高考数学湖北卷试题

1、201x年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数21izi（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2已知全集为r，集合21|()1,|6802xaxbx xx，则 acrb=（）a|0 x xb|24xxc|024xxx或d|024xxx或3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）a()()pqb()p

2、qc()()pqdpq4将函数3cossin ()yxx xr的图象向左平移(0)m m个单位长度后， 所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）a12b6c3d565已知04，则双曲线22221222222:1:1cossinsinsintanxyyxcc与的（）a实轴长相等b虚轴长相等c焦距相等d离心率相等6已知点( 1,1), (1,2),( 2, 1),(3,4)abcd，则向量abcd在方向上的投影为（）a3 22b3 152c3 22d3 1527一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25( )73(1v tttt的单位： s, v 的单位： m/s）行驶至停止

3、，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）a 1+25ln5 b11825ln3c4+25ln5 d4+50ln2 8一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何组成，其体积分别记为1234,v v v v，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）a1243vvvvb1324vvvvc2134vvvvd2314vvvv9如图， 将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为x， 则x的均值()e x（）a126125b65c168125d7510已知a为常数，函数( )(ln

4、)f xxxax个两个极值点1212,()x xxx（）a121()0,()2f xf xb121()0,()2f xf xc121()0,()2f xf xd121()0,()2f xf x二、填空题：本大题共6 小题，考生共需作答5 小题，每小题5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14 题）11从某小区抽取100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50 至350 度之间，频率分布直方图如图所示：（）直方图中x的值为 _；（）在这些用户中，用电量落在区间100,250)内的户数为 _12 阅读如图所示的程序框图，

5、运行相应的程序， 输出的结果i_13 设, ,x y zr， 且 满 足 ：2221,2314xyzxyz， 则xyz _14古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10， , ，第n个三角形数为2(1)11222n nnn记第n个 k边形数为( , )(3)n n kk，以下列出了部分k 边形数中第n个数的表达式：三角形数211( ,3)22n nnn，正方形数2( ,4)n nn，五边形数231( ,5)22n nnn，六边形数2( ,6)2n nnn，,可以推测( , )n n k的表达式，由此计算(10,24)n_（二）选考题（请考生在第15、16 两题中

6、任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2b 铅笔涂黑如果全选，则按第15 题作答结果计分 ）15 （选修 4-1：几何证明选讲）如图，圆 o 上一点 c 在直径ab上的射影为d，点d在半径 oc 上的射影为e若3abad ，则ceeo的值为 _16 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，椭圆 c 的参数方程为cos ,(sinxayb为参数，0ab） 在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o 为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆 o 的极坐标方程分别为2sin()(42m m为非零常数）与b若直线 l 经过椭圆 c 的焦点，且

7、与圆o 相切，则椭圆 c 的离心率为 _三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分12 分）在abc 中，角,a b c 对应的边分别是, ,a b c ，已知cos23cos()1abc（）求角a的大小；（）若abc 的面积5 3,5sb，求 sinsinbc 的值18 （本小题满分12 分）已知等比数列na满足：23123| 10,125.aaa a a（）求数列na的通项公式；（） 是否存在正整数m，使得121111maaa？若存在， 求m的最小值； 若不存在， 说明理由19 （本小题满分12 分）如图，ab是圆 o 的直径，点c 是

8、圆 o 上异于,a b 的点，直线pc平面,abc e f 分别是,pa pc 的中点（） 记平面bef与平面 abc 的交线为 l ，试判断直线l 与平面 pac 的位置关系，并加以证明；（）设 （）中的直线 l 与圆 o 的另一个交点为d， 且点q满足12dqcp 记直线pq与平面abc所成的角为，异面直线pq与ef所成的角为，二面角elc的大小为求证：sinsinsin20 （本小题满分12 分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数x是服从正态分布2(800,50 )n的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900 的概率为0p（）求0p的值；（参考数据：若2(,),()0.6826,x

9、npx有(22 )0.9544,(33 )0.9974.)pxpx（）某客运公司用,a b 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，,a b两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600 元/辆和 2400 元/辆公司拟组建一个不超过21 辆车的客运车队，并要求b型车不多于a型车 7 辆若每天要以不小于0p的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备a型车、b型车各多少辆？21 （本小题满分13 分）如图， 已知椭圆12cc与的中心在坐标原点o，长轴均为 mn 且在x轴上， 短轴长分别为 2m ，2 ()

10、n mn，过原点且不与x轴重合的直线12,lc c与的四个交点按纵坐标从大到小依次为,a b c d ，记mn，bdmabn和的面积分别为12ss和（）当直线ly与轴重合时，若12ss，求的值；（）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12ss？并说明理由22 （本小题满分14 分）设n是正整数，r为正有理数（）求函数1( )(1)(1)1(1)rf xxrxx的最小值；（）证明：1111(1)(1)11rrrrrnnnnnrr；（ ） 设xr ， 记 x为 不 小 于 x的 最 小 整 数 ， 例 如322,4,1.2令3333818283125,ss求的值（参考数据：444433

11、3380344.7,81350.5,124618.3,126631.7)201x年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1d 2c 3 a 4b 5d 6a 7c 8c 9b 10d 二、填空题11 （） 0.0044 （） 70 125 133 147141000 158 1663三、解答题17 （）由2cos23cos()1,2cos3cos20abcaa得，即(2cos1)(cos2)0aa，解得1coscos22aa或（舍去）因为 0a，所以3a（）由113sin5 3,20222sbcabcbcbc得又5,4bc知由余弦定理得2222cos2516

12、2021abcbca，故21a又由正弦定理得222035sinsinsinsinsin2147bcbcbcaaaaaa18 （）设等比数列na的公比为q，则由已知可得331211125,| 10,a qa qa q解得1155,31.3,aaqq或故1153,5 ( 1)3nnnnaa或（）若1533nna，则1131( )53nna，故1na是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311( ) 1919531( ) 111031013mmmnna若1( 5) ( 1)nna，则1111( 1),5nnnaa故是首项为15，公比为1的等比数列，从而11,21(),150,2 ().mnnmk

13、knamk kn故111mnna综上，对任何正整数m，总有111mnna故不存在正整数m，使得121111naaa成立19 （）直线l 平面 pac ，证明如下：连接ef，因为,e f 分别是,pa pc 的中点，所以ef ac ，又 ef平面 abc ，且 ac平面 abc ，所以ef平面 abc 而efbef平面，且平面bef平面 abcl ，所以ef l 因为 l平面 pac ，efpac平面，所以直线 l 平面 pac （） （综合法）如图1，连接bd，由（）可知交线l 即为直线bd，且 l ac 因为abo是的直径，所以acbc ，于是 lbc 已知pcabc平面，而 l平面 abc

14、 ，所以 pcl 而pcbcc，所以 l平面 pbc 连接,be bf ，因为bfpbc平面，所以 lbc 故cbf 就是二面角elc 的平面角，即cbf由12dqcp，作dq,cp且12dqcp连接,pq df，因为fcp是的中点，2cppf ，所以dqpf，从而四边形dqpf是平行四边形，pqfd连接 cd ，因为 pc平面 abc ，所以cdfd是在平面 abc 内的射影，故cdf 就是直线pq与平面 abc 所成的角，即cdf又bd平面 pbc ，有bdbf，知bdf，于是在,rt dcfrtfbdrtbcf 中，分别可得sin,sin,sin,cfbfcfdfdfbf从而sinsin

15、sin ,sinsincf bfcfbf dfdf即sin图 1 图 2 （） （向量法）如图2，由12dqcp，作dq cp ，且12dqcp连接,pq ef be bf bd，由（）可知交线l 即为直线bd以点 c 为原点，向量,ca cb cp所在直线分别为, ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,2 ,caa cbb cpc 则有1(0,0,0),( ,0,0),(0, ,0),(0,0,2 ),( , , ),(,0, ),(0,0, ).2ca abbpc q a b ceacfc于是1(,0,0),(, ),(0, )2feaqpab cbfb c，所以222| |c

16、os| |feqpafeqpabc，从而222222sin1cosbcabc，又取平面abc 的一个法向量为(0,0,1)m，可得222|sin,|m qpcmqpabc设平面bef的一个法向量为( , , )nx y z，所以由0,0.n fen bf可得10,(0, , ).20.axnc bbycz取于是22|cos| |m nbmnbc，从而222sin1cos.cbc故2222222222sinsinsinbcccabcbcabc，即sinsinsin20 （）由于随机变量x服从正态分布2(800,50 )n，承故有800,50(700900)0.9544.px由正态分布的对称性，可

17、得0( (900)(800)(800900)pp xp xpx11(700900)0.977222px（）设a型、b型车辆的数量分别为, x y辆，则相应的营运成本为16002400 xy依题意，, x y还需满足：021,7,(3660 )xyyxp xxyp由（）知，0(900)pp x，故0(36060 )p xxyp等价于3660900.xy于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,0, ,xyyxxyx yx yn且使目标函数16002400zxy达到最小的,x y作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12),(7,14),(15,6)pqr由图可知，当直线1

18、6002400zxy经过可行域的点p时，直线16002400zxy在y轴上截距2400z最小，即z 取得最小值故应配备a型车 5 辆，b型车 12 辆21依题意可设椭圆12cc和的方程分别为2222122222:1,:1xyxyccaman其中0,1mamnn（）解法1：如图 1，若直线ly与轴重合，即直线l 的方程为0 x，则121111|,| |2222sbdoma bdsabona ab，所以12|.|sbdsab在12cc和的方程中分别令0 x，可得,abdym yn ym，于是|1|1bdabyybdmnabyymn若12,ss则11，化简得2210.1由，可解得21故当直线ly与轴

19、重合时，若12ss，则21解法 2：如图 1，若直线ly与轴重合，则| |,| |bdobodmnaboaobmn；121111|,| |.2222sbdoma bdsabona ab所以12|1.|1sbdmnsabmn若12ss，则11，化简得2210.1由，可解得21故当直线ly与轴重合时，故12,ss则21图 1 图 2 （）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12ss根据对称性，不妨设直线:(0)lykx k，点(,0),( ,0)man a到直线 l 的距离分别为12,dd，则因为12222|0|0|,111akakakddkkk，所以12dd又112211|,|2

20、2sbd dsab d，所以12|sbdsab，即|bdab由对称性可知| |abcd，所以| | (1) |,bcbdabab| |(1)|,adbdabab于是|1|1adbc将 l 的方程分别与12,c c的方程联立，可求得222222,abamanxxa kma kn根据对称性可知,cbdaxxxx，于是222222221|1|adbckxxadma knbcna kmkxx从而由和式可得2222221(1)a kna km令1(1)t，则由,1mnt可得，于是由可解得22 2222(1)(1)ntkat因为0k，所以20k于是式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)ntat，

21、等价于2221(1)()0.1tt由，可解得11t，即111,1(1)由，解得12，所以当112时，不存在与坐标轴重合的直线l ，使得12ss；当12时，存在与坐标轴不重合的直线12lss使得解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12ss根据对称性，不妨设直线:(0)lykx k，点(,0),( ,0)man a到直线 l 的距离分别为12,dd，则因为122222|0|0|,1111akakakakddkkkk，所以12dd又112211|,|22sbd dsab d，所以12|sbdsab因为221|1|bdabababkxxxxbdabxxkxx，所以11abxx由点(,),(,)aabba xkxb xkx分别在12,c c上，可得22222222221,1aabbxk xxk xaman，两式相减可得22222222()0ababxxkxxam，依题意220,ababxxxx所以所以由上式解得22222222()()abbamxxkaxx因为20k，所以由2222222(