纯策略纳什均衡

1、纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡(Pure Strategy Nash Equilibrium )列编辑什么是纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡是指在一个纯策略组合中，如果 给定其他的策略不变，该节点不会单方面改变自己的 策略，否则不会使节点访问代价变小。编辑存在纯策略纳什均衡的有限次重复博弈1如果重复博弈中有惟一纯策略纳什均衡，那么我 们怎么找出它的纯策略纳什均衡呢？首先看下面囚徒 的困境的博弈的例子：-S-5囚徒I iSCl不坦仔囚甚2坦白 不坦白園E囚徒的困境的博弈我们现在考虑该博弈重复两次的重复博弈，这可 以理解成给囚徒两次坦白机会，最后的得益是两个阶 段博弈中各自得益之和在两次博弈过程中，双方

2、知 道第一次博弈的结果再进行二次博弈用逆推归纳法 来分析，先分析第二阶段，也就是第二次重复时两博 弈方的选择很明显，这个第二阶段仍然是两囚徒之 间的一个囚徒的困境博弈，此时前一阶段的结果已成 为既成事实，此后又不再有任何的后续阶段，因此实 现自身当前的最大利益是两博弈方在该阶段决策中的 惟一原则因此我们不难得出结论，不管前一次的博弈得到 的结果如何，第二阶段的惟一结果就是原博弈惟一的 纳什均衡 （坦白，坦白 ） ，双方得益 （-5 ，-5） 现在再回到第一阶段，即第一次博弈理性的博 弈方在第一阶段就对后一阶段的结局非常清楚，知道 第二阶段的结果必然是 （坦白，坦白 ） ，因此不管第一 阶段的博

3、弈结果是什么，双方在整个重复博弈中的最 终得益，都将是第一阶段的基础上各加 -5 因此从第 一阶段的选择来看，这个重复博弈与图 l 中得益矩阵 表示的一次性博弈实际上是完全等价的-10,-10鼻严】3-13-5闪链 1不坦Cl闪徒2坦a 不姐口图2惟-ftses均衡的有限次于是我们可以得出惟一纯策略均衡的有限次重复 博弈的结果就是重复原博弈惟一的纯策略纳什均衡， 这就是这种重复博弈惟一的子博弈完美纳什均衡路 径.如果重复博弈中有多个纯策略纳什均衡，设某一 市场有两个生产同样质量产品的厂商，他们对产品的 定价同有高(H)、中(M)、低(L)三种可能设高价时市 场总利润为10个单位，中价时市场总利

4、润为6个单 位，低价时市场总利润为2个单位再假设两厂商同 时决定价格，价格不等时低价格者独享利润，价格相 等时双方平分利润这时候两厂商对价格的选择就构 成了一个静态博弈问题.我们看一个三价博弈的重复 博弈的例子：Hr命M2L厂裔1 H0t60,2 1M 30*2缶02弋h 1S3三价博弈的置*傅彝显然，这个得益矩阵有两个纯策略纳什均衡 (M， M)和(L, L)，我们也可以看出实际上两博弈方最大的 得益是策略组合(H, H),但是它并不是纳什均衡.现 在考虑重复两次该博弈，我们采用一种触发策略 (Trigger Strategy) ：博弈双方首先试图合作，一旦 发觉对方不合作也用不合作相报复的

5、策略.使得在第 一阶段采用(H, H)成为子博弈完美纳什均衡，其双方 的策略是这样的：博弈方1:第一次选H如果第一次结果为(H, H), 则第二次选M,如果第一次结果为任何其他策略组 合，则第二次选择 L.博弈方 2:同博弈方 1.在上述双方策略组合下， 两次重复博弈的路径一定为第一阶段(H, H),第二阶 段(M, M),这是一个子博弈完美纳什均衡路径因为 第二阶段是一个原博弈的纳什均衡，因此不可能有哪 一方愿意单独偏离；其次，第一阶段的(H, H)虽然不 是原来的博弈纳什均衡，但是如果一方单独偏离，采 用M能增加1单位得益，这样的后果却是第二阶段至 少要损失 2 单位的得益，因为双方采用的

6、是触发策 略，即有报复机制的策略，因此合理的选择是坚持 H.这就说明了上述策略组合是这个两次重复博弈的子博 弈完美纳什均衡.从上述的例子我们可以看出，有多个纯策略纳什 均衡的博弈重复两次的子博弈完美纳什均衡路径是， 第一阶段采用（H, H），第二阶段采用原博弈的纳什均 衡（M, M）.如果这个重复博弈重复三次，或者更多次，结论 也是相似的，仍然用触发策略，它的子博弈完美纳什 均衡路径为除了最后一次以外，每次都采用（H，H）， 最后一次采用原博弈的纳什均衡（M, M）.编辑存在纯策略纳什均衡的无限次重复博弈1与有限次重复博弈一样，无限次重复博弈也是基 本博弈的简单重复，但是无限次重复博弈没有最后

7、一 次重复，因此无限次重复博弈与有限次有一些不同.任何博弈中博弈方策略选择的依据都是得益的大 小，这在重复博弈中仍然是成立的.但是重复博弈又 与一次性博弈有所不同，因为在重复博弈中，每一阶 段都是一个博弈，并且各博弈方都有得益，因此对于重复博弈，我们要计算的就是博弈结束时的一个总的 得益由于前一次博弈和后一次博弈之间会有损失， 因此我们采用一种方法，就是将后一阶段的得益折算 成当前阶段得益的（现在值）的贴现系数a有了贴现 系数a那么在无限次重复博弈中，某博弈方各阶段 得益为n, n,.,则该博弈方总得益的现在值为：7T = TTj + $72 + 摩码 + =£护一1对于存在惟一纯策

8、略纳什均衡博弈的无限次重复 博弈，我们从下面的例子来看：博密方2博弹方1 H4,40.5L5t 0h 1存在惟一塊策時纳什均衡博弈的无限次复博奔其中博弈方1和博弈方2分别表示两个厂商，H 和L分别表示高价和低价显然，该博弈的一次性博 弈有惟一的纯策略纳什均衡（L，L），但是这个纳什均 衡并不是最佳策略组合，因为策略组合（H，H）的得益 （4，4）比（1，1）要高的多但是由于（H，H）不是该博 弈的纳什均衡，所以在一次性博弈中不会被采用根 据上面的分析，此博弈在有限次重复博弈并不能实现潜在的合作利益，两博弈方在每次重复中都不会采用 效率较高的（H, H）.为了实现效率较高的合作利益（H, H）,

9、假设两博弈方都采用触发策略，也即报复性策略： 第一阶段采用H,在第t阶段，如果前t-l阶段的结 果都是（H, H）,则继续采用L假设博弈方1已经采 用了这种策略，现在我们来确定博弈方 2在第一阶段 的最优选择.如果博弈方2采用L,那么在第一阶段 能得到5,但这样会引起博弈方1 一直采用L的报复， 自己也只能一直米用L,得益将永远为1,总得益的现 在值为7T=5+lxtf+lxi +“.=5| 10如果博弈方2采用H则在第一阶段他将得4,下 一阶段又面临同样的选择若记 V为博弈方2在该重 复博弈中每阶段都采用最佳选择的总得益现在值，那 么从第二阶段开始的无限次重复博弈因为与从第一阶 段开始的只差一阶段，因而在无限次重复时可看作相 同的，其总得益的现在值折算成第一阶段的得益为 dW,因此当第一阶段的最佳选择是 H时，整个无限 次重复博弈总得益的现在值为V -歹一貝十斷:卞了或者4 c ,§£ 1因此，当7解得'【时，博弈方2会采用H策略，否则会采用L策略也就是说当1 -4>co时，博弈方2对