2022年2022年《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点二次根式题型分类学问点一：二次根式的概念【学问要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当为一个非负数时,才有意义【典型例题】121 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 1】以下各式1）、 25、3x2、 44、5、61a、7a2a1 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载53其中为二次根式的为 （填序号）举一反三：1 .以下各式中,肯定为二次根式的为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.ab.10c.a12.d.a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料

2、精选学习资料 - - - 欢迎下载2 .在a .a2bx1 .1x2.3 中为二次根式的个数有 个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 2】如式子1x有意义,就x 的取值范畴为3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：1 .使代数式x x3 有意义的x 的取值范畴为（）4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.x>3b .x 3c. x>4d . x3 且 x 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 .使代数式2x2 x1 有意义的x 的取

3、值范畴为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 .假如代数式m1有意义,那么,直角坐标系中点p（ m , n ）的位置在（）mn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.第一象限b.其次象限c .第三象限d.第四象限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 3】如 y=x5 +5x +2021 , 就 x+y=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2举一反三：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 .如x11xxy,就 x y 的值为（）a 1b 1c 2d 3精品学习资料精选学习资料

4、 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 .如 x .y 都为实数,且3 .当 a 取什么值时, 代数式2 a11 取值最小,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y=2x332x4 ,求 xy 的值并求出这个最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 a 为5 整数部分, b 为5 的小数部分,如 217的整数部分为x ,小数部分为y,求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1求 a的值；b2x

5、 21y的值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 7-3 的整数部分为a ,小数部分为b ,就3ab；学问点二：二次根式的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点【学问要点】1. 非负性：a a0 为一个非负数留意：此性质可作公式记住,后面根式运算中常常用到精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.a) 2aa0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平方的形式：aa 2 a0精品学习资料精选学习资料

6、- - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. a2|a|aa0aa0留意：（ 1 ）字母不肯定为正数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）能开得尽方的因式移到根号外时,必需用它的算术平方根代替（ 3）可移到根号内的因式,必需为非负因式,假如因式的值为负的,应把负号留在根号外精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 公式a2|a|aa0与 aa0a 2aa0 的区分与联系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）a2 表示求一个数的平方的算术根,a 的范畴为一切实数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） a 2 表

7、示一个数的算术平方根的平方,a 的范畴为非负数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）a2 和 a 2 的运算结果都为非负的【典型例题】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 4】如 a2b3c2abc40,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 .如m3 n120 ,就 mn 的值为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 .已知x、 y 为实数,且2x13 y20 ,就 xy 的值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 3b

8、3c 1d 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 .已知直角三角形两边x .y 的长满意 x2 4y 25 y6 0 ,就第三边长为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aab14 .如与2b4互为相反数,就2005ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（公式 a 2a a0 的运用）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 5】 化简：a1a3

9、 2 的结果为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.4 2ab .0c .2a 4d .4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：1 .在实数范畴内分解因式:24x3 =； m4m4 =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x49 、 x222 x2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 公式a2aa a0aa0的应用）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 6】已知 x2 、就化简x24x4

10、 的结果为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a . x2b. x2c .x2d . 2x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 .根式32的值为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a -3b 3 或-3c 3d 9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22 .已知 a<0 ,那么a 2a 可化简为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a ab ac 3ad 3a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 .如 22a3,就2a2

11、a3等于（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.52ab.12ac.2a5d.2a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 .如 a 3 0,就化简a 26a94a 的结果为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 1b1c2a 7d7 2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5 .化简4 x24 x12 x名师总结优秀学问点23得（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a）2（b ）4x4（c ） 2（d ） 4x4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 .当 a l 且 a 0 时,化简a 22a1a 2a精品学习资料精

12、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4a1 24a1 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7 .已知 a0 ,化简求值：aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 7】假如表示 a, b 两个实数的点在数轴上的位置如下列图,那么化简a b+ab2的结果等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于（）a 2bb 2bc 2ad 2abaoa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：实数 a 在数轴上的位置如下列图：化简： a1a22 1012精品学习资料精选学习资料

13、 - - - 欢迎下载2【例 8】化简 1xx8x16 的结果为2x-5 ,就 x 的取值范畴为（）（ a） x 为任意实数（ b ） 1x4（ c ） x1（ d ） x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三： 如代数式2a 2a42的值为常数2 ,就 a 的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a 4 a 2 2 a 4 a2 或 a4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 9】假如 aa22a11 ,那么 a 的取值范畴为（）精品学习资料精选学

14、习资料 - - - 欢迎下载a. a=0b.a=1c.a=0 或 a=1d.a1举一反三：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 .假如aa26a93 成立,那么实数a 的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.a0b.a3;c.a3; d.a3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 .如x32x30 ,就 x 的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a） x3（ b）

15、x3（c ） x3（ d） x3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 10】化简二次根式aa2的结果为（）a 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a）a2ba2ca2(d) a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 .把二次根式a1化简,正确的结果为（）a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. ab.ac.ad.a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b2 .把根号外的因式移到根号内：当b 0 时

16、,xx； a11；1 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问点三：最简二次根式和同类二次根式【学问要点】1 .最简二次根式：（ 1）最简二次根式的定义：被开方数为整数,因式为整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号2 .同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后,假如被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式；【典型例题】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 11】在根式 1a 2b2;2x ;35x2xy;427abc ,最简二次根式为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 1 2b 3 4c

17、 1 3d 1 4解题思路：把握最简二次根式的条件；举一反三：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 .45a 、30、2 1 、240b 2 、54、17 a2b 2 中的最简二次根式为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 .以下根式中,不为最简二次根式的为（） a7b 3c12d2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点3 .以下根式不为最简二次根式的为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. a21b. 2 x1c. 2bd.0.1y 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4

18、 .以下各式中哪些为最简二次根式,哪些不为？为什么？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3a b213ab223x2y 24ab ab5568xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5 .把以下各式化为最简二次根式：x 2y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载112245a 2 b3x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 12】以下根式中能与3 为合并的为 a.8b.27c.25d.12举一反三：1 .以下各组根式中,为可以合并的根式为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.3和18b.3和

19、13c.a2b和ab2d.a1和a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 . 在 二 次 根 式 ： 12 ； 2 3； 2； 27中 , 能 与3合 并 的 二 次 根 式3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 .假如最简二次根式3a8 与172a 能够合并为一个二次根式、 就 a= .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问点四：二次根式运算分母有理化【学问要点】1分母有理化定义： 把分母中的根号化去,叫做分母有理化；2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,

20、假如它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式；有理化因式确定方法如下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载单项二次根式：利用aaa 来确定,如：a与a ,ab与ab ,ab 与ab 等分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点别互为有理化因式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 ； 如 ab 与 ab ,ab与axby与axby 分别互为有理化因式；3分母有理化的方法与步骤：先将分子.分母化成最简二次根式；将分子.分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；最终结果

21、必需化成最简二次根式或有理式；【典型例题】【例 13】 把以下各式分母有理化ab ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1（ 1）4843（ 2）37（ 3）11212（ 4）13550精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 14】把以下各式分母有理化2 x28a2b5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）8x3 y（ 2 ）ab（ 3） x3x（ 4）b2a5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 15】把以下各式分母有理化：精品学习资料精选学习资料

22、- - - 欢迎下载2（ 1 ）2153（ 2）53（ 3 ）333223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.已知x23 ,23y23 ,求以下各式的值： （1 ）23xy （2 ） xxy23 xyy2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.把以下各式分母有理化：aba 2a2b a2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）abab（ 2 ）a2a2（ 3）ba2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小结： 一般常见的互

23、为有理化因式有如下几类：与；与；与；与学问点五：二次根式运算二次根式的乘除【学问要点】1积的算术平方根的性质：积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积；ab =a · b （ a 0, b0） 2二次根式的乘法法就：两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根；a · b ab （ a 0 ,b 0 ） 3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a a=（a0 , b>0 ）b b4二次根式的除法法就：两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学

24、问点a a=（a0 , b>0 ）b b留意 ：乘.除法的运算法就要敏捷运用,在实际运算中常常从等式的右边变形至等式的左边,同时仍要考虑字母的取值范畴,最终把运算结果化成最简二次根式【典型例题】22【例 16】化简精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1916216813521549x y x0、 y0 51 × 6232精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例17 】运算（ 1 ）（ 2）（ 3 ）（ 4 ）（ 5）（ 6）（7）（ 8）【例 18】化简：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3164264b22a9a0、 b09x32x64y0、

25、y5x042x169y0、 y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 19】运算： 11233122831141664（4 ）8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx【例 20】能使等式x2x2 成立的的x 的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a . x2b. x0c. 0x2d.无解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点学问点六：二次根式运算二次根式的加减【学问要点】需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减,被开方数不变；留意：对

26、于二次根式的加减,关键为合并同类二次根式,通常为先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数【典型例题】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 20】运算（ 1）3217520.531227； （2 ）101220543245；53457精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）32117531418532；（ 4 ）113326327284814723247精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 21】 （ 1 ） 3xy4x2y2（ 2）abab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xy4x4 yabab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1（ 3）327a 3a23a3aaa34108a（ 4） a1a4bab12b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载335xyyxayxxy（ 5）81a5aa4a（ 6 ）xy2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问