推理：）直接推理：由条件由条件p出发进行出发进行推理，然后由结论推理，然后由结论q出发进行推理出发进行推理.（2）从集合思想考虑：）从集合思想考虑：如果条件如果条件p与结论与结论q很容易用集合来描述，则从集很容易用集合来描述，则从集合思想考虑要方便些合思想考虑要方便些. 命题甲：命题甲：“a、

8、b、c成等差数列成等差数列”是命题乙是命题乙“”的的（ ）A.必要不充分条件必要不充分条件B.充分不必要条件充分不必要条件C.充要条件充要条件D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件Aacbb 2如如a=b=c=0，则，则a、b、c成等成等差数列，但推不出；差数列，但推不出；反之，若，即反之，若，即a、b、c成等差数列，所以命题甲：成等差数列，所以命题甲：“a、b、c成等差数列成等差数列”是命题乙是命题乙“”的的必要不充分条件必要不充分条件.选选A.2acbb22acacbbb2acbb 重点突破：重点突破：充要条件的证明充要条件的证明证明：关于证明：关于x的一元二次不等式的一元二次不等式

9、x2+px+q0解集只含有一个元素的充要条件解集只含有一个元素的充要条件是是p2=4q. 证明要分两个环节：一证充证明要分两个环节：一证充分性，二证必要性分性，二证必要性.必要性证明：必要性证明：若不等式若不等式x2+px+q0的解集只含有一个的解集只含有一个元素，则其对应方程元素，则其对应方程x2+px+q=0的判别式的判别式=p2-4q=0，即，即p2=4q.充分性证明：充分性证明：若若p2=4q，则，则，所以，即原方，所以，即原方程的解集中只有一个元素程的解集中只有一个元素.综上，关于综上，关于x的一元二次不等式的一元二次不等式x2+px+q0解集只解集只含有一个元素的充要条件是含有一个

10、元素的充要条件是p2=4q.202px（）2224pxpxqxpx2px 有关充要条件的证明问题，有关充要条件的证明问题，首先要分清哪个是条件，哪个是结论，首先要分清哪个是条件，哪个是结论，由由结论结论条件条件是证明命题的必要性，是证明命题的必要性，由由条件条件结论结论是证明命题的充分性，是证明命题的充分性，其次要把握证明要分的两个环节：一其次要把握证明要分的两个环节：一是充分性；二是必要性是充分性；二是必要性. 求证：关于求证：关于x的的方程方程ax2+bx+c=0有一个根为有一个根为1的充要条的充要条件是件是a+b+c=0. （1）必要性：）必要性：即即“若若x=1是方程是方程ax2+bx

11、+c=0的根，则的根，则a+b+c=0”.因为因为x=1是方程是方程ax2+bx+c=0的根，将的根，将x=1代入方程的左边，得代入方程的左边，得a+b+c=0. （2）充分性，）充分性，即即“若若a+b+c=0，则则x=1是方程是方程ax2+bx+c=0的根的根”把把 x = 1 代 入 方 程 的 左 边 ， 得代 入 方 程 的 左 边 ， 得a12+b1+c=a+b+c，因为，因为a+b+c=0，所以所以x=1是方程是方程ax2+bx+c=0的根的根.重点突破：重点突破：充分条件、必要条充分条件、必要条件、充要条件的应用件、充要条件的应用已知，已知，q：x2-2x+1-m20（m0），

12、且是的必要），且是的必要不充分条件，求实数不充分条件，求实数m的取值范围的取值范围. 本题可以用集合的观点本题可以用集合的观点来考察，先写出和，然后，由来考察，先写出和，然后，由，但推不出来求，但推不出来求m的取值的取值范围；此外还可以将问题转化为范围；此外还可以将问题转化为p是是q的 充 分 不 必 要 条 件 来 求 解的 充 分 不 必 要 条 件 来 求 解 .1|1| 23xp：pqpqqp pq方法一：方法一：由由x2-2x+1-m20，得，得1-mx1+m，所以：所以：A=x|x1+m或或x0由，得由，得-2x10，所以：所以：B=x|x10或或x01-m-21+m10pq1|1

13、| 23xqp，解得，解得m9.方法二：方法二：因为是的必要不因为是的必要不充分条件，所以，但推不充分条件，所以，但推不出，即，但出，即，但q推不出推不出p.即即p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.因为因为p：C=x|-2x10，q：D=x|1-mx1+m，m0，所以，所以，所以，所以qpqp pqpq1+m101-m-2，所以，所以m9.遇到涉及求参数的遇到涉及求参数的取值范围并与充分必要条件有取值范围并与充分必要条件有关的问题时，常借助于集合的关的问题时，常借助于集合的观点并巧妙运用原命题与其逆观点并巧妙运用原命题与其逆否命题的等价性来解决否命题的等价性来解决.设命题设命题p：|4x

14、-3|1，命题，命题q：x2-（2a+1）x+a（a+1）0，若是的，若是的必要不充分条件，则实数必要不充分条件，则实数a的取值范围的取值范围是是. pq10,2因为，所以，因为，所以，x2-（2a+1）x+a（a+1）0（x-a）x-（a+1）0，所以，所以q：xa,a+1，是的必要不充分条件是的必要不充分条件”“q是是p的必要不充分条件的必要不充分条件”，所以，则所以，则.1|43| 112xx 112px： ， “ pq1112aa ， ，102a ，设集合设集合，B=x|x-b|a，若，若“a=1”是是“”的充分条件，则实数的充分条件，则实数b的取值范的取值范围可以是（围可以是（）A.

15、-2b0B.0b2C.-3b-1D.-1b2D1 |01xAxxAB 本题集合本题集合A，B比较复杂，比较复杂，可考虑先化简，再由正确得出可考虑先化简，再由正确得出b的范围，最后根据选择肢进行判断的范围，最后根据选择肢进行判断. 因为因为A=x|-1x1，当，当a=1时，时，B=x|b-1x1+b，若，则，若，则-1b-11或或-1b+11，所以，所以0b2或或-2b0.所所以以-2b0且且b0”是是“a+b0且且ab0”的（的（ ）A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 对于对于“a0且且b0”

16、可以推出可以推出“a+b0且且ab0”，反之也是成立的，反之也是成立的. 本小题考查了充要条件的问题，本小题考查了充要条件的问题，同时也考查了逻辑联结词同时也考查了逻辑联结词“且且”的意义的意义.C2.（2009山东卷）山东卷）已知已知、表示两表示两个不同的平面，个不同的平面，m为平面为平面内的一条直内的一条直线，则线，则“”是是“m”的（的（ ）A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件B 当当时，平面时，平面内的直线内的直线m不不一定和平面一定和平面垂直，但当平面垂直，但当平面内的直线垂内的直线垂直于平面直于平面时，根据面面垂直的判定定理，时，根据面面垂直的判定定理，两个平面一定垂直，故两个平面一定垂直，故“”是是“m”的必要不充分条件，选的必要不充分条件，选B.本题考查空间线面位置关系的本题考查空间线面位置关系的基础知识、充要关系的知识基础知识、充要关系的知识.考查学生的空考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力间想象能力和逻辑推理能力. 逻辑性错误逻辑性错误若若p:x2-2x-30;q: 则则 的什么条件的什么条件. 错解：错解： 所以所以 的既非充分又非必要条件的既非充分又非必要条件.x