平面向量知识点归纳

1、a 、 b 叫做平行向量，记作：平面向量一向量有关概念：1 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。如：2零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的；3单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是4相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量任何向量平行 。提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两

2、个概念：两个向量平行包含两个向量共线条直线重合； 平行向量无传递性 ！（因为有 0 ) ；AB )；| AB|a b ，规定零向量和, 但两条直线平行不包含两三点 A、B、 C 共线AB、AC 共线；6相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是a 。如下列命题：（1）若 ab ，则 a b 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 AB DC，则 ABCD 是平行四边形。 （ 4 ）若 ABCD 是平行四边形，则AB DC 。（ 5）若 ab, bc ，则 a c 。（ 6）若a / b,b / c ，则 a / c 。其中正确的是 _（答：（

3、4）（5）二向量的表示方法 ：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 axiy jx, y，称x, y 为向量 a 的坐标， a x, y叫做向量 a 的坐标表示。如果 向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1、2 ，使 a=

4、1 e1 2 e2。如（ 1）若 a(1,1),b(1,1),c (1,2)，则 c _（答： 1 a3 b ）；22（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.e1(0,0), e2(1, 2)C.e1(3,5), e2(6,10)B.e1( 1,2), e2(5,7)D.e1(2, 3),e2( 1,3)24（答： B）；（3）已知 AD,BE 分别是 ABC 的边 BC, AC 上的中线 , 且 ADa, BEb , 则 BC 可用向量a, b 表示为_ （答： 2a4b ）；33（4）已知ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB，CDr ABs AC ，则 rs 的

5、值是 _（答： 0）四实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量， 记作a ，它的长度和方向规定如下：1aa ,2当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反，当0时，a0，注意：a 0。五平面向量的数量积 ：1两个向量的夹角 ：对于非零向量a ， b ，作 OAa,OBb ，AOB0称为向量 a ， b 的夹角，当0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直。22 平面向量的数量积：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 | a |b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积）

6、 ，记作： ab ，即 ab a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。 如（ 1）已知 a(1,1), b(0,1 ),cakb, dab ， c 与 d 的夹角为，则 k 等于 _224（答： 1）；（ 2）已知 a2, b5,a b3 ，则 ab 等于 _（答：23 ）；（ 3）已知 a, b 是两个非零向量，且aba b ，则 a与 a b 的夹角为 _（答： 30）3 b 在 a 上的投影 为 | b | cos，它是一个实数，但不一定大于0。如已知 | a | 3 ， | b |5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投

7、影为 _（答：12）54 ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，则： aba b0 ；ababa b2a22b a b ；当，特别地，aa a , aa ；当 a 与 b 反向时， a， 同向时，非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cosabb | a | b |。如； | aa b（ 1）已知 a( ,2) ， b(3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _（答：40 且1或3）；六向量的运算 ：31几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四

8、边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则” ：设 ABa, BCb ，那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即 abABBCAC ；向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb,那么 a bABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（ 1）化简： ABBCCD_ ； ABADDC_； ( ABCD )( AC BD ) _（答： AD ； CB ； 0）；（ 2）若正方形 ABCD 的边长为1， ABa, BCb, ACc ，则 | a bc | _（答：2 2）；2坐标运算 ：设 a( x , y ), b

9、( x , y) ，则：1122 向量的加减法运算 ： ab( x1x2 ， y1y2 ) 。 如（ 1）已知点 A(2,3), B(5,4) ， C(7,10) ，若 APABAC(R) ，则当 _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（答： 1 ）；2（ 2）已知作用在点A(1,1)的三个力 F1(3,4), F2(2,5), F3(3,1) ，则合力 FF1 F2F3 的终点坐标是（答：（9,1） 实数与向量的积 ： ax1, y1x1 , y1。若 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 ABx2x1 , y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减

10、去起点坐标。 如设 A(2,3), B(1,5)，且 AC1AB，AD3AB ，则 C、D 的坐标分别是 _311（答：7,9)）；(1, ),(3 平面向量数量积 ： abx1x2y1 y2 。如已知向量 a （ sinx， cosx ）, b （ sinx ，sinx） ,c （ 1， 0） , 若 x，求向量 a 、 c 的夹角；23 向量的模 ： | a |x2y2 , a| a |2x2y2 。如已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 | a3b | _（答：13 ）； 两点间的距离 ：若 A x1, y1 , Bx2 , y2，则|AB|x2x12y2y12。七向量的

11、运算律 ：1交换律： abba ，aa ， abba ；2结合律： abcabc, abcabc，ababab ；3分配律：aaa,abab ， abcacbc 。如下列命题中：a(bc)abac ； a( bc)(ab)c ； ( ab )2 | a |2222a bb2 | a | | b | b | ； 若 a b0 ，则 a0 或 b0 ；若 abcb, 则 ac ； aa ；2；2222aa (ab) 2； ( ab) 22a babab 。其中正确的是 _（答：）提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时

12、取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 ( 相约 ) ；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即 a(bc)(ab)c ，为什么？八向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ： a / bab(a b)2(| a |b |)2x1 y2y1 x2 0。如(1) 若向量 a(x,1), b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同（答：2）；（ 2）已知 a(1,1),b(4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / v ，则 x_（答： 4）；（3）设 PA(k ,12), PB(4,5), PC(10,k ) ，则 k_时， A,B,C 共线（答： 2 或 11）九向量垂直的充要条件： abab0| ab | |