空间平面方程的求法_论文

1、空间平面方程的求法1、用参数方程题fi的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平ifii的两个方位矢虽,冇的题型是要 求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。%1 矢量式参数方程 7 =to +t示 +t2r 其中e =x1,y1,z1, £ =x2,y2,z2兀=兀。+_x| +r2x2%1 处标式参数方程 y =儿+也+t2y2z = 5 +az| +t2z2例、写出下面的参数方程:通过点a(2,3,l)并平行于可=(2,-1,3),02 =(3,0,-1)x = 2 + 2u + 3v解：所求的参数方程为y =z = i + 3u-v例2、证明矢量v =

2、 x,k,z平行于平ax + by + cz + d = 0的充要条件为：ax+by + cz = 0d bx =ua a证明：不妨设ar + by + cz + q = 0屮的aho,把这平面的方程化为参数式：=儿所以平面的两方位矢最是一1,0与-0,1,从而0,1共而，或aa,a,v = x,y,z与己知平而共而的充要条件为0与-1,0 a,xacaz0 =0,即 ax +by + cz = o.1如果在直角处标系下，那么山于平而的法矢量为n = a,b,c所以0平行于平而的充要条 件为 7?-v =0,即 ax +by + cz = o.2、用点位式方程题冃会给出平面的两个方位矢虽的坐标

3、以及平面上的一个已知点。兀一兀0 )'一儿 z 5x1 乙 z =03、用三点式方程题1=1的条件是平面上的三个已知点0兀一坷)'一'1 z z 兀2一坷)2 一 x=0d -兀 1 儿-x s - z例3、已知三处形顶点为a(0,7,0),b(2, l,l),c(2,2,2),求平行于三角形abc所在 的平面且与它相距为2个单位的平面方程.xy + 7z解：山已知，得261=0,2 92所以三角形abc所在的平面方程为3x 2y + 6z 14 = 0.设与这个平而相距2个单位的平而方程为ax + by + cz + d = 0 由于兄=-*-所以d =0,0 =2&

4、amp;7,1因此所求的平面方程为3兀-2y + 6z = 0, 3兀2y + 6z 28 = 04、用一般式方程ax + by-cz + d = 0 (a,b,c 不全为零，d =- (axo+byo+czo)注:在笛卡尔坐标系下，每个平而是含有兀,的三元一次方程。反之，该三元一次方 程表示一个平面，且系数a.b.c组成平面的法向量,即二a,b,c%1 平面过原点的充要条件是d = 0%1 平面过z轴的充要条件是(？ = 0,0 = 0平面过x轴的充要条件是a = 0,0 = 0平面过y轴的充要条件是b = 0.0 = 0平面平行于z轴的充要条件是0 = 0,q工0.平面平行于x轴的充要条件

5、是人=0, d工0平面平行于y轴的充要条件是b = 0,d0例4、求通过点(2, -1, 1)与点(3, -2, 1) r平行于z轴的平而的方程。解：设所求平面方程为ax+ by + d = qf由已知条件得严" + d = °3a-2b + d = 0由此a : b : d = 1:1: (-1),所以所求的平面方程为例5、求通过点(1, 1, 1)与点(1, 0, 2)且垂直于平面x + 2y z 6 = 0的 平面的方程。解：设所求平面方程为ax + by + cz + d = 0i写出这个平面过已知两点且垂直于已知平血的条件c i4 + b + c + d = 0j

6、 a + 2c + d = 0 l a + 2b-c = 0解z得，a = -b = -c = d,于是所求平面方程为x-y-z+l=05、用截距式方程如果在一般式中都不为零，则可改写成 -+ 2 + - = 1 a b c(a = 2,b = 2,c = 2)由此可知该平面是过三点(0,0,0),(0厶0),(0,0,c). abc平面在兀轴，y轴，及z轴上的截距为a,b,c.例6、设平面在空间直角坐标系的第一挂限的部分与三个坐标平面所构成四面体的体积为1,并且在三个坐标轴上的截距之比是q : b : c = 3 : 2 :1,截距z和为6,求该平面的方程。 解：设所求平面方程为 -+ 2

7、+ - = 1,a b crcabc) = 16依题意，a,b,c应满足a + b + c = 6a: b:c = 3:2:1令a = 3t,b = 2t,c = t,代入上式，解得t=l,故所求平而的方程为+=13 21例7、求三个平面与坐标平面重合，而与原点相对的顶点在平面3x + y-2z-18 = 0上的立方体的棱长.解：所给的平而可化为截距式方程为- + + = 0,所以截距分别为6,18-9 ,618-9因此，立方体在这个平面上的顶点可设为(a,a-a(a > 0),得a = 3.所以原点与点(3,3,-3)连线所形成的立方体的体对角线长度为历，因此所求的立方体的棱长为3例8

8、、求通过点4(4,3,2)且在各处标轴上截取等长线段的平面的方程.分析：所给的条件是在各坐标轴上截取的线段的长度相等，所以求解过程屮应该注意 截距冇正负多种情况.解：当平面在x,y,z轴上的截距都为正时4 32可设平面方程为- + - + - = 1,m = 9a a a所以平面方程为兀+y+z-9=0当平面在轴上的截距为正，在z轴上的截距为负时，432可设平面方程为一+= 1,得a = 5a a a所以平面方程为x+y-z-5=0当平面在x,z轴上的截距为正，在y轴上的截距为负时，432可设平而方程为+ - = 1,得a = 3a a a所以平面方程为x-y+z3=0当平面在y, z轴上的截

9、距为正，在兀轴上的截距为负时，432可设平面方程为一一 + - + - = 1,得a二1a a a所以平面方程为x - y - z +1 = 06、用法式方程坐标式法式方程xcosa + ycos0 + zcosy - p = 0 ,( p为原点到该平面的距离)例9、把平面兀的方程3x 2y + 6z + 14 = 0化为法式方程，求自原点指向平面兀的单位法欠量及其方向余弦。解:因为 a = 3,b = -2,c = 6,£> = 14 >0. a2所以取法式化因子兄二_j_-刖+肝+l 7 *将已知的一般方程乘上2二即得法式方程：73丄26777原点指向平面龙的单位法矢

10、最为=7 77它的方向余弦为326777点法式方程a(x - x。) +- y°) + c(z - %) = 0注i :在该方程小若没有常数项则平而经过原点。如果缺少一个有坐标的项，则 平面与相应坐标轴平行；如果同吋缺少常数项和一个有坐标的项，则平面 经过和应处标轴。如果缺少两个有处标的项，则平面与所缺项对应的两个 轴的坐标平面平行。若果缺少两个坐标项及常数项，则平面与具屮一个坐 标平而重合。最示如果所有的坐标项都没有，而常数项异于0,则方程没 冇意义。根据以上的六项注意，可以根据题h中给出的平ifli的特点设方程， 使问题简化或者去验证所求出的方程是否符合条件。注ii：在空间直角坐

11、标系中利用点法式是确定平面方程的基本方法。所以如果确定了平 面上的一点及其法矢量，就能人能够确定平面方程，因此问题的关键在于找出平面上的一点 以及平而的法矢量。在下列例题中就是根据不同的己知条件求平而方程。已知条件一：过一直线与一平面垂直，确定方程。(过两点与一平面垂直，确定方程。对于这种情形只要将一肓两点连接起来得一肓线问题就 转化为上述情形。)r 1 y 2 z + 1例10、求经过直线 =2±=3f k垂直于平面2x+y z + 3 = o。分析：因为平面经过直线,则一定经过直线上的点(1, 2, -l)o而且平面的法矢量与 肓线的方向矢最垂在，又因为所求平面垂直于已知平面，所

12、以两平面的法矢量也垂肓，于是 所求平面的法矢量丘可以由已知平面的法矢量弘与已知肓线的方向适量0的叉积来确定。解：取n=n1xv = 5-7?3,所求平面方程为5(x-l) 7(y-2) + 3(z + l) = 0已知条件二：过一点且垂直于二平面，确定方程。(过一点且与而肓线平行，确定方程。对于这种情形所求平面的法矢量垂肓于已知二肓线的 方向矢量，求解过程类比上述悄形。)例11、做平而通过原点，且垂直于两平而兀一)，+乙一7二0和3兀+ 2一122 + 5二0。分析：所求平面垂直于已知的二平面，则所求平面的法矢量一定垂直于己知二平面的法矢量，所以所求平面的法矢量丘等于已知二平面的法矢量的叉积。

13、解：丘二=10,15,5由点法式，所求方程：2兀+ 3y + z = 0已知条件三：过一直线另-轴或者直线平行，确定方程。(过两点与-轴或者直线平行，确定方程，同样的将该情形中已知两点连接成一条直线就变 成上述情形。)例12、求通过直线厶：口 =上旦=土，且平行于直线厶2 ：匕=上二？=三的 2-12-213平面方程。分析：所求平面通过肓线厶所以所求平面的法矢量斤一定垂肓于玄线厶的方向矢最vr而且过厶上的点(1, -2, 3),平面的法矢量也垂直于厶2的方向矢量，所以所求平 面的法矢量n = v xv2解：h = -5, -10, 0由点法式得：兀 + 2y + 3 = 0已知条件四：过一点和轴或者直线，确定方程。(过二平行直线，确定方程，该情形很容易转化为上述情形。)(过二相交肓线，确定方程，该情形屮可以取已知两直线上的的任一点为所求点，取这两条 直线的方向适量的叉积为平面的法矢虽。)例13、求通过点(1, 3, -1)和直线口 =出1 = 口0-12分析：所求的平面通过己知直线，所以一淀通过直线上的点m°(3,-1,0),而且通过已知点m(l,3,-1,),所