扬州市高三上学期期末考试数学

1、9.已知双曲线= 1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为 W.2019届高三模拟考试试卷(九)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分./1、V1 .已知集合 M = 2, 1, 0, N= x (2)x>2 ,则 MAN =W.2 .若i是虚数单位，且复数 z满足(1 + i)z=2,则因=W.3 .底面半径为1,母线长为3的圆锥的体积是 W.4 .某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名.现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样

2、本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 W.5 .根据如图所示的伪代码，已知输出值 y为3,则输入值x为 W.Read xIf x> 0 Then ysin xElse y-x2 1End IfPrint y6 .甲、乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1,2, 3,乙的卡片分别标有数字0, 1, 3.两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a,乙抽出卡片的数字记为b,则a与b的积为奇数的概率为 W.7 .若直线l1： x2y+4=0与12： mx 4y+3=0平行，则两平行直线l1，12间的距离为W.8 .已知等比数列an的前n项和为若S3=7, S

3、s=63,则a1=W.10 .已知直线l：y=x+4与圆C： (x2)2+(y1)2= 1相交于P, Q两点，则CPCQ = W.11 .已知正实数x, y满足x+ 4y-xy= 0,若x+ y>m恒成立，则实数 m的取值范围是 W.一兀， 兀asiny+bcosy12 .设a, b是非零实数，且满足 -=tan-°：p,则：=W.acosy bsiny13 .已知函数f(x)= a + 3+4|x+a府且仅有三个零点，且这三个零点构成等差数列，则 x实数a的值为 W.14 .若存在正实数x, y, z满足3y2 +3z2w I0yz,且ln xIn z=§,则j的最

4、小值为W.二、 解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.15 .(本小题满分14分)已知函数 f(x)= cos2x+2*sin xcos x sin2x, xCR.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)求方程f(x)=0在(0,兀内的所有解.16 .(本小题满分14分)如图，在三柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B，平面ABC,点E,F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线白交点.求证：(1) EF /平面 ABC;(2) BB11AC.17 .(本小题满分14分)为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲

5、草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.其中AB=3百米，AD = 45百米，且 BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角兀形.拟修建两条小路 AC, BD(路的宽度忽略不计)，设/ BAD= & 0 (,兀).(1)当cos 0 = *时,求小路AC的长度；(2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路 BD的长度.18 .(本小题满分16分) x2 y21在平面直角坐标系中，椭圆M : /+ b2= 1(a>b>0)的离心率为2，左、右顶点分别为A,B,线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，过点 A, B分别作1i±PA, l2±PB,

6、直线l1 , l2交于点C.(1)若点C的横坐标为一1,求点P的坐标；(2)设直线1i与椭圆M的另一交点为 Q,且aC= A 求入的取值范围19 .(本小题满分16分)已知函数f(x) = (3 x)ex, g(x) = x+a(aC R).(e是自然对数的底数，e=2.718)(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y= f(x)g(x)在区间1 , 2上单调递增，求a的取值范围；(3)若函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0, +8 )上既存在极大值又存在极小值，并且 xh(x)的极大值小于整数 b,求b的最小值.20 .(本小题满分16分)记无穷数列an的前n项中最大值为Mn,最小值

7、为mn,令bn = Mn；mn,数列an的前n项和为An,数列bn的前n项和为Bn.(1)若数列an是首项为2,公比为2的等比数列，求 Bn；(2)若数列bn是等差数列，试问数列an是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不 是，请举例说明；(3)若 bn=2n100n,求 An.2019届高三模拟考试试卷（九）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21 .（本小题满分10分）已知矩阵A= a 1 ，满足A 1 = 6 ,求矩阵A的特征值.b 23822 .（本小题满分10分）x= 2t,在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.在极坐标系中（与直角坐y = - 2 t标系xOy

8、取相同的长度单位，且以原点。为极点，极轴与 x轴的非负半轴重合）,圆C的方程为尸442cos（0+70,求直线l被圆C截得的弦长.23 .(本小题满分10分)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD，平面CBD ,已知 AE，平面 ABD.(1)若AE=q2,求直线DE与直线BC所成角； 兀一，一(2)若二面角ABED的大小为了，求AE的长度.24 .(本小题满分10分)已知直线x= 2上有一动点Q,过点Q作直线li垂直于y轴，动点P在11上，且满足OP OQ = 0(0为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；11(2)已知定点 M(2, 0), N(j,

9、 0),点A为曲线C上一点，直线 AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D,求 MBD的内切圆半径r的取值 范围.4. 10 5. -2 6. 9 7.岑 8. 1 9.坐 10. 0 11.14. e215.解:f(x)= cos2x+ 2"T3sin xcos x sin2x= "V3sin 2x+cos 2x= 2sin(2x + -6").(4 分)7t+2k7t<27t + -6- < + 2k % ,kC Z,解得一7t7t-+ k 兀 w x< + k % , kC Z,函数 TTf(x)的单调增区间为

10、z + kTt,37t-+kTt , kC 乙(8 分) 67171(2)由 f(x)=0 得 2sin(2x+ 夕=0,解得 2x+ -=kit ,即 x=一2019届高三模拟考试试卷（九）（扬州）数学参考答案及评分标准2 ；21. 2 2.423. f3mW 9 12.3 13.或-1-胃6216.形.(2)又 cos 9 =率,BD=2m(2 分)兀 e (-2,兀),sin0= 5-cos2e =2 =希.BDAB2.5sin Z BAD sin/ADB'2 sin/ADB53,解得 sinZADB=- 5尸5兀11兀xe（0,兀,. x=或 x=2-.（14 分）证明：（1）

11、 三棱柱ABCA1B1C1,四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边E, F分别是侧面 AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，E, F分别是AB1, CB1的中点，EF / AC.（4 分）EF?平面 ABC, AC?平面 ABC,. EF/平面 ABC.（8 分）四边形AA1B1B为矩形，BB11AB.平面 AA1B1B，平面 ABC, BB1?平面 ABB1A1,平面 ABB1A1A平面 ABC = AB,BB平面ABC.（12分）AC?平面 ABC,BB1±AC.（14 分）17.解：(1)在 ABD 中，由 BD2= AB2+AD22AB ADcos 0 ,得

12、BD2= 14 675cos 0 .兀L BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，/CDB=_2且CD = BD = 2/5,5. ,， 兀3.cos/ADC=cos(/ADB + £) = sin/ADB = 5.(5 分)在 ACD 中，AC2 = AD2+DC2 2AD DCcosZ ADC = (5)2+ (2>/5)2- 2X75X 25X (-3)5= 37,解得 AC =437.(7 分)(2)由(1)得 BD2= 146mcos 0,S 四边形 abcd = Sabd + Sbcd = 1x 3X /x sin 9 +；x BD22-2_ 3 53 515.=

13、7+-2-Xsin 0 35cos 9=7 + 2(sin 0 2cos 8 ) = 7+-2_sin( 0 ,此时 sin6=25, cos 6=5，且 怖(。，5).(10 分)兀 .一7t0（f）=时，四边形 ABCD的面积最大，即 0=叶,此时sin 9 =1a取 COs °=BD2=146啊os 0=1465x(= 26, 即 BD=麻.(13 分)答：当 cos e =-同理，直线BC的方程为y= X0 2Rx2).联立方程xo + 2 /y=-yT (x+2)xo 2 /c、y=_yr(X2)x= xo,解得x2 4y=yox2 4yoyo一44一=3yo,.点C的坐标

14、为（一如（6分），小路AC的长度为J37百米；草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为亚百米.（14分） c 1 一=二，c= 1.18.解：由题意得a 2 解得b2=a2-c2=3,2a=4,a=2，椭圆M的方程是 3十匕=1且A（2, 0）, B（2, 0）.（3分） 43yoxo+ 2(解法 1)(1)设 P(xo, yo), kPA= xo"2，; l11PA,直线 AC 的方程为 y= %o-(x + 2),点C的横坐标为一1,xo=1. p为椭圆m上第一象限内一点，3 y0 = 2.3点P的坐标为（1 , 2）.（8分）(2)设 Q(xq, yQ),aC= AQ,x0

15、+ 2 =入(xq+ 2),4解得3y0=入q,& 2 cXQ=一入+ 入2,4yQ=37o二点Q在椭圆M上，11（一鼻丁2)2 + 13(一言 yo)2= 1.3人P 2x2又 y2=3(i-), c36入一50整理得 7x2 36(卜 1)xo + 72A 100=0,解得 xo=2 或 xo =7.(14 分) P为椭圆M上第一象限内一点，。<36 入5。<2,解得18<入 <号.（16分）（解法2）（1）设直线AP的斜率为k, 30<k< 2 .P(xoP为椭圆M上第一象限内一点，kAP - kBP =y。y。xo+2 xo 2y2x2 43

16、BP的斜率为一而y=k (x+ 2),联立方程3y=- - (x 2), 4k68k2解得x=4k2+312ky=4k2+36 8k212k(4k2 + 3' 4k2+3).li±FA,1y=-;(x+ 2).1 ,、y=- (x+2), k4y=§k (x2),8 k2 6 x= 4k2 + 3'16ky=4k2+3'C(8k C(4k2+3,16k许）.（6分）1，八，、，一，kAc= -k,则直线AC的万程为l21PB,kBc = ：k,则直线 BC 的方程为 y = |k(x-2).8k2 6点c的横坐标为1, .门=-1,解得"务

17、0<k<华,k = 2"，点 P 的坐标为（1, 1）.（8 分）(2)设 Q(xq, yo), C(xc, yc),又直线 AC 的方程为 y= - ；(x+ 2). k联立方程1 ，-、y=- k (x+2),得(3k2+4)x2+ 16x+ 16- 12k2=0,16 12k22xq= 3k2+4 '解得xq =6k2 - 83k2 + 4.+2AC=向X =xC±1 = 4xq+2 6k2-83k2+4 +216k2 (3k2 + 4) _712k2 (4k2+3)+ 12k2+9.(14 分),一 25入 C(18,19.解：(1) f(x)=

18、(3 x)ex,16、W).(16 分)9f' (x) = (2-x)ex,令 f'x)=0,解得 x= 2,列表:x( 8, 2)2(2, +00 )f'x)十0一f(x)力 /极大值当x=2时，函数f(x)取得极大值f(2) = e2,无极小值.(3分)(2)由 y=f(x)g(x) = (3 x)(x+a)ex,得 y'= ex x2+ (3 a)x+ 3a 2x+(3a)= ex x2 + (1 -a)x+2a + 3.ex>0,令 m(x)= x2 +(1 a)x+ 2a+ 3,函数y= f(x)g(x)在区间1 , 2上单调递增等价于对任意的x

19、C1, 2,函数m(x)>0恒成立，m (1) > 0,解得a> 3.(8分)m (2) >0,(3) h(x) =f (x) + g (x)=x(3x) ex+ x+a,ex (x2+3x3) ax ，h' (x)=x2令 r(x)= ex(-x2+ 3x- 3)- a,h(x)在(0, +°°)上既存在极大值又存在极小值，h' (x)=0在(0 , + 8)上有两个不 等实根，即 r(x)= ex( x2+ 3x 3) a= 0 在(0, +°°)上有两个不等实根x1，x2(x1 vx2).(10 分)r

20、9; (x)= ex(x2+3x3 2x+ 3)= ex(-x2 + x)= x(1 -x)ex.当 xC (0, 1)时,r' (x)>0, r(x)单调递增,当 xC(1, +0o )时,r' (x)<0, r(x)单调 递减，r(0)<0,3333 3则 0Vxi v 1,解得3< a< - e, r(2) = 一 e a< 4e + 3 v 0. r(x)在(0, +8)上连续且 r(0) r(1)<0, r(1) r(2)v 0,一 3 r(x)=0在(0, 1)和(1, 2)上各有一个实根，函数h(x)在(0, +8 )上既

21、存在极大值又存在极小值时，有3<a<- e,并且在区间3 .(0, 1)上存在极小值f(x1)，在区间(1 , 2)上存在极大值f(x2).ex2 ( x2+ 3x2 3)一a 八-=0,(3X2)ex2+x2+a 口，/h(x2)=二,且 h x2) =a = ex2( x2 + 3x2 3), h(x2)=(3 x2)ex2+x2+ex2 (x2+3x23) = ex2(2 x2) + 1.(13分)令 H(x) = ex(2-x), H ' (x)=ex(1 x),当 xC (1,)时,H (x)<0, H(x)单调递减. 31 x2C(1, 2),h(x2)&

22、lt;h(1) = e+1<4. h(x)的极大值小于整数b,满足题意的整数 b的最小值为4.(16分)20.解：(1)数列an是首项为2,公比为2的等比数列，an=2n,，mn=2, Mn=an= 2n,2 2n,1 2n则 bn=1 + 2n 1,Bn=n + 7；X1 = 2n1+n.(4 分)21 2（2）（解法1）若数列 bn是等差数列，设其公差为dMn + mn Mn 1 + ITIn- 1 M n 一 Mn1 mn一 mn 1/V bnbn 1 = -22=2+2='根据Mn, mn的定义，有以下结论：Mn>Mn 1, mnWmn-1,且两个不等式中至少有一个

23、取等号.（6分） 若 d> 0,则必有 Mn>Mn 1,an= Mn>Mn 1>3n 1,即对 n>2, nCN*,都有 an> anT ,Mn+mn Mn 1 + mn 1 an+a1 an 1+a1 an an 1Mn= an, mn=a1, bn bn 1=22= -2 2=2=d，,an an 1 = 2d 即an为等差数列； 当d'v 0时，则必有mn< mn 1,所以an= mn< mn 1<an 1,即对n>2, nCN*,都有 an v an-1 ,Mn+mn Mn-1 + mn-1 a1+an a1+an-1

24、 an一an-1 , Mn=a1, mn= an, bn bn 1 = 2 _2= 2_ 2 = 2 =d，anan 1 = 2d',即an为等差数列；m ,2Mn+ mn Mn 1 + mn 1 Mn 一 Mn 1 mn 一 mn 1 当 d'= 0 时，bn-bn 1 = 22=2+ -2-=0.- Mn- Mn 1 , mn mn-1中必有一个为0,，根据上式，一个为 0,则另一个亦为 0, 即Mn=MnT, mn=mn 1, an为常数数列， an为等差数列.综上，数列an也一定是等差数列.（10分）（解法2）若数列bn是等差数列，设通项公式为bn=pn + q（p,

25、q R）,则bn+1bn=p.对于数列an： a1, a2,，an,增加an+1时,有下列情况： 若 an+1>Mn,则 Mn + 1 = an+1, mn+1=mn,此时 an+1= Mn+1 > Mn> an, an+1>an对 nCN 恒成立，则 Mn= an, mn+1= mn= a1,.Mn + 1 + mn+1 Mn+mn an +1 + a1 an+a1 an+1 an- bn+1 bn=2-2=2- 2 =2=p,即an+1 an= 2p为常数，则数列an是等差数列.（7分） 若 mnWan+1WMn,则 Mn+1=Mn, mn+1=mn,bn+1 =

26、bn.-数列bn是等差数列且 bn=pn+q,p=0, bn=q,Mn+1= Mn= Mn 1=M1= a= q, mn+1 = mn= mn 1 = 3= m1 = a = q, qwan+wq,即 an = q,即an为常数数列，数列an是公差为0的等差数列. 若 an+1mn,则 Mn+1 = Mn, mn + 1=an + 1,此时 an+1= mn + 1< mn< an, an+1Van 对 nCN 恒成立，则 Mn+1=Mn=a1, mn= an,.Mn + 1 + mn+1 Mn+mn a1 + an+ 1 a+an an+1 an bn+1-bn=22=2 2=2

27、=p，即an+1 an= 2p为常数，则数列an是等差数列.（10分）（3）bn+1bn=2n+1T00（n+1） （2n100n） = 2n100,当 nv7 时，bn+1bn<0,即 b1>b2>> b6>b7,当 n>7 时，bn+1 bn>0,即 b7Vb8Vb9以下证明： a1>a2>-> a6>a7, a7va8a9当n<7时，若 mnWan+1WMn,则 Mn+1=Mn, mn+1=mn,bn+1 = bn,不合题意；右 an+1>Mn,则 Mn+1 =an+1, mn + 1=mn,则 2Mn+ mn

28、 Mn+1+ mn+1,得 bnV bn+1,与 bn>bn+1矛盾，不合题意； an+1mnWan,即 a1>a2>a6>a7；同理可证：a7< a8< a9<，即当n>7, nC N*时,anV an+ 1.小、“i,a1 + an 当 nW7 时，Mn=a1, mn = an,bn=2')an= 2bn a1, a = b1=98.bn=2n-100n,an=2n+1- 200n + 98, An =4 (1 2n)n (n+1)-200 X -1-2卜 98n =2产2 * * 100n22n4.(13 分) 当 n>7 时

29、，a1>a2>ae>a7,且 a7Va8a9< mn=a7=28-200X 7+98=- 1 046,贝 U Mn 为 a1 或 an.若 Mn 为 a1, 题意不符，则bn为常数，与200 xMn= an,bn=2，an= 2bna7= 2n 1 _ 200n+ 1 046,An = A7 + a8 + a9 + + an = 29 4 900 14 4 +(n+8) (n7)+ 1 046(n 7) = 2n + 2 100n2 + 946 n 6 640,29 (1 27)1 22019届高三模拟考试试卷（九）（扬州）数学附加题参考答案及评分标准121.解：A =

30、3a 11 _ a+3 _ 6 ,b 23 b+68a= 3,b=2.(5分)矩阵A的特征多项式为f（4=入一3 一 1=(入一3)(卜 2)-2= £5 入+ 4=0,一 2 入一2 令f（?）= 0,解得矩阵A的特征值为1或4.（10分）x = 2t,22 .解：将直线l的参数方程（t为参数）化为方程得x+ 2y + 4=0.（2分）y=- 2-tL兀c圆C的方程为 尸442cos（ 0+4）化为直角坐标系方程，得p2=4p（cos 0 sin 0）,即 x2+y2 4x+4y=0, (x-2)2+ (y+2)2=8,其圆心(2, 2),半径为 2y2.(5 分) 直线l被圆C截

31、得的弦长为2q（平）2一 （君2 =喈.（10分）圆心C到直线l的距离为d =|2-4+4|_ 2/5. 523 .解：正方形 ABCD 边长为 2,ABXAD, CBXCD, AB= AD= CD = BC= 2.又AEL平面ABD,以点A为原点，AB, AD, AE所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系 作CFXBD,垂足为F,平面 ABDL平面 CBD, CF?平面CBD ,平面 ABDA平面 CBD = BD , CFL平面 ABD.CB=CD=2, 点 F 为 BD 的中点，CF=&.(2 分)(1) AE = V2, E(0, 0,的,B(2, 0, 0), D(0,

32、 2, 0), F(1, 1, 0), C(1, 1, V2),DE = (0, 2, V2), BC = (-1, 1 ,柩，. DE BC=0,DEXEBC, 直线DE与直线BC所成角为 今代 分)(2)设 AE 的长度为 a(a>0),则 E(0, 0, a). AD,平面ABE, 平面ABE的一个法向量为 m = (0,1, 0).(6 分)a), BD = (-2, 2, 0),- n2±BE, n21BD,n2 BE = - 2x1 + az1 = 0,解得n2 - BD=- 2x1+ 2y1=0,a x1 = «Z1,寸2 取 Z1 = 2,则 x1 = y1 x1 = y1,=a,平面BDE的一个法向量为n2=(a, a, 2).(8分)cos n1, n2>ni - n2一 |m |n2| a2+ a2+ 4x 1 2a2+4一 . 兀二面角ABED的大小为y, AE的长度为72.(10分)解得a = 6,24.解：(1)设点P(x, y