微积分基本定理

1、§ 3 微积分基本定理bf (x)dx bf (t) dt x a,b aaF ( x)xf (t )dt 在 a, b 有定义a定理 1若 fR a, b ， F ( x)xf (t) dt ，则a（）F ( x) 是 a,b 上的连续函数（）若 f ( x) 在 a, b 上连续，则 F ( x) 是 a, b 上可微，且 F( x)f ( x) x0 a, b ， F (x)F ( x0 )xx0f (t )dtxf (t )dt 证明：（）af (t )dtx0a m, M F ( x) F ( x0 )( x x0 )0 （） F (x)F ( x0 )f ()( xF (

2、 x) F (x0 )f ()f ( x0 ) x0 ) limxx0limxx0x0F (x)( x)f ( x)( x)f ( x)(x) 推论f (t)dt( x )证明： 设 G(u)u( x)( x)(x)( x)f (t)dt G(af (t )dt G(af (t )dt aG (u)f (u) (G ( x)G ( x)( x) F (x)( x )( x)f (t)dt f (t )dtaax2tdtsin2xsin x2例： lim0limx33x23x0x0f (x) 的积分上限给出f ( x) 的一个原函数，即f ( x)dxxf (t )dt Cdxf ( x)adx

3、f (t )dta( )u()u( x) ，则( x)若fdt(f (t) dt)F (u) ( x)f ( x)( x)F uata同理， d(x )f ( x)(x)f ( x)( x) ( x)f (t )dtdxx2tdt例：求极限 lim0sinlimsin x2xlim2sin x2 x32x0x 03xx 03x3二微积分基本定理定理设 f (x) 在 a, b 上连续， F ( x) 是 f ( x) 在 a, b 上的一个原函数，则成立bF (b)F (a)F (x)b f ( x)dxaaxc ， F (a)c0 证明：f (t )dt F (x)axb()()()f (t

4、)dtF ( x) F (a)f tdtFbFaaa例： lim111n 1n 22nn1111nlimlimn12nnx111i 1nnn11ni1nn111limf ( i) xidx ln 1 xln 2xi 10 1 n0例： lim 1sinsin 2sin n1nnnnnn111 cosx 1 1 2i ) xilimf (sin xdxx100i三定积分的计算第一类换元法：ba f ( ( x)例：ecosx sin xdx0tcosx或第二类换元法：例： f ( x)xe x211cosx201f (x)dx 1dx11cos x1ctgxsin xu ( x)(b )b( x

5、) dx( a ) f (u)duf ( (x)d (x)aecosxd cosx(ecosx )e e 1001et11 et dte e11bx (t )f ( x)dx()af (t )(t) dt a()bx02求：f ( x) dx -1x012xex201cos x21x2x2)dx 11cos2dxed (0x020201 e x221e x2 1cosx120sin x12001 e 41 1 (1 e 4 )sin x1cosx 122 2分部积分法：bba u( x)v (x)dxu( x)v(x) asin11cos1bv( x)u (x)dx a例：0xsin xdx(

6、x cosx) 00cosxdxsin x 0利用函数的特殊性质计算积分：定理f ( x)Ra, a ，（）若 f ( x) 为偶函数，则有aaf (x)dx ；f (x)dx2a0（）若 f ( x) 为奇函数，则有a0 f ( x) dxaa0f ( x)dxa证明 ：f (x)dxa0f (x)dxa0af ( x)dxax)f (x)dx af ( t )dt0 f (0xt0例：2f (sin x)dx2f (cos x)dx2f (sin x)(dt )2 f (sin x)dx 0020例：2sin xdx2cos xdxA2A2sin xcos xdxsin xcos xsin xcos xsin xcos x0002例：2 sin n xdxI n ，sinnxdxI n1 ( n1)I n 2sin n 1 x cos x0nI nI n2n1n2 I 12sin xdx1I 00nI n20，2n1n31I 0(n1)!2n= 偶数nn22n!n 1 n 32 I1(n 1)!n=奇数nn23n!例： 设 f ( x)x e t 2dt 不能用初等函数表示，1111111122f ( x)dxxf ( x)xf ( x) dxf (1)xexf (1)e x0(e 11)0dx000202f ( x) 是以 T