线性代数模拟试题两套(含答案解析)

1、一、是非、选择题（每小题一、是非、选择题（每小题3分，共分，共15分）分）:. ,1成立成立则下列结论中则下列结论中阶方阵阶方阵均为均为与与设设nBA;, 0)det( )(OBOAABA 或或则则; 0det, 0det, 0)det( )( BAABB或或则则;, )(OBOAOABC 或或则则. 0det, 0det, )( BAOABD或或则则. ),1 , 1 , 1 , 1(),0 , 1 , 0 , 1(),1 , 1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 , 1(24321则它的极大无关组为则它的极大无关组为设设 ; , )( ;, )(32121 BA模拟试题（一）模拟试题

2、（一）;, , )( ; , )(4321421 DC) ( )., 2 , 1(0,5) ( .,04) ( .,3)(2niaaAnAAxOAOAAniiijnn 则则正定正定阶实对称矩阵阶实对称矩阵若若组线性无关组线性无关的列向量的列向量则则只有零解只有零解若齐次线性方程组若齐次线性方程组则则满足满足阶实对称矩阵阶实对称矩阵若若二、填空题（每小题二、填空题（每小题3分，共分，共12分）分）:. 242),(1312121321的秩为的秩为二次型二次型xxxxxxxxxf 则则且且阶方阵阶方阵为为设设, 2det,2 AnA. )31(det1 AA.2224, 4. , ,0002000

3、11132200233121232221是负定的是负定的二次型二次型时时取值为取值为当当则则相似相似与与已知矩阵已知矩阵xxxtxxxxftyxyBxA 三、（三、（10分）分）.),(),( 2121的全部特征值的全部特征值求矩阵求矩阵和和已知向量已知向量 TnnAbbbaaa 四、（四、（10分）分） 213345666213132321 X求解矩阵方程求解矩阵方程五、（五、（15分）分）组组取何实值时，线性方程取何实值时，线性方程 xxxxxxxx41433221.情况下求通解情况下求通解无解？在有无穷多解的无解？在有无穷多解的有唯一解，无穷多解，有唯一解，无穷多解，六、六、.（5分）分

4、）.:, 1det 不可逆不可逆证明证明为正交矩阵且为正交矩阵且设设AEAA .（5分）分）.)2( ; 0)1( :, 11 aAaaAn的每行元素之和为的每行元素之和为常数常数证明证明为常数为常数中每行元素之和中每行元素之和阶可逆矩阵阶可逆矩阵设设七、（七、（6分）分）.,1221AAn求求设设 八、（八、（12分）分）用正交变换化二次型用正交变换化二次型),(321xxxf.,844552323121232221并写出所用的正交变换并写出所用的正交变换形形为标准为标准xxxxxxxxx 九、（九、（10分）分）:4的两个基的两个基已知四维向量空间已知四维向量空间 R);2 , 3 , 0

5、 , 0( ),1 , 2 , 0 , 0(),0 , 0 , 0 , 1( ),0 , 0 , 1, 1( )();1 , 0 , 0 , 0( ),1 , 3 , 0 , 0( ),2 , 1 , 2 , 0( ),1 , 2 , 1 , 1( )(43 214321 .)()2( ;)()()1( :),1 , 1, 3, 0()(下的坐标下的坐标在基在基向量向量的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基由基由基求求下的坐标为下的坐标为在基在基且向量且向量 .100110111.,. 2. 4 ; 2, 0. 3 ;2)1(. 2 ; 21 ).( . 5 );( . 4 );( . 3 );( .

6、2 );(1 111 XbaotyxBBiniiTnnn四、四、三、三、二、二、对对对对对对一、一、 模拟试题（一）参考答案模拟试题（一）参考答案.,)1 , 1, 1 , 1()0 , 1 , 0 , 1(, 3)(,1)3( ;, 3, 4)(,1(2) ;,1(1) 任意任意通解为通解为多解多解有无穷有无穷时时当当无解无解时时当当有唯一解有唯一解时时当当五、五、kkxrankABArankrankABArankTT ,32535032534513153252.)1(3)1(3)1(3)1(321 321321112 yyyxxxAnnnnnnnnn八、正交变换八、正交变换七、七、)( 略

7、略六、六、.6)6,6,(6,)(2 2130334100220021 )()(1 .10 232221 下的坐标为下的坐标为在基在基的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基由基由基九、九、化二次型为化二次型为 Cfyyy一、填空题（每小题一、填空题（每小题5分，共分，共20分）分）应满足应满足则则唯一线性表示唯一线性表示能由向量能由向量若向量若向量则则的伴随矩阵为的伴随矩阵为设设则则又设又设且且，按列分块为按列分块为阶方阵阶方阵设设kkkkkkAAABBAAA,)1 , 1 , 1(),1 ,1 , 1(),1 , 1 ,1(), 0(3. )(,3330220012. det),5 ,43 ,2(

8、, 5det),(3132121* 模拟试题（二）模拟试题（二）. , ,22224. 2322323121232221 bayyfxbxxxxaxxxxf则则经正交变换化为标准形经正交变换化为标准形已知二次型已知二次型二、（二、（10分）分）:阶行列式阶行列式计算计算 nnnaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn 121121121121121三、（三、（10分）分）.,1500370000020024BBABAA求矩阵求矩阵且且设设 四、（四、（15分）分）.35 ,22 ,332 ;,:3213321232113213 设设的一个基的一个基已知三维向量空间已知三维向量空间R

9、., ),0 , 2, 1(,3;,2;,13213213213213321下的坐标下的坐标在基在基求求下的坐标为下的坐标为在基在基若向量若向量的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基求由基求由基的一个基的一个基也是也是证明证明 R五、（五、（15分）分）线性方程组线性方程组取何值时取何值时, xxxxxxxxx321321321)12()1()12()2()1()2(1)1()12(.?,在有无穷多解时求通解在有无穷多解时求通解无穷多解无穷多解无解无解有唯一解有唯一解六、（六、（10分）分）., 2rAAAnA的秩为的秩为又设又设阶实对称矩阵且满足阶实对称矩阵且满足是是设设 .),2det(. 2; 0

10、1. 1阶单位矩阵阶单位矩阵是是其中其中求行列式求行列式或或的特征值为的特征值为证明证明nEAEA 七、（分）七、（分）已知二次型已知二次型xxxxxxxtxtxtf323121232221444 ).(, 0 . 2 ;, . 1 出所用的正交变换出所用的正交变换写写为标准形为标准形试用正交变换化二次型试用正交变换化二次型取取二次型是负定的二次型是负定的取何值时取何值时 tt八、（八、（5分）分）.,),( 2是单位矩阵是单位矩阵其中其中为正定矩阵为正定矩阵试证试证即满足即满足是实反对称矩阵是实反对称矩阵已知已知EAEAAAT . 0. 4 ; 30. 3 ;212121031310061. 2 ;100. 1 bakk且且一、一、.7500310000420020 三、三、).1( ! 1 nkkkna二、二、模拟试题（二）参考答案模拟试题（二）参考答案).1, 0 , 1(,. 3 423736947 ,2 321321321 下的坐标为下的坐标为在基在基的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基由基由基四、四、 C.,)5 , 3, 3(011 ,1)3( ;,10)2( ;,10)1( 任意任意），（通解为通解为有无穷多解有无穷多解时时当当无解无解时时或或当当有唯一解有唯一解时时且且当当五、五、kkxTT )( 略略六、六、.422316