一简单的幂函数(一)学案

1、5简单的事函数（一）学习目标1.理解哥函数的概念（重点）；2.学会以简单的募函数为例研究函数性质的方法（重点）；3.理解和掌握哥函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理募函数 有关问题（重、难点）.I课前习Is f学茎积淀生北预习教材P49 50完成下列问题： L'L r r fL'G 1r-lll r r.ill ,r,rI*= ir -r rLurjr'f rilt知识点一哥函数的定义如果一个函数，底生 是自变量x,揖数 是常量"，即y=x;这样的函数称为募函数. 【预习评价】1 .任意一次函数和二次函数都是备函数吗？若函数y=mx"是

2、哥函数，m应满足什么条件？提示 并不是所有一次函数和二次函数都是募函数，只有其中的y=x和y=x2是哥函数.若y=mx"是募函数，则必有 m= 1.2 .募函数与指数函数有何区别？提示 募函数与指数函数不同点在于：哥函数形式为y = xa（a R），其自变量x处于底数位置，常数 “处于指数位置；而指数函数形式为 y=ax（a>0且awl）,其自变量x处于指 数位置，常数a处于底数位置，且 a须满足大于0而且不等于1.知识点二简单的募函数的图像和性质哥函数y= x2y= x3y= x1y= x21y= x图像J.i1AkK7Tn 十定义域RRR0, 十00)( 8, 0)U(0,

3、 十8)值域R0, 十0°)R0, 十00)y|yC R,且 yw0奇偶性奇偃奇非奇非偶直单调性直x 0,)增,xC(°°, 0 M卷瞿x (0, + 8 )遮， xC ( 8, 0)遮定点(1,1)续表【预习评价】哥函数y=x“在区间(0, + 8)上为增函数时，a满足的条件是什么？在区间 (0, + 8) 上为减函数时，a满足的条件是什么？提示 当 介0时，y=x，在(0, +8)上为增函数；当a<0时，y=x"在(0, + 8)上为减函数.课堂互动融型却也自动探究题型一哥函数的概念【例1】(1)已知(隹，2)在哥函数f(x)的图像上，求f(2

4、)的值；(2)已知函数f(x)=(a2 3a+3)xa2-5a+5(a为常数)为募函数，且在(0, +oo )上单调递减，求实数a的值.解设f(x)=x",.(V2, 2)在f(x)的图像上，f(V2)=(V2)"= 2,a= 2.故 f(x)=x2, f(2)=22=4.2(2)f(x)为帚函数，a -3a+3=1,得 a = 1 或 a= 2.当a=1时，f(x)=x,在(0, + 8)上单调递增，不合题意.当a = 2时，f(x)=x 1,在(0, + 8)上单调递减，符合题意.综上，得a的值为2.规律方法(1)哥函数的特点：系数为 1,底数为自变量，指数为常数. (

5、2)当 众0时，哥函数在第一象限内单调递增；当必0时，哥函数在第一象限内单调递减.【训练1 函数f(x)= (m2m1)xm2+m3是募函数，且当x (0,+8)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.解根据塞函数定义得，m2 m1 = 1,解得 m = 2 或 m=1,当m=2时，f(x) = x3在(0, +°°)上是增函数，当m= 1时，f(x)= x 3在(0 , + 8)上是减函数，不合题意.，f(x)的解析式为f(x)=x3.题型二 哥值大小的比较问题例2比较大小.(1)1京，1.72 ；(2)( 1.2)3, (1.25)3;(3)5.25 15261.解(

6、1)因为函数y=x2在(0, + 8)上是增函数，11且 1.5<1.7,所以 1.52 <1.72 .(2)因为函数y= x3在R上是增函数，且1.2>1.25,所以(1.2)3>( 1.25)3 .(3)因为函数y= x 1在(-00, 0)和(0, +8)是递减函数，所以 5.25 1>5.26 1 .规律方法比较嘉值大小的三种思路(1)若指数相同，底数不同，则考虑哥函数.(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数.(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数 相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间

7、，进而比较大小.【训练2】 把:3 , 57 , 5?, 审,按从小到大的顺序排列 解析,- )= 11 - 3 > >- )= 1川”1631' W'<31'3 2 <12 2 <1展<1, I5J <11因为y=x2为增函数.所以静 <曾用途)1答案犹)3典例迁移题型三哥函数的图像与性质【例3】已知募函数f(x) = x"的图像过点P”，1，试画出f(x)的图像并指出该函数的定义域与单调区间.即 f(x)=x解因为、的图像过点叩，4),所以给=4,即”4,得 一f(x)的图像如图所示,°°

8、, 0).8 , 0) U (0 , + 8 )定乂域为(【迁移1】(变换条件)本例中的条件“过点P2, 4:若换为过点P8试写出该函数的定义域、单调区间. 一， 1 ，1r 2 解因为峋所以8&1，即=2由刘X W 0得x w 0,所以f(x)的定义域为(一OO0)U(0, +8),f(x)图像如图所示.则f(x)的单调减区间是(0,°°, 0).+ 8),增区间为(一【迁移2】(变换条件，改变问法)本例中的条件“过点 P。，4 )若换为过点试写出该函数定义域，判断函数的单调性并用定义法证明.-1解f(4) = 2,.4,= 2,即1 a=一鼻，1f(x) = x

9、 2其定义域为(0, +8),单调减区间为(0, +8),单调增区间为(1，一一 、一-2<0 , f(x)在(0, + 8)上为减函数，证明如下:任取 Xi, X2 (0, +8),且 Xi<X2,E 1111则 f(x2) f(X1) = X2 2 - X1 2 = -=X2X1,X1一 ：X2X1X2X1 X2因为 X2>X1>0,所以 X1X2<0,且#1X2 (W + 炉2)>0 ,于是 f(X2) f(X1)<0 ,即 f(X2)<f(X1),1所以f(x) = X 2在区间(0, + 8)内是减函数.【迁移3】(变换条件，改变问法)

10、本例中条件“过点 P2, 1 ;若换为围过点P(6 且有f(a+1)<f(32a),求实数a的取值范围.-1, 1 1解(16) = -16a=",即 a=- f(x) = x1 -4,其定义域为(0, +8 ),1- - 4<0 , 1. f(x)在(0, + 8)上为减函数. f(a+1)<f(3 2a),a + 1>0,，有 J3-2a>0,a + 1>3 2a.解得：2<a<3.32.a的取值范围为g, 33 2规律方法1.哥函数图像的画法(1)确定募函数在第一象限内的图像：先根据”的取值，确定募函数y=x"在第一象限

11、内的图像.(2)确定哥函数在其他象限内的图像：根据哥函数的定义域及称性确定募函数f(x)在其他象限内的图像.2.求哥函数中含参数问题的三个步骤I课堂反馈I自主反馈，地测成效课堂达标1.下列函数中不是募函数的是()1A . y= x3B. y= x才cf 1C y= 2xD y= x1解析 函数y=x3 , y=xj, y=xT均符合募函数的特征，而y=2x不符合募函数的特征.答案 C2,已知 f(x)= (m1)xm2+2m是哥函数，则 m=()A. 2B. 1C. 3D. 0解析 因为f(x)是哥函数，所以 m1 = 1,即m=2.答案 A3,已知哥函数f(x)=x"的图像过点 ,

12、，g I；则f(4) =.解析因为f，,所以2=专,1 1111即 a=,所以 f(x)=x 2 ,故 *4)=4 2 =2，,1答案24 .募函数y=x2 a在(0, 十°°)上是减函数，则a的取值范围是 解析 因为y=x2 a在(0, +8)上是减函数，所以 2-a<0,所以a>2.答案 (2, +8)5 .比较下列各题中两个哥的值的大小：111131 3(1)1.12 , 0.92 ; (2)1.12 , 0.9 2 ; (3)3 4，仁4 .1解(1)因为y= x2为0, +8)上的增函数，又1.1>0.9,11所以 1.12 >0.921（2）因为y=x 2为（0, + 8）上的减函数，又 1.1>0.9, 11所以 1.1 2 <0.9 2 .（3）因为3 4 =，函数y=x4为0, + 8）上的增函数，且3<2,所以弓,4 <8,即 3 3 < 111 2J .课堂小结1 .募函数y=x ”（代R）,其中“为常数，其本质特征是以哥的底X为自变量，指数 a为常数，这是判断一个函数是不是募函数的重要依据和唯一标准.2 .募函数y=X”的图像与性质由于a的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：