惯性导航技术课件第一章070201

1、1第一章 惯性导航基础知识第一章 惯性导航基础知识主讲人：盛 蔚副教授tel:010-2惯性导航基础知识惯性导航基础知识1-1 导航技术的发展和分类1-2 坐标系与坐标变换1-3 地球导航的基本概念31-1导航技术的发展和分类导航技术的发展和分类?导航技术的发展?导航技术的分类天文导航无线电导航惯性导航组合导航技术的发展4导航（navigation）? 自古以来，人们一直在利用天上的星星进行导航，特别是利用北极星来确定方向。考古发现，我们的祖先早在17000年以前的古石器时代就发明了导航方法，当时为了进行打猎等活动，人们利用了简单的恒星导航方法，这就是早期的天文导航天文导航天文导航天文导航方法

2、? 随着科学技术的发展，导航渐渐发展成为一门专门研究导航原理方法和导航技术装置的学科，导航需要连续提供定位、定向、授时和测定位、定向、授时和测定位、定向、授时和测定位、定向、授时和测速速速速信息? 根据测量上述导航参数、完成导航任务的物理原理和技术方法的不同,出现了各种类型的导航系统，例如无线电导航系统、卫星导航系统无线电导航系统、卫星导航系统无线电导航系统、卫星导航系统无线电导航系统、卫星导航系统、惯性导航系统、惯性导航系统、惯性导航系统、惯性导航系统等更多需求更多需求更多需求更多需求多种方式多种方式多种方式多种方式5? 天文导航?特点导航技术的分类1.仪器简单可靠（现代天文导航仪器的精度非

3、常高）;2.不需路岸设备;3.定位精度不受航行时间影响（误差不积累）。天文导航是用天文方法观测星辰日月等天体来确定航行体的位置，以引导航行体沿预定航线到达目的地的一门学科6? 无线电导航无线电导航就是利用无线电引导载体沿规定航线、在规定时间达到目的地的导航技术。? 举例导航技术的分类根据要测定的导航参量分为测角测角测角测角（方位角或高低角）、测距测距测距测距、测距差测距差测距差测距差和测速测速测速测速四种，相应于这四种有无线电导航测角系统、无线电导航测距系统、无线电导航测距差系统、无线电导航测速系统? 分类7全球定位系统（gps）特点:?全球覆盖?高精度实时?被动式全天候导航定位?以高精度的原

4、子钟为核心?“多星、高轨、高频、测时测距”为体制8glonass全球导航卫星系统由24颗卫星组成卫星星座(21颗工作卫星和3颗在轨备用卫星)，均匀分布在3个轨道平面内。9“伽利略计划”30颗中高度圆轨道卫星和2个地面控制中心组成(其中27颗卫星为工作卫星，3颗为候补)卫星高度为24126公里,位于3个倾角为56度的轨道平面内。10中国北斗双星及二代导航系统“北斗一号”导航系统是我国独立自主建立的卫星导航系统由两颗地球静止卫星、一颗在轨备份卫星、中心控制系统、标校系统和各类用户机等部分组成特点：?构成系统的空间卫星数目少?用户终端设备简单，价廉?一切复杂性均集中于地面中心处理站。?投资小?不能覆

5、盖两极地区?赤道附近定位精度差?只能二维主动式定位，且需提供用户高程数据?不能满足高动态和保密的军事用户要求?用户数量受一定限制。11惯性导航原理：依靠测量载体(飞机、舰船、火箭等)的加速度(惯性)，推算出载体的瞬时速度，位置以及测量载体的姿态12惯性导航发展历程? 1852年在j-傅科(j-foucault)陀螺基础上制成测量姿态用陀螺仪? 1906年h-安休兹(h-anschiitz)制成的陀螺方向仪? 1923年m-舒拉(m-schuler)发表“舒拉摆”(schuler pendulosity)理论，解决了在运动载体上建立垂线的问题，使加速度计的误差不致引起惯性导航系统误差的发散，为工

6、程上实现惯性导航提供了理论基础? 1942年德国在v-2火箭上首先应用了惯性导航原理? 1954年惯性导航系统在飞机上试飞成功? 1956年我国开始研制惯性导航系统。? 1958年美国“船鱼”号核潜艇惯性导航冰下航行21天穿越北极13组合导航导航系统都有各自的优缺点导航系统都有各自的优缺点 :? 惯导系统惯导系统惯导系统惯导系统的导航精度随时间而发散，即长期稳定性差? gpsgps导航导航导航导航系统频带窄，当载体作较高机动运动时，接受机的码环和载波环极易失锁而丢失信号，从而完全丧失导航能力；同时完全依赖于gps卫星发射的导航信息，受制于他人，且易受人为干扰和电子欺骗? 天文导航天文导航天文导

7、航天文导航仅能够高精度测量载体姿态信息，定位功能较差? 气压高度计气压高度计气压高度计气压高度计仅能够测量相对高度14各种导航系统各有其不可替代的优势，但也有其致命的弱点 !集百家之长,避自身之短组合导航应运而生!15组合导航系统组合导航系统采用两种或两种以上的导航系统对同一导航信息进行测量，计算出相同导航物理量之间的测量误差，通过数据融合方法校正之。组合导航系统的最新发展方向是容错组合导航系统和导航专家系统,这些系统具有故障检测、诊断、隔离和系统重构的功能16坐标系与坐标变换1-2-1 坐标系1-2-2 坐标变换17坐标系坐标系可分为惯性(绝对)坐标系与非惯性(相对)坐标系两类惯性坐标系 :

8、?地心惯性坐标系?发射点惯性坐标系非惯性坐标系 :?地球坐标系?地理坐标系?导航坐标系?平台坐标系?载体坐标系18这些旋转的角速度都太小，以致于惯性器件无法敏感到，因此可以忽略。银河系旋转太阳系相对银河系旋转地球相对太阳旋转地球自转地心惯性坐标系惯性坐标系是符合牛顿力学定律的坐标系，即是绝对静止或只做匀速直线运动的坐标系。图1-2-1 惯性空间与相对空间的关系19图1-2-2 地球公转示意图图1-2-3 地轴与地球公转轨道面夹角地心惯性坐标系不随地球自转，忽略地球绕太阳公转以及太阳相对宇宙空间运动。其坐标原点为地心；xi和yi轴在地球赤道平面内， xi轴指向春分点（春分点是天文测量中确定恒星时

9、的起始点，是赤道平面和黄道平面的交点之一），当地球公转经过春分点后，太阳相对逐渐靠近北极，zi轴指向地球极轴，由右手定则决定yi方向。20惯性坐标系与付科摆21惯性坐标系与付科摆22发射点惯性坐标系有些飞行载体（例如导弹），也常用发射时刻的发射点惯性坐标系作为测量该载体飞行位置的基准。其坐标原点为载体质心，x轴指向发射方向，y轴指向天（重力反方向），由右手定则决定z轴方向。23? 地球坐标系(简称e系) 地球坐标系是固连在地球上的坐标系，随地球旋转;其原点为地球中心；ze轴指向地球极轴；xe轴通过零子午线，ye轴指向东经90度方向。? 地理坐标系(简称t系) 地理坐标系是在载体上用来表示载体所

10、在位置的东向、北向和垂线方向的坐标系。其原点为载体重心。xt轴指向东；yt轴指向北；zt轴指向天顶（东北天坐标系）。? 游动方位坐标系(简称w系)游动方位坐标系与地理坐标系仅在水平面内相差一个角度(称为游动方位角)的坐标系。 角以xw轴反时针偏离xt轴为正，即w系原点与t系相同,xw和yw轴都在水平面内, xw和yw轴各偏离xt和yt轴角。相对坐标系24相对坐标系?平台坐标系（简称p系）是用惯导系统来复现导航坐标系时所获得的坐标系。其坐标原点位于载体的重心处。当惯导系统不存在误差时，平台坐标系与导航坐标系相重合；当惯导系统出现误差时，平台坐标系就要相对导航坐标系出现误差角。对于平台惯导系统，平

11、台坐标系是通过平台台体来实现的；对于捷联惯导系统，平台坐标系则是通过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现的，因此又叫做“数学平台”。?载体坐标系（简称b系）是固连在载体上的坐标系。其原点为载体重心；xb沿载体横轴指向右；yb轴沿载体纵轴指向前；zb轴沿载体竖轴指向上。25相对坐标系? 导航坐标系（简称n系）是在导航时根据导航系统工作的需要而选取的作为导航基准的坐标系。? 计算坐标系（简称c系）引入计算坐标系是为了描述捷联惯导的平台误差角，捷联惯导系统利用本身计算的载体位置来描述导航坐标系时，导航计算位置与真实位置之间有误差，因此计算地理坐标系与真实地理坐标系有误差，前者这种坐标系称为计算坐标系。

12、26坐标变换?用方向余弦矩阵表示坐标转换?用四元数表示坐标变换27方向余弦矩阵及矩阵微分方程相对一个坐标系作一次或多次旋转后可得另外一个坐标系，前者往往为固定坐标系，后者为动坐标系，它们之间的相互关系可用一方向余弦矩阵方向余弦矩阵方向余弦矩阵方向余弦矩阵来表征。在研究两坐标系之间的动态特性时，方向余弦矩阵将会持续变化，可利用矩阵微矩阵微矩阵微矩阵微分方程分方程分方程分方程描述坐标系的动态变化。28设有一个矢量在二维的平面坐标系中有分量和。坐标系相对坐标系旋转角，矢量在坐标系中有分量和，在图设有一个矢量在二维的平面坐标系中有分量和。坐标系相对坐标系旋转角，矢量在坐标系中有分量和，在图1-2-4中

13、表示了这种关系。中表示了这种关系。方向余弦的物理意义yyxxxxyy图1-2-4 两坐标系之间的关系voxyxiy jox y voxy vxiy jvx iy j=+ =+（1-2-1）由（1-2-1）式有xiy jx iy j +=+（1-2-2）oxyx i y j 29（1-2-2）式两边同时乘以或，则有ijxi vi ixi jyyj vj ixj jy=+=+iiiiii（1-2-3）用矩阵形式来表示，则得：xi ii jxyyj ij j = iiii（1-2-4）或写为vcv =（1-2-5）30注意注意:在上边讲述的坐标系转动过程中，尽管有矢量和的表示方法。矢量相对定坐标系是

14、没有动的，仅仅是动坐标系相对定坐标系有一转角， 和是等同的。（1-2-4）式可以理解为，一个矢量相对定坐标系没有转位，但当动坐标系相对定坐标系有旋转运动之后，矢量在两个坐标系上的分量之间关系就由（1-2-4）式给出。矩阵c被称为“方向余弦矩阵”，其元素是两组坐标系单位矢量之间的夹角余弦。式中是一个列矢量，此列矢量的两个元素是沿着固定坐标系的分量。 也是列矢量，而该矢量的两个元素是沿着动坐标系的分量。的表示方法是表明矢量在坐标系中。oxyvoxy vvoxy vvvoxy vv31按矢量乘法定义，可得coscos(90)sincos(90)sincosi ii jj ij j=+= =?iiii

15、（1-2-6）所以cossinsincosc=（1-2-7）32当很小时，可取小角度近似得到如下近似等式11c=（1-2-8）按上述同样的方法，可以写出两个正交的笛卡尔三维坐标系之间的方向余弦矩阵， oxyz表示定坐标系，其单位矢量为i、j、k，任一矢量v的分量任以x、y、z表示。oxyz表示动坐标系，其单位矢量为i、j、k，任一矢量v（v）仍以x、y、z表示其分量。有如下关系成立：33i ii ji kxxyj ij jj kyzzk ikjk k = iiiiiiiii（1-2-9）或123123123coscoscoscoscoscoscoscoscosxxyyzz = （1-2-10）

16、123123123coscoscoscoscoscoscoscoscosc=（1-2-11）34方向余弦矩阵c ，有时以下列表格形式给出xyzx1cos2cos3cosy1cos2cos3cosz1cos2cos3cos方向余弦表35据（1-2-4）、（1-2-11）式，在三维坐标系中，仍有下式vc v =（1-2-12）成立，只不过式中v和v为三维列矢量，c代表（1-2-11）式等号右侧，采用对（1-2-5）式类似的推导，可有tvcv =（1-2-13）成立。为c 的转置表示形式。将（1-2-12）式代入（1-2-13）式，有tctvcc v=（1-2-14）即1tcc=（1-2-15）（1

17、-2-12）（1-2-13）tc36这是一组具有6个约束的方程。因此在的9个元素之间，只有三个是独立的，对应三维姿态信息。可见c是一个正交矩阵，用表示其元素，方程（1-2-15）说明ijc311,0,ikjkkijc cij=当当 （1-2-16）c37称三次转动角度为欧拉角、设oen为定坐标系，有一动坐标系,矩阵法推导方向余弦表o?0z1y0yne0x1x图1-2-5 绕 轴的旋转000ox y z起始时刻与定坐标系各轴重合，经过绕相应轴三次小角度转动之后，达到它的新位置。oxyz按三次转动顺序列写方向余弦矩阵 。38?第一转o?0z1y0yne0x1x图1-2-5 绕 轴的旋转ox0y0z

18、0坐标系绕轴转角，得到坐标系ox1y1z0，如图1-2-5所示。可列写方向余弦表如下：en1xcossin1ysincos1z10000或写成矩阵的形式：c110cossin0sincos0001xeyzz = （1-2-17）39或写成矩阵的形式?第二转ox1y1z0坐标系绕ox1轴转动角，得到坐标系ox1y2z2，如图1-2-6所示。可以列写方向余弦表如下：c=011221cossin0sincos0001zyxzyx（1-2-18）o?0z1y0yne0x1x图1-2-6 绕 轴的旋转2z2y?1ox40ox1y2z2坐标系绕oy2轴转动角，得到坐标系oxyz，如图1-2-7所示。可以列

19、写方向余弦表如下：?第三转图1-2-7 绕 轴的旋转o?0z1y0yne0x1x2z2y?2oy?zyx或写成矩阵的形式c=221cos0sin010sin0coszyxzyx（1-2-19）41将（1-2-18）式代入（1-2-19）式，有110110cos0sin1000100cossinsin0cos0sincoscossinsincossin0cossinsinsincoscoscosxxyyzzxyz=（1-2-20）将（1-2-17）式代入（1-2-20）式：cossinsincos sincossin00cossinsincos0sinsincoscoscos001coscoss

20、insinsinsincoscossinsincos sinsincoscoscossincossinxeyzz = +=sinsincossinsincossincoscoscosez + （1-2-21）42（1-2-21）式变换矩阵c为cccc =（1-2-22）oen可得坐标系oxyz和坐标系之间方向余弦表为从（1-2-22）式可以看出，最终变换矩阵的形式不仅取决于每次单独转动角的大小，而且和转动次序有关，这一点是应该特别注意的。43小角度近似问题在列写惯导系统方程所采用的方向余弦表时，经常采用如下两个假设：cos1sin()=弧度（1-2-23）式中表示坐标系间每次相对转动角度，由于

21、在工程实践上可以使其值保持很小，所以，进一步可以忽略二阶小量，使sinsin0i（1-2-24）成立。这种假设所带来的误差很小，是可以忽略不计的，如图1-2-8所示。误差1:10000001:101:1001:10001:100001:1000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10?图1-2-8 小角度近似带来的误差sin()=弧度cos1=44将（1-2-23）、（1-2-24）式代入（1-2-21）式，有=111c（1-2-25）45用四元数表示坐标变换?四元数?四元数q的基本性质?四元数表示转动的公式?方向余弦表的建立46四元数四元数法，也称四参数法。四元数理论是1843年由哈

22、密顿首先提出的，目的在于研究空间几何。它是一种类似二维平面问题复数表达形式的方法。近些年来，随着控制理论、陀螺技术、计算技术，特别是捷联式惯性导航的发展，为了更简便地描述刚体的角运动刚体的角运动刚体的角运动刚体的角运动，设计控制系统，均采用了四元数这个数学工具，用它来弥补通常采用三个欧拉角参数描述刚体角运动的不足。下面首先介绍四元数的基本概念，尔后给出用四元数表示坐标变换的方法。47四元数所谓四元数，是指由一个实数单位和三个虚数单位i、j、k组成并具有下列实元的数1231p ip jp k=+?q（1-2-26）通常省略1而写成如下形式123pip jp k=+q（1-2-27）式中、p1、p

23、2、p3代表实数，i、j、k为三个虚数单位，也可看做是三维空间的单位矢量。i、j、k服从如下运算公式：1i ijjk kijj ikj kkjik ii kj= = = = =?（1-2-28）48数叫做四元数的标量部分，而p1i+p2j+p3k叫做四元数的矢量部分。四元数的另一种表示方法为：(,)p=q（1-2-29）式中泛指四元数的标量部分， 泛指四元数的矢量部分。p49四元数q的基本性质?四元数q和四元数m的加减法123123112233()()()()()()pip jp kvijkvpipjpk=+=+qm（1-2-30）或简单表示为(,)v p=qm（1-2-31）50式中表示矢量

24、的点乘积，表示矢量的矢量积。四元数q的基本性质?四元数q和四元数m的乘法123123112233112332223113331221()()()()()()pip jp k vijkvppppvppipvppjpvppk=+=+iq m（1-2-32）或简单表示为(,)vpvpp =+iiq m（1-2-33）pip51上述虚数单位相乘时，采用了（1-2-28）式的乘法规则。为了便于记忆，可参看图1-2-9，按箭头排列的两个虚数单位相乘时，便得到带有正号的第三个单位；当反方向（逆着箭头）移动时，虚数单位便具有负号。ijk图1-2-9 乘法规则图示法52向量部分仅差一个正负号的两个四元数和互为共

25、轭，符号表示为q的共轭四元数。通过计算可证明如下等式?共轭四元数q( ,)p=q( ,)p=qq()hh=qq（1-2-34）53时，四元数?四元数的范数q四元数的范数定义为2222123ppp=+qqq（1-2-35）1=qq当四元数的范数称为规范化四元数54称为四元数1=-1qq四元数之逆四元数，由于?逆四元数q=qqq所以，四元数之逆可表示为=-1qqq（1-2-36）当时1=q=-1qq（1-2-37）55四元数表示转动的公式对于四元数，我们可以采用如下的表示形式：（1-2-38）123pip jp k=+qcossincossincossincos2222ijk=+q56123cos

26、2sincos2sincos2sincos2ppp=（1-2-39）用等式（1-2-39）组成的四元数（1-2-38）叫做特征四元数，它的范数1=q在以后的应用中，所遇到的四元数均为特征四元数，以后，我们统称为四元数。57四元数可以描述一个坐标系或一个矢量相对某一坐标系的旋转，四元数标量部分表示了转角一半的余弦值，而其向量部分则表示瞬时转轴的方向，这里的、是瞬时转动轴与参考坐标系坐标轴间的方向余弦值。因此，一个四元数既表示了转动的方向，又表示了转动的大小，往往称其为转动四元数。（1-2-40）式中为四元数，其表达式为（1-2-38），（1-2-40）式的含义是矢量相对固定坐标系被旋转了角，其瞬

27、时转轴由四元数决定，被转动后的矢量为。c o s2coscoscosrr =-1qqqrqr58我们仍设固定坐标系为oxyz，其单位矢量为、 ，统一用符号表示。单位矢量经过的旋转变换之后，得到一组与对应的新坐标系。对于这两个坐标系，单位矢量之间存在如下关系：在坐标系发生如（1-2-41）式所示的旋转变换之后，得到一个新坐标系对于一个相对原始坐标系不发生旋转变换的矢量ijkeeee1eeqqeezyxo1eeee =iqq(1-2-41) oxyzvvxiy jzk=+zyxovvx iy jz k =+，矢量在新坐标系上的投影为59则不变矢量在两个坐标系上投影分量之间存在如下关系式：1eevv

28、 = qq（1-2-42）式中eevxiy jzkvx iy jz k=+=+（1-2-43）式（1-2-43）的两个等式分别称为矢量在坐标系oxyz和oxyz上的超复数映像（或简称映像）。注意，第一个式子说明矢量的分量表达式和其相对固定坐标系oxyz的映像表达式是一致的，而矢量的映像形式中，其单位矢量不采用新坐标系的单位矢量、 、 ，而是原始固定坐标系的单位矢量, , ,这一点是特别要注意的。vevevijkijk60我们利用（1-2-42）式，以四元数参数的形式来表示矢量的分量在不同的坐标系上分量之间关系。将和的表达式及（1-2-43）式代入（1-2-42）式，有vq1q123123222

29、212312313222221232132312222132231312()()()()2()2() 2()()2() 2()2()() x iy jz kpip jp kxiy jzkpip jp kpppxppp yppp z ippp xpppyp pp z jppp xp pp ypppz k+=+=+（1-2-44）用矩阵形式表示：222212312313222221232132312222132231312()2()2()2()()2()2()2()()xpppppppppxyppppppp ppyzpppp pppppz+ =+(1-2-45) 61以上为坐标系被一次旋转后，用四

30、元数参数所表示的坐标变换公式，对于一次旋转，只要将特征四元数相对应的值代入（1-2-45）式，就可以得到用欧拉角形式表示两坐标系转换的方向余弦阵。对于一个坐标系经过多次转动之后，新坐标系和原始坐标系之间关系将会等效于一次转动效果，称其为合成转动四元数。假定q1、q2和q分别为第一次转动，第二次转动以及合成转动的四元数，那么，有如下关系成立：上式中q1和q2的转轴方向必须以映像的形式给出。如果q1和q2的转轴方向都以原始坐标系的分量表示的话，有如下关系成立：（1-2-47）12=?qqq（1-2-46）21=?qqq62第一转，绕z轴转角，瞬时转轴 和 重合，转动四元数为第二转，绕ox1轴转 角

31、，瞬时转轴 的表示式为，则其转动四元数为o?图1-2-10 坐标系的旋转?xxkji?zzyy1cossin22k=+q（1-2-48）nkn)sin(cosji+2cossincossin(cossin)2222nij=+=+q（1-2-49）63合成转动四元数q的计算采用（1-2-47）式：下面以瞬时转轴映象形式给出转动四元数的表达式并求出合成转动四元数。当第二转，绕轴ox1转角时，由于瞬时转轴是由ox轴经过第一转转换来的，ox轴对应单位矢量， 所以定义 的映象为 ，则的映象q2表示式为21cossin(cossin)cossin2222coscossincossinsincossin22

32、222222ijkijk=+=+?qqq（1-2-50）nini2cossin22i=+q（1-2-51）64由于q1、q2均为映象形式（注意，第一转时映象形式的q1和非映象形式的q1是一致的），所以合成转动四元数的q应以（1-2-46）式来计算：显然，（1-2-50）式和（1-2-52）式的结果是一致的。但采用（1-2-52）式的计算方法却大为简单，尤其是在多转以后，这种计算上的简便性就更为明显。12(cossin)(cossin)2222coscossincossinsincossin22222222kiijk=+=+?qqq（1-2-52）65如果要求出两个坐标系经过上述两次旋转之后的坐

33、标系间的方向余弦值，只要将（1-2-52）式中、p1、p2、p3对应的各值代入（1-2-45）式就可以了。再对坐标系oxyz转三转之后，求新坐标系oxyz与oxyz之间的方向余弦表。第三转是绕轴oz转动角（图1-2-10），其转动四元数q3的映象形式为所以，三次转动的合成转动四元数3cossin22k=+q(1-2-53) 123(cossin)(cossin)(cossin)222222coscossincossinsincossin22222222kikijk=+=+?qqqq（1-2-54）66则对应的四元数参数为123coscos22sincos22sinsin22cossin22pp

34、p+=+=（1-2-55）将式（1-2-55）代入（1-2-45）式，有+=zyxzyxcoscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsincoscoscossinsinsincoscossinsincossincossincoscos（1-2-56）67从（1-2-56）式可很容易地给出坐标系oxyz相对坐标系oxyz三次顺序旋转后，对应的方向余弦表。若第三转绕轴oy2转动角，如图1-2-7所示。其转动四元数q3的映象形式为所以，三次转动的合成转动四元数3cossin22j=+q（1-2-57）123(cossin)(cossin)(cossin)222222cos

35、coscossinsinsin222222(cossincossincossin)222222(coscossinsinsincos)222222(cossinsinsincoscos)222222kijijk=+=+?qqqq（1-2-58）68则对应的四元数参数为123coscoscossinsinsin222222cossincossincossin222222coscossinsinsincos222222cossinsinsincoscos222222ppp=+=+（1-2-59）将上式代入（1-2-49）式，有coscossinsinsinsincoscossinsincossin

36、sincoscoscossincossinsinsincossinsincossincoscoscosxxyyzz+ =+（1-2-60）69小结在这一节里介绍了四元数的概念，并且利用四元数的运算法则，给出两个坐标系相对旋转之后坐标系转换的方向余弦矩阵。四元数转动公式写做如下形式：这个公式的意义是，在一个超复数空间中，或者在一个固定坐标系中，矢量按着四元数q所表示的转轴方向和大小被转动了一个角度，得到一个新的矢量，式（1-2-61）表明了在一个固定坐标系中，一个矢量被转动前后其分量之间的关系。将q, , ,的分量代入式（1-2-61）以后，也可以得到一个方向余弦阵，不难发现这个矩阵将是（1-2

37、-60）式中方向余弦矩阵（旋转矩阵）转置。1eevv = qq（1-2-61）evev1qev70四元数法能够得到迅速发展的原因，是由于飞行器控制系统的发展，数字计算机在运动控制中的应用，从而要求更合理地描述在各种控制问题中的刚体空间运动。采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，就要积分矩阵微分方程：式中c为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵， 为动坐标系相对定坐标系旋转角速度的反对称矩阵表示式：=cc（1-2-62）71方程式是由9个一阶微分方程式组成的方程组，所以，计算量比较大。而在采用四元数法时，就是要求解四元数微分方程式式中的q为动坐标系的转动四元数， 为动坐标系相对定坐标系的旋转角速度，

38、是四元数，按四元数乘积展开上式=000xyxzyz（1-2-63）12=?qq（1-2-64）kjizyx+= 072可以写为1231232313122222xyzxzyyxzzyxpppppppppppp= =+=+=+（1-2-65）1122330222022202220222xyzxzyyzxzyxpppppp=（1-2-66）73或写为式（1-2-67）不是四元数相乘。从（1-2-67）式可见，四元数微分方程只要解四个一阶微分方程式组就可以了，比矩阵微分方程式计算量有明显的减少。b= ?qq（1-2-67）741-3地球导航的基本概念1、地球的形状2、垂线及纬度定义3、地球重力场特性4

39、、地球的运动5、地球导航的定位表示方法6、地球导航与惯性技术的关系75地球的形状oabzy图1-3-1 地球椭球体?地球的表面形状是不规则的?在工程技术的应用中地球的表面形状采用某种近似的描述。旋转椭球体旋转椭球体旋转椭球体旋转椭球体?半轴在赤道平面内，短半轴和自转轴重合，如图1-3-1所示abea=地球参考椭球参数1/2976356-9126378-388海福特（1910）1/298-36356-8646378-245克拉索夫斯基（1938）1/2956356-5846378-206克拉克（1866）扁率短半轴b（km）长半轴a（km）测定者（年份）地球扁率地球半径6367.65r =km76子午面、卯酉圈平面的曲率半径子午面内的曲率半径为2223/2(1)(1sin)maere=表示椭球的偏心率，表示纬度2222abea=卯酉圈平面：和子午面垂直的法线平面卯酉圈平面曲率半径为221/2(1sin)nare=77垂线及纬