2根与系数的关系

1、第二章 一元二次方程根与系数的关系2.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2bx c0（a0），用配方法可以将其变 形为b 2 b2 4ac（x ） 2 2a 4a因为 a0，所以， 4a2>0于是（1）当 b24ac>0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根b b2 4ac x1， 2；2a（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数 根b x1 x2 ； 2a3）当b24ac<0时，方程的右端是一个负数， 而方程的左边 （x 2ba）2一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2 bxc0

2、（a0）的根的情况可以由 b2 4ac 来判定，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式 ， 通常用符号 “来”表示综上所述， 对于一元二次方程 ax2bxc 0（ a0），有（1）当 >0 时，方程有两个不相等的实数根b b2 4ac x1，2；2a（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根b x1 x2 ；2a（3）当 < 0 时，方程没有实数根例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根 22（1）x23x30；（2）x2 ax10；（3）x2ax （a1）0；（4）x22xa0解：（1）

3、324×1×3 3<0，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a24×1×（ 1）a2 4> 0，所以方程一定有 两个不等的实数根x1a a2 42x2a a2 43）由于该方程的根的判别式为a24×1×（a1）a24a4（a2）2，所以， 当 a2时， 0，所以方程有两个相等的实数根x1x21； 当 a2时， >0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为 224×1×a44a4（1a），所以当 >0，即 4（1a） >0，即 a<1 时

4、，方程有两个不相等的实数根x1 1 1 a ， x2 1 1 a ；当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当 <0，即 a>1 时，方程没有实数根说明：在第 3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分类 讨论 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法， 在今后的解题 中会经常地运用这一方法来解决问题2.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2 bxc0（a0）有两个实数根b b2 4ac b b2 4ac， x2，x12a2a则有x1 x2b b

5、2 4ac b b2 4ac 2b b；2a 2a ab b 2 4ac b 2 (b 2 4ac) 4ac c2ab b2 4acx1x22a4a22a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：4a2 ax1x2 b ，x1·x2a如果 ax2 bxc0（ a0）的两根分别是 x1，x2，那么 c 这一关系也被称为 韦达定理a特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq 0，若 x1，x2 是其 两根，由韦达定理可知x1x2 p，x1·x2q，即p （x1x2）， q x1·x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2（x1x2）xx1·

6、;x20，由于 x1，x2 是一 元二次方程 x2pxq0 的两根，所以， x1，x2 也是一元二次方程 x2（x1x2）x x1 ·x20因此有以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是2x （x1 x2）xx1·x202例 2 已知方程 5x2 kx 6 0的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再 由方程解出另一个根 但由于我们学习了韦达定理， 又可以利用韦达定理来解题， 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项， 于是可以利用两根之 积求出方程的另一个根，再由两根之

7、和求出 k 的值解法一： 2 是方程的一个根， 5×2 k×2 6 0， k 7 所以，方程就为 5x27x60，解得 x1 2，x2 3 5 所以，方程的另一个根为 3 ，k的值为 75解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1 6 ，x1 355由 （ 3 ） 2 k ，得 k755所以，方程的另一个根为 3 ，k的值为 75例 3 已知关于 x 的方程 x2 2（m2）xm240 有两个实数根，并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值分析： 本题可以利用韦达定理， 由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到 关于 m 的方程，从而解得 m 的值但

8、在解题中需要特别注意的是，由于所给的 方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1， x2是方程的两根，由韦达定理，得2x1x22（m 2），x1·x2 m 422 x1 x2 x1·x2 21，2（x1x2）23 x1·x2 21，即 2（m2）23（m24）21，化简，得 m216m170，解得 m 1，或 m17当 m 1 时，方程为 x26x50， >0，满足题意； 22当 m17 时，方程为 x230x2930，3024×1×293<0，不合题意，综上， m 17说明：（1）在本题的解题过程中， 也可以先研究满

9、足方程有两个实数根所对 应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m的值， 取满足条件的 m 的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的 判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根例 4 已知两个数的和为 4 ，积为 12 ，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数 也 可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一： 设这两个数分别是 x，y，则 x y 4，xy 12由，得 y4x， 代入，得x（4x） 12，即x2 4x 120，x1 2，x26x12y1 6,

10、 或 xy22 6,2.因此，这两个数是 2和 6解法二： 由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120的两个根解这个方程，得x12，x26所以，这两个数是 2和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现， 解法二（直接利用韦达定理来解题） 要比解法一简捷例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x 3 0 的两根（1）求| x1x2|的值；11（2）求 12 12 的值； x1 x2（3）x13x2321）5 x1 x22| x1x2|2解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x 5x3 0 的两根，3x1x222 2 2 5 2 3 x1 + x2 2 x1x2 (x1 x2) 4

11、 x1x2 ( ) 4 ( ) 22256 49， 6，4| x1 x2| 7 25 2 3 25（x1 x2）2 2x1x2 （ 25）2 2 （ 23） 245 3 37 （ 3）29 9243 3 2 2 2x1 x2 （x1x2）（ x1 x1x2 x2 ） （x1x2） （ x1x2） 3x1x2（ 25 ） ×（ 52 ）23×（ 32 ） 21852 2 2 8 说明：一元二次方程的 两根之差的绝对值 是一个重要的量，今后我们经常会 遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2 bx c 0（

12、a0），则b b2 4ac b bx1， x22）3）1 1 x12 x222 2 2 2 x1 x2x1 x2(x1x2 )2元二2 4ac ， 2a ，2 4ac ， 2a ，| x1x2|b b2 4acbb2 4ac2 b2 4ac2a2a2ab2 4 a c|a | a| |于是有下面的结论：若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2 bxc0（a0），则| x1 x2| （其 |a|中 b2 4ac） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时， 可以直接利用上面的结论 例 6 若关于 x的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、 另一根小于零， 求实数 a 的取值范围解：设

13、 x1，x2是方程的两根，则 x1x2a 4<0， 且 （1）2 4（a4）>0由得a<4，由得a 的取值范围是 a<4 练习 1方程 x2 2 3kx 3k2 0 的根的情况是 若关于 x 的方程 mx2 （2m1）xm0有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围 是17a<147 2 1 1若方程 x23x 10 的两根分别是 x1 和 x2，则 1 1 x1x2方程 mx2x2m0（ m0）的根的情况是以 3和 1为根的一元二次方程是 已知 a2 8a 16 |b 1| 0，当 k 取何值时，方程 kx2axb 0 有两个不相等的 实数根？已知方程 x23

14、x10的两根为 x1和 x2，求（x13）（ x23）的值习题 2A 组1已知关于 x 的方程 x2 kx 2 0的一个根是 1，则它的另一个根是下列四个说法： 方程 x22x 70 的两根之和为 2，两根之积为 7； 方程 x22x 7 0 的两根之和为 2，两根之积为 7； 方程 3 x2 70 的两根之和为 0，两根之积为 7 ；3 方程 3 x2 2x0 的两根之和为 2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是 关于 x的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a的值是 方程 kx2 4x 10 的两根之和为 2，则 k方程 2x2x4 0 的两根为 ，则 22已知关于 x

15、 的方程 x2ax3a0 的一个根是 2，则它的另一个根是方程 2x22x10 的两根为 x1 和 x2，则 | x1x2|试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2（2m1） x10 有两个不相等的 实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10 各根的相反数B 组1若关于 x的方程 x2（k21） xk10 的两根互为相反数，则 k的值为 2若m，n是方程 x22005x10的两个实数根， 则 m2n mn2 mn的值等于如果 a，b 是方程 x2 x 10 的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3 的值是已知关于 x 的方

16、程 x2 kx20（ 1）求证：方程有两个不相等的实数根；（ 2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2（x1 x2） x1x2，求实数 k 的取值范围 一元二次方程 ax2 bx c 0（ a0）的两根为 x1和 x2求：（ 1） | x1 x2|和（ 2） x13 x23 关于 x 的方程x1 x2 ； ；2x1， x2满足| x1x2|2，求实数 m 的值x2 4x m0 的两根为C 组1已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x7 0 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 若 x1，x2是方程 2x24x10的两个根，则 x1 x2 的值为 x2 x1如果关于 x 的方程 x22（1m）xm20 有两实数根 ， ，则 的取值范围 为已知 a， b， c 是 ABC 的三边长，那么方程cx2 （ab）x c 0 的根的情况4 是若方程 x28xm0 的两根为 x1，x2，且 3x12x218，则 m 已知 x1 ，x2是关于 x的一元二次方程 4kx2 4kx k 1 0 的两个实数根3（）是否存