圆中的压轴题VIP

1、圆中的压轴题常考知识点：1、说明某条线是切线（两种常考方案，一种是说明垂直，另一种是说明距离相等）2、利用 K 形相似或其他特殊条件（等腰三角形，直角三角形）求解线段长度3、利用切线性质求解线段长度例 1：如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P（4， 2）是 O 外一点，连接 AP，直线 PB 与 O 相切于点 B ，交 x 轴于点 C（ 1）证明 PA 是 O 的切线；（ 2）求点 B 的坐标；（ 3）求直线 AB 的解析式解：（ 1）证明：依题意可知，A（ 0， 2） A（ 0， 2）， P（ 4，2）， AP x 轴 OAP=90

2、6;，且点 A 在 O 上， PA 是 O 的切线；（ 2）解法一：连接 OP， OB，作 PE x 轴于点 E， BD x 轴于点 D ， PB 切 O 于点 B， OBP =90°，即 OBP = PEC ，又 OB=PE=2， OCB= PEC OBC PEC OC=PC （或证 Rt OAP OBP，再得到 OC=PC 也可）设 OC=PC =x，则有 OE=AP =4， CE=OE OC=4 x，在 RtPCE 中， PC 2=CE2+PE2， x2=(4 x)2+22，解得 x= 5 ，4 分2 BC=CE =4 5 = 3 ，221113156OB·BC=OC

3、·BD ，即×2× =× ×BD，BD =5222222 OD= OB2BD2= 436=8，255由点 B 在第四象限可知B（ 8 ，6 ）；5 5解法二：连接OP，OB，作 PE x 轴于点 E， BD y 轴于点 D ，PB 切 O 于点 B， OBP=90°即 OBP= PEC又 OB=PE =2 ， OCB= PEC， OBC PEC OC=PC （或证 RtOAP OBP，再得到 OC=PC 也可）设 OC=PC =x，则有 OE=AP =4， CE=OE OC=4 x，在 RtPCE 中， PC2=CE2 PE2, x2

4、=(4 x)2+22，解得 x= 5 ，4 分2 BC=CE=4 5=3， BD x轴 ， COB =OBD ， 又 OBC =BDO= 90°，22 OBCBDO， OB = CB = OC ，即 235BD= 8，OD= 6= 2= 2由点 B 在第6BD OD BOBDBD255四象限可知 B（ 8 ，）；5 5（ 3）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，由 A（ 0， 2），B（ 8 ，6b2,），可得8 kb6；5555b2,直线 AB 的解析式为 y= 2x+2解得2,k【考点解剖】本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数

5、解析式等【解题思路】 （1） 点 A 在圆上，要证PA 是圆的切线，只要证PA OA（ OAP=90°）即可，由 A、 P 两点纵坐标相等可得AP x 轴，所以有 OAP + AOC=180°得 OAP=90°；（ 2） 要求点 B 的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B 到 x 轴、 y 轴的距离，自然想到构造Rt OBD，由 PB 又是 O 的切线，得R t OAP OBP，从而得 OPC 为等腰三角形，在Rt PCE 中 ,PE=OA =2, PC+CE=OE =4,列出关于CE 的方程可求出CE、OC 的长， OBC 的三边的长知道了，就可求出高 BD ,

6、再求 OD 即可求得点 B 的坐标； （ 3）已知点 A、点 B 的坐标用待定系数法可求出直线 AB 的解析式【方法规律】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.例 2：如图所示， AB 是 O 的直径， AE 是弦， C 是劣弧 AE 的中点，过 C 作 CD AB 于点 D， CD 交 AE 于点 F，过 C 作 CGAE 交 BA 的延长线于点 G（ 1）求证： CG 是 O 的切线（ 2）求证： AF=CF （ 3）若 EAB=30° ， CF=2 ，求 GA 的长

7、考点 ：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质分析： （ 1）连结OC，由C 是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC AE ，而CG AE ，所以CG OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（ 2）连结 AC 、BC ，根据圆周角定理得 ACB=90° ， B= 1，而 CD AB ，则 CDB=90° ，根据等角的余角相等得到 B= 2，所以 1= 2，于是得到 AF=CF ；（ 3）在 Rt ADF 中，由于 DAF=30° ，FA=FC=2 ，根据含 30 度的直角三角形三边的关系解：得到 DF=1 ， AD= ，

8、再由 AF CG，根据平行线分线段成比例得到 DA ：AG=DF ： CF 然后把 DF=1 ， AD= ， CF=2 代入计算即可（ 1）证明：连结 OC，如图， C 是劣弧 AE 的中点， OC AE ， CG AE ， CG OC， CG 是 O 的切线；（ 2）证明：连结 AC 、 BC ， AB 是 O 的直径， ACB=90° ， 2+ BCD=90° ，而 CD AB ， B+ BCD=90° ， B= 2， AC 弧 =CE 弧， 1= B ， 1= 2， AF=CF ；（ 3）解：在Rt ADF中，DAF=30° ， FA=FC=2 ，

9、 DF=AF=1 ， AD=DF=， AF CG， DA ： AG=DF ： CF，即： AG=1 ： 2， AG=2点评： 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定例 3：在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （ 6， 0），点 B（ 0， 6），动点 C 在以半径为 3 的 O 上，连接 OC，过 O 点作 OD OC，OD 与 O 相交于点 D（其中点 C、O、D 按逆时针方向排列） ，连接 AB（1）当 OCAB 时， BOC 的度数为45°或 135° ；（2）连接 AC，BC ，当点 C

10、 在 O面积的最大值（3）连接 AD ，当 OCAD 时，上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的求出点 C 的坐标；直线BC 是否为 O 的切线？请作出判断，并说明理由考点 ：圆的综合题专题 ：综合题分析： （ 1）根据点 A 和点 B 坐标易得 OAB 为等腰直角三角形， 则 OBA=45° ，由于 OC AB ，所以当 C 点在 y 轴左侧时， 有 BOC= OBA=45° ；当 C 点在 y 轴右侧时， 有 BOC=180° OBA=135° ；（ 2）由 OAB 为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到 AB

11、 的距离最大时， ABC 的面积最大，过 O 点作 OEAB 于 E，OE 的反向延长线交O于C，此时 C 点到 AB 的距离的最大值为CE 的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算 ABC 的面积；（ 3）过C 点作CF x轴于F，易证Rt OCF Rt AOD ，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C 点坐标；由于OC=3 ，OF=，所以COF=30° ，则可得到BOC=60° ， AOD=60° ，然后根据 “SAS”解：判断 BOC AOD ，所以 BCO= ADC=90° ，再根据切线的判定定理可确定直线 B

12、C 为 O 的切线解：（ 1）点 A （ 6， 0），点 B（ 0，6）， OA=OB=6 ， OAB 为等腰直角三角形，OBA=45° ， OCAB ，当 C 点在 y 轴左侧时，BOC= OBA=45° ；当 C 点在 y 轴右侧时， BOC=180° OBA=135° ；（ 2） OAB 为等腰直角三角形， AB=OA=6，当点C 到 AB 的距离最大时，ABC 的面积最大，过 O 点作 OE AB 于 E， OE 的反向延长线交 O 于 C，如图，此时 C 点到 AB 的距离的最大值为 CE 的长， OAB 为等腰直角三角形， AB=OA=6，

13、OE=AB=3， CE=OC+CE=3+3， ABC的面积 =CE?AB=×（3+3） ×6=9+18当点大值为C 在 O 上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，9+18 ABC的面积最大， 最（ 3）如图，过C 点作 CF x 轴于 F， OC AD ， ADO= COD=90° ， DOA+ DAO=90° 而 DOA+ COF=90° ， COF= DAO ， Rt OCF Rt AOD ，=，即=，解得 CF=，在 RtOCF中， OF=， C点坐标为（，）；直线BC是O 的切线理由如下：在Rt OCF中， OC=3 ， OF=，

14、 COF=30° ， OAD=30° ， BOC=60° ， AOD=60° ，在 BOC 和 AOD 中， BOC AOD （SAS）， BCO= ADC=90° ， OC BC，直线BC 为 O 的切线点评： 本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算例 4：【新定义问题】对于平面直角坐标系x Oy 中的点P 和 C，给出如下定义：若C 上存在两个点A ， B，使得APB=60° ，则称P为C的关联点。已知点D（1，1），E（ 0，-2）， F（ 23

15、， 0）22（1）当 O的半径为1 时，在点D， E，F 中， O 的关联点是_ ；过点F 作直线交y 轴正半轴于点G，使GFO=30° ，若直线上的点P（ m ， n ）是O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围。【解析】 (1) D、E ； 由题意可知，若P 点要刚好是圆C 的关联点；需要点 P 到圆 C 的两条切线PA和 PB 之间所夹的角度为 60 ；由图 1可知APB60 ，则CPB30 ，连接 BC ，则 PCBC2BC2r ；CPBsin若 P 点为圆 C 的关联点；则需点P 到圆心的距离d 满足0d

16、2r ；由上述证明可知，考虑临界位置的P 点，如图2；点 P 到原点的距离 OP2 1 2；过 O 作 x 轴的垂线 OH ，垂足为 H ；PtanOGFOF23OG23 ；OGF60；AB OHOG sin603 ；C sinOPHOH3 ；yOP2图 1OPH60；G(P1)H易得点 P1 与点 G 重合，过 P2 作 P2 Mx 轴于点 M ；P2易得P2 OM30；OMFx OMOP cos303 ；图 22从而若点 P 为圆 O 的关联点，则P 点必在线段 P1 P2 上； 0m3 ；(2) 若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF

17、 的中点；考虑临界情况，如图 3；即恰好 E、 F 点为圆 K 的关联时，则 KF 2KN1EF 2；2此时 r 1；y故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，F这个圆的半径 r 的取值范围为 r1.xKNE图 3【点评】 “新定义 ”问题最关键的是要能够把“新定义 ”转化为自己熟悉的知识，通过第(2) 问开头部分的解析，可以看出本题的“关联点 ”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点 .了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.例 5：射线 QN 与等边 ABC 的两边 AB ，BC 分别交于点 M ， N，且 AC QN， AM=MB=2cm ，QM=4cm

18、 动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P 为圆心， cm 为半径的圆与 ABC 的边相切（切点在边上） ，请写出 t 可取的一切值（单位：秒）考点 ：切线的性质；等边三角形的性质专题 ：分类讨论分析： 求出 AB=AC=BC=4cm ，MN=AC=2cm ， BMN= BNM= C= A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；解答： 解： ABC 是等边三角形，AB=AC=BC=AM+MB=4cm， A= C= B=60°，QN AC ， AM=BM N 为 BC 中点， MN=AC=2cm ， BMN=

19、BNM= C= A=60°，分为三种情况：如图1，当 P 切 AB 于 M时，连接 PM，则 PM=cm， PMM=90°， PMM= BMN=60° ， MM=1cm，PM=2MM=2cm，QP=4cm 2cm=2cm ，即 t=2；如图 2，当 P 于 AC 切于 A 点时，连接PA，则 CAP= APM=90° ， PMA= BMN=60° ，AP=cm，PM=1cm ， QP=4cm1cm=3cm ，即 t=3 ，当当 P 于 AC 切于 C 点时，连接PC，则 CPN= ACP=90°， PNC= BNM=60°

20、， CP=cm，PN=1cm， QP=4cm+2cm+1cm=7cm ，即当 3t 7时， P 和 AC 边相切；如图 1，当 P 切 BC 于 N时，连接PN3则 PN= cm， NN=90°， PNN= BNM=60° ，NN=1cm， PN=2NN=2cm ， QP=4cm+2cm+2cm=8cm ，即 t=8；故答案为： t=2 或 3t 7或 t=8点评：本题考查了等边三角形的性质， 平行线的性质， 勾股定理， 含 30 度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊（2013?巴中） 如图，在平面直 角坐标系

21、中， 坐标原点为 O，A 点坐标为 （ 4，0），B 点坐标为 （1， 0），以 AB 的中点 P 为圆心， AB 为直径作 P 的正半轴交于点 C（1）求经过A 、B 、 C 三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设 M 为（ 1）中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式；（3）试说明直线MC 与 P 的位置关系，并证明你的结论考点 ：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定245761专题 ：计算题分析： （ 1）求出半径，根据勾股定理求出C 的坐标，设经过A 、 B、 C 三点抛物

22、线解析式是y=a（ x 4）（ x+1 ），把 C（ 0， 2）代入求出a 即可；（ 2）求出 M 的坐标，设直线MC 对应函数表达式是y=kx+b ，把 C（ 0，2）， M（，）代入得到方程组，求出方程组的解即可；（ 3）根据点的坐标和勾股定理分别求出 PC、 DC、PD 的平方，根据勾股定理的逆定理得出 PCD=90 °，即可求出答案解答： 解：（ 1） A （ 4， 0）， B （ 1， 0）， AB=5 ，半径是PC=PB=PA=， OP= 1=，在 CPO 中，由勾股定理得：OC=2， C（ 0， 2），设经过 A 、B 、 C 三点抛物线解析式是y=a（ x 4）（x+

23、1 ），把 C（ 0， 2）代入得： 2=a（ 0 4）（ 0+1 ）， a= ， y= （x 4）（ x+1） = x2+ x+2 ，答：经过A、 B、C 三点抛物线解析式是y=x2+x+2（ 2） y=x2+ x+2= +，M （ ，），设直线 MC 对应函数表达式是y=kx+b ，把 C（0，2），M（ ，）代入得：，解得： k=， b=2 ， y= x+2 ，y=x+2 答：直线MC 对应函数表达式是y=x+2 （ 3） MC 与 P 的位置关系是相切证明：设直线 MC 交 x 轴于 D，当 y=0 时， 0=x+2， x= ，OD= ， D（ ， 0），在 COD 中，由勾股定理得： CD 2=22+=，P