勾股定理练习题及答案共套

1、勾股定理课时练（1）1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1，则 AB 2 + BC 2 + AC 2 的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，第一课时答案：1.A，提示：根据勾股定理得 BC 2 + AC 2 = 1

2、60;，所以 AB 2 + BC 2 + AC 2 =1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步.D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_3.6013，提示：设斜边的高为 x&

3、#160;，根据勾股定理求斜边为 122 + 52 = 169 = 13 ，再2  ´ 5 ´ 12 =4.一根旗杆于离地面 12 m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m ，旗杆在断裂之前高多少 m ？利用面积法得， 112 ´ 13 ´ x, x =

4、6013 ；5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是米.”3m“路4m第 5 题图第 2 题图6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方 4000 米处,过了 20 秒,飞机距离这个男孩头顶 5000 米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm ，底面周长为&

5、#160;60 cm ，在外侧距下底 1 cm 的点 C 处有4. 解：依题意，AB=16 m ，AC=12 m ，在直角三角形 ABC 中,由勾股定理,BC 2 = AB 2 + AC 2 = 16 2 + 12 2 = 20 2 ,所以 BC=20 m ,

6、20+12=32( m ),故旗杆在断裂之前有 32 m 高.5.86. 解:如图,由题意得,AC=4000 米,C=90°,AB=5000 米,由勾股定理得BC=  50002 - 40002 = 3000 (米),一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 cm 的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示，已知

7、60;AC=3 cm ，AB=4 cm ，BD=12 cm 。求 CD 的长.所以飞机飞行的速度为320 = 540 (千米/小时)36002. ´ 60  = 30(cm) ，9. 如图，在四边形 ABCD 中，A=60°，B=D=90°，BC=2，CD=3，求 AB 的长.第题  北10. 如图，一个牧童在小河的南

8、 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西78km图 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？第 8 题图11 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m，宽2m 的楼第 9 题 ,道上铺地毯图已知地毯平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻13

9、m5m 找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米/时第 11 题的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？7. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CEAB 于 E.在 R tDCEF ,

10、 ÐCEF = 90 o，EF=18-1-1=16（ cm ），1CE=由勾股定理，得 CF=  CE 2 + EF 2 = 302 + 162 = 34(cm)8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13.9.&#

11、160;解：延长 BC、AD 交于点 E.（如图所示）B=90°，A=60°，E=30°又CD=3，CE=6，BE=8，设 AB= x ，则 AE=2 x ，由勾股定理。得 (2x)2x28 2 ,x83310. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A ，连接 A B 交 MN 于点 P ，则 

12、A B 就是最短路线.A 在 RtA DB 中，由勾股定理求得 A B =17km11.解：根据勾股定理求得水平长为1325212m ，M       P          N地毯的总长 为 12+5=17 （m ），地毯的面积为 17×2=34 （ 

13、;m 2)，铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）12. 解：如图，甲从上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时，走了 12 千米，即 OA =12乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即 OB =5在 RtOAB 中，AB 2=122 十 52169，A

14、B =13，因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米1513，甲、乙两人还能保持联系AD            BB 第 10 题图O             A勾股定理的逆定理（2）一、 选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（

15、）10. 如图，E、F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且 AB=4，A.9，12，15B. 54 ,1,34C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，92.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为 121B.三边之比为 125C.三边之比为3 2 5D. 三个内角比为 1233.已知三角形两边长为 2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则

16、第三边的长为（）A.2B. 2 10C. 4 2或2 10D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）ABCD二、填空题5. ABC 的三边分别是 7、24、25，则三角形的最大内角的度数是.6.三边为 9、12、15 的三角形，其面积为.CE=             &#

17、160;                                 BC，F 为 CD 的中点，连接 AF、AE，问AEF 是什么三角形？请说明理由.A     &

18、#160;      D有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只7.已知三角形 ABC 的三边长为 a, b, c 满足a + b = 10, ab = 18，c = 8 ，则此三角形为   

19、0;三角形.11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C 处FE  C第  10  题8.在三角形 ABC 中，AB=12 cm ，AC=5 cm ，BC=13 cm ，则 BC 边上的高为 AD=cm .三、解答题9. 如图，已知四边形 ABCD 中，

20、B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积.猴子从 D 处滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，求树高 AB.BAD.12.如图，为修通铁路凿通隧道 AC，量出A=40°B50°，AB5 公里，BC4 公里，若每天凿隧道 0.3 公里，问几天才能把隧道 AB 凿通？18.2 勾股定理的逆定理答案：一 、 1.C&

21、#160;； 2.C ； 3.C ， 提 示 ： 当 已 经 给 出 的 两 边 分 别 为 直 角 边 时 ， 第 三 边 为 斜 边第  11  题2C= B 2 + 6 2 = 2 1

22、0; 当 6 为斜边时，第三边为直角边= 6 2 - 2 2 = 4 2 ；4.二、5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为C；第 9 题图90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为直角，提示：12 ´ 9 ´ 12 = 54. 7.(a + b) 2

23、60;= 100, 得a 2 + b 2 + 2ab = 100, a 2 + b 2 = 100 - 2 ´ 18 = 64 = 8 2 = c 2；8.6013 ，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得故 S  四边形 

24、;ABCD=SABC   ACD=  111´ 12 ´ 5 =´ 13 ´ AD ；22三、9. 解：连接 AC，在 RtABC 中，AC2=AB2BC2=3242=25，  AC=5.在ACD 中， AC2CD2=25122=169，而 AB2=132=169， AC2CD2=AB2， ACD=90°11

25、1AB·BCAC·CD=×3×4×5×12=630=36.222210. 解：由勾股定理得 AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2= EF2 +AF2，AEF 是直角三角形11. 设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得 x=2，10+x=12（米）12. 解：第七组， 

26、a= 2 ´ 7 + 1 = 15, b = 2 ´ 7 ´ (7 + 1) = 112, c = 112 + 1 = 113.第 n 组， a= 2n + 1, b = 2n(n + 1), c&#

27、160;= 2n(n + 1) + 1  所以 AB=   S   =   12 = 2  3 .勾股定理的逆定理 （3）一、基础· 巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 123B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345D.三内角之比为 3452.如图 

28、1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 18图 1825图 18263.如图 1825，以 ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为_.EF4.如图 1826，已知正方形 ABCD

29、60;的边长为 4， 为 AB 中点， 为 AD 上的一点，且 AF= 1 AD，4试判断 EFC 的形状.5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图 18276.ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1），求证： ABC 是直角

30、三角形.二、综合· 应用7.已知 a、b、c 是 ABC 的三 边长， A1B1C1 的三边长分别是 2a、2b、2c，那么 A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图 1828ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=AD·BD.求证： ABC 是直角三角形.图 1828149.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 

31、;的坐标分别为 A（3， ），B（2，  OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图 182910.已知：在 ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC 的形状.12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形 ABCD 的面积.图 18210参考答案一、基础·

32、 巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（   ）A.三内角之比为 123        B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345        D.三内角之比为 345思路分析： 判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 

33、A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D.答案：D2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 18 24解：过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E,则 DEC 是直角三角形.四

34、边形 ABED 是矩形，AB=DE.D=120°，CDE=30°.又在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= 102 - 52 = 5 3 cm.AB= 102 - 52 = 5 3 cm.3.如图 1825，以  ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且 

35、S1=4，S2=8，则 AB 的长为_.图 1825                 图 1826思路分析：因为ABC 是 Rt，所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB2,3答案： 2 3求证： ABC 是直角三角形.图 18284

36、.如图 1826，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=  14 AD，试判断 EFC 的形状.思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E 为 AB 中点，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=

37、25.CE2+EF2=CF2,EFC 是以CEF 为直角的直角三角形.5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB 和DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD，所以ABD 为直

38、角三角形，A =90°.在BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC 是直角三角形，CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1），求证： ABC 是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可 .证明：k2+1>k21,k2+12k=(k1)2>0,即 k2+1>2k，k2+1 是最长边.(k21)2+(2k

39、0;)2=k42k2+1+4k2=k4+2k 2+1=(k2+1)2,ABC 是直角三角形.二、综合· 应用7.已知 a、b、c 是 ABC 的三 边长， A1B1C1 的三边长分别是 2a、2b、2c，那么 A1B1C1是直角三角形吗？为什么？思路分析： 如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例 2 已证）.解：略8.已知：如图 1828ABC 中，CD 是

40、0;AB 边上的高，且 CD2=AD·BD.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可 .证明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.ABC 是直角三角形.149.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3， ），B（2，  OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 1829思路分析：

41、借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA、AB、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB 是否是直角三角形即可.解： OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA2+AB2=O B2.OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .10.阅读下列解题过程：已知 a、b、c  ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断 ABC的形状.解：

42、a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（ ABC 是直角三角形.问：上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的原因是 _；本题的正确结论是_.思路分析： 做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a 有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B) 没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时ABC 是等腰三角形；A

43、BC 是等腰三角形或直角三角形.11.已知：在 ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC 的形状.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为 0，则都为 0；(3)已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a210a+25+b224b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a5)2+(b12)2+(c13)2=0.(a5)20

44、,(b12)20,(c13)20.a5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又a2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形.12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形 ABCD 的面积.图 18210思路分析：（1）作 DEAB，连结 BD，则可以证明 ABDEDB（ASA）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)DEC 中，3、4、5 为勾股数，&

45、#160;DEC 为直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DEAB，连结 BD，则可以证明 ABDEDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又EC=EB=3,DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA 是直角三角形.112        

46、;  2它们的面积分别为 S BDA=×3×4=6;S DBC=  ×6×4=12.形S 四边ABCDBDADBC=6+12=18.牧  A勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为 S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC 一定是直角三角形吗？说明理由。2.求知中学有一块四边形的空地 ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90°，AB=3m，BC=12m，

47、CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要 200 天，问学校需要投入多少资金买草皮？3.（12 分）如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长。4.如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后

48、回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5.（8 分）观察下列各式，你有什么发现？小北32=4+5，52=12+13，72=24+2592=40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132=+东（2）请写出你发现的规律。B小（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。6.如图，在 RtABC 中，ACB=90°，CDAB， BC=6，AC=8， 求 AB、CD 的长12、小明向东走 80 米后，沿另一方向又走了 60 米，再沿第三个方向走

49、0;100 米回到原地。小明向东走 80 米后又向                  方向走的。13、 DABC 中，AB=13cm ,BC=10cm ，BC 边上的中线 AD=12cm 则 AC 的长为    cm14、两人从同一地点同时出发，一人以

50、0;3 米/秒的速度向北直行，一人以 4 米/秒的速度向东直行，5 秒钟后他们相距          米.15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？两直线平行，内错角相等。                       &

51、#160;              （       ）如果两个实数相等，那么它们的平方相等。（      ）若 a 2 = b2 ，则 a=b          

52、60;           （     ）全等三角形的对应角相等。                             （  

53、       ）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（         ）16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ）(A)a=15   b=8   c=17    (B) a:b:c=1:   3 : 27.在数

54、轴上画出表示17 的点（不写作法，但要保留画图痕迹）(C) a=2   b=65 c=85    (D) a=13b=14  c=15_A              _D_B8.已知如图，四边形 ABCD 中，B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积9.如图，每个小

55、方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD 的面积。勾股定理复习题（5）一、填空、选择题题：_C3.有一个边长为 5 米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（）米。4、一旗杆离地面 6 米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 米处，则旗杆折断之前的高度是（）米。6、 在ABC 中，C=90°,AB=10。 (1)若A=30°,则 BC=，AC=。(2)若A=45°,则 BC=，AC=。8、在ABC 

56、;中，C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高 CD=m11、三角形的三边 a b c，满足 (a + b)2 - c 2 = 2ab ，则此三角形是三角形。17、若一个三角形的三边长为 6,8,x,则使此三角形是直角三角形的 x 的值是(    ).A.8      B.10       C.   28    D.10 或 2818、下列各命题的逆命题不成立的是(    )A.两直线平行,同旁内角互补       B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等C.对顶角相等