第节方向导数与梯学习教案

1、会计学1第节方向第节方向(fngxing)导数与梯导数与梯第一页，共43页。2 讨论函数讨论函数 在一点在一点P P沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题),(yxfz oyxlP xyP（如图）（如图）第1页/共43页第二页，共43页。3当当 沿着沿着 趋于趋于 时时，P Pl是否是否(sh fu)存在？存在？oyxlP xyP第2页/共43页第三页，共43页。4记为记为oyxlP xyP第3页/共43页第四页，共43页。5oyxlP xyP.),(),(lim0 yxfyyxxflf 第4页/共43页第五页，共43页。6第5页/共43页第六页，共43页。7第6页/共43页第七页，共4

2、3页。8证明证明(zhngmng)由于函数可微，则增量由于函数可微，则增量(zn lin)可表示可表示为为两边同除以两边同除以,得到得到(d do)第7页/共43页第八页，共43页。9cossin故有方向故有方向(fngxing)导数导数第8页/共43页第九页，共43页。10解解这这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,第9页/共43页第十页，共43页。11解解由方向由方向(fngxing)导数的计算公式导数的计算公式知知第10页/共43页第十一页，共43页。12故故第11页/共43页第十二页，共43页。13推广可得三元推广可得三元(sn yun)函数方向导数的函数方向导数的定义定义第12页/

3、共43页第十三页，共43页。14第13页/共43页第十四页，共43页。15解解令令故故方向方向(fngxing)余弦为余弦为第14页/共43页第十五页，共43页。16故故第15页/共43页第十六页，共43页。17第16页/共43页第十七页，共43页。18第17页/共43页第十八页，共43页。19结论结论(jiln)gradfgradf 第18页/共43页第十九页，共43页。20),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz 所得所得(su d)曲线在曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等

4、高线梯度梯度(t d)为等高线上的为等高线上的法向量法向量第19页/共43页第二十页，共43页。21等高线的画法等高线的画法(hu f)播放播放(b fn)第20页/共43页第二十一页，共43页。22例如例如(lr),第21页/共43页第二十二页，共43页。23梯度梯度(t d)与等高线的关系：与等高线的关系：第22页/共43页第二十三页，共43页。24 类似于二元函数类似于二元函数(hnsh)，此梯度也是一，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值致，其模为方向导数的最大值.梯度梯度(t d)的概念可以推广到三元函

5、数的概念可以推广到三元函数第23页/共43页第二十四页，共43页。25第24页/共43页第二十五页，共43页。26解解由梯度由梯度(t d)计算公式得计算公式得故故第25页/共43页第二十六页，共43页。271、方向、方向(fngxing)导导数的概念数的概念2、梯度、梯度(t d)的概念的概念3、方向导数与梯度、方向导数与梯度(t d)的关系的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）第26页/共43页第二十七页，共43页。28第27页/共43页第二十八页，共43页。29思考题思考题第28页/共43页第二十九页，共

6、43页。30思考题解答思考题解答(jid)第29页/共43页第三十页，共43页。31第30页/共43页第三十一页，共43页。32练练 习习 题题第31页/共43页第三十二页，共43页。33三三、 设设vu,都都是是zyx,的的函函数数, ,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续, ,证证明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数, ,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函数二、求函数)(12222b

7、yaxz 在点在点)2,2(ba处沿曲线处沿曲线 12222 byax在这点的内法线方向的方向导数在这点的内法线方向的方向导数. .第32页/共43页第三十三页，共43页。34一、一、1 1、321 ； 2 2、 kji623； 3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(； 4 4、gradua . .二、二、)(2122baab . .四、四、cbazyxzyxuruM ;),(22020200000. .练习题答练习题答案案第33页/共43页第三十四页，共43页。35等高线的画法等高线的画法(hu f)第34页/共43页第三十五页，共43页。36等高线的画法等高线的画法(hu f)第35页/共43页第三十六页，共43页。37等高线的画法等高线的画法(hu f)第36页/共43页第三十七页，共43页。38等高线的画法等高线的画法(hu f)第37页/共43页第三十八页，共43页。39等高线的画法等高线的画法(hu f)第38页/共43页第三十九页，共43页。40等高线的画法等高线的画法(hu f)第39页/共43页第四十页，共43页。