生活中的几何──欧式几何

1、生活中的几何欧式几何几何学发展简况“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里 “几何”的涵义就完全不同了。“几何”这个词的词义来源 于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和 算术是相似的。在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富 的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概 念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置 关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本 概念。正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗 浅的几何知识。虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验 性的，但是几何学就是建立在这些零散、

2、经验性的、粗浅的 几何知识之上的。几何学史数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里 最基础的分支之一。 古代中国、 古巴比伦、 古埃及、 古印度、 古希腊都是几何学的重要发源地。大量出土文物证明，在我 国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一 看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的 图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器 皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣 的内容，在这里应当提及的是

3、哲学家、几何学家柏拉图和哲 学家亚里士多德对发展几何学的贡献。柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识 受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图 在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对 几何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的 创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几 何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中， 仍是运用三段论的形式来进行推理。但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识 仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门 具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里 得。欧几里得在公元前

4、300 年左右，曾经到亚历山大城教学，是 一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏 拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的 一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推 理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史 上早期的巨著几何原本。几何原本的伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎 的数学体系的最早典范。在这部著作里，全部几何知识都是 从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展开和叙述 的。也就是说，从几何原本发表开始，几何才真正成为 了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 欧几里得的几何原本欧几里得的几何原本共有十三卷，其中第一卷讲三角形

5、 全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角 形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角 形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切 多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第 九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内 容。从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主 要内容已经完全包含在几何原本里了。因此长期以来， 人们都认为几何原本是两千多年来传播几何知识的标准 教科书。属于几何原本内容的几何学，人们把它叫做欧 几里得几何学，或简称为欧式几何。几何原本最主要的特色是建立了比较严格的几何体系， 在这个体系中有四方面主要内容，定义、公

6、理、公设、命题 （包括作图和定理） 。几何原本第一卷列有 23 个定义， 5 条公理，5 条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设， 或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多 年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。 ) 这些定义、公理、公设就是几何原本全书的基础。全书 以这些定义、 公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。 比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求 证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔 细证明。关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归 谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这 时候成立的条件，由此

7、达到证明的步骤；综合法是从以前证 明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保 留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出 和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而 证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。欧几里得几何原本的诞生在几何学发展的历史中具有重 要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系 统和科学方法的学科。从欧几里得发表 几何原本 到现在， 已经过去了两千多年， 尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生 学习数学基础知识的好教材。由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方 法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养

8、、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学 家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本几何原 本，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并 没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而 专心攻读。后来，牛顿于 1664 年 4 月在参加特列台奖学金 考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为 你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这 席谈话对牛顿的震动很大。 于是， 牛顿又重新把 几何原本 从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了 坚实的数学基础。近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几

9、何学，并且应用 几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因 斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候 “几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容 的印象”。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有 很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑 上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中， 爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公 理上：相对原理和光速不变原理。在几何学发展的历史中，欧几里得的几何原本起了重大 的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。 在他写的 几何原本 中， 就是用逻辑的链子由此

10、及彼的展开全部几何学，这项工作， 前人未曾作到。但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家， 都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得 在几何原本中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻 底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线 的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定 义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧 几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在几何 原本中从未提到过这个概念。现代几何公理体系 人们对几何原本中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破 绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国 数学家希尔伯特在总结前人工作的基础

11、上，在他 1899 年发 表的几何基础一书中提出了一个比较完善的几何学的公 理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。 希尔伯特不仅提出了个完善的几何体系，并且还提出了建 立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取 哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的 问题：第一，共存性 （和谐性 ） ，就是在一个公理系统中，各条公理 应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。 第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互 不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。 第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明 本学科的任何新命题。这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的 研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里 得在几何原本提出的体系叫做古典公理法。公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公 理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象 的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性 质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表 具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关 系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所 规定的要求，这就构成了几何学。因此，凡是