搞定空间几何体的外接球与内切球教师版

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于 2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付 老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享不当之处，敬请大家批评指正、有关定义1 球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球2 外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球3. 内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 二、外接球的有关

2、知识与方法1. 性质：性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2 :经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5 :在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）2. 结论：结论1 :长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2 :若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同

3、；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论&圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9:侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球3. 终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（

4、解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1. 若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直（与直线切圆的结论有一致性）2. 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等（类比：与多边形 的内切圆）3. 正多面体的内切球和外接球的球心重合4. 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合5. 基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2） 体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）四、与台体相关的，此略五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1PbB图1-2图1-3图1-4方法：找三条

5、两两垂直的线段，直接用公式(2R)2 二 a2 b2 c2，即 2R a2 b2 c2，求出 R11例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C ）A. 16二 B . 20 二C . 24二 D . 32二解： V=a2h=16, a =2 ,4R2=a2 a2h2=44 16=24 , S =24二，选C；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9二解：4R2 =3 3 3 =9 , S=4：R2=9：；（3）在正三棱锥S - ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM-MN ,若侧棱SA= 2 3 ,则

6、C题-1（引理）题-2 （解答图）正三棱锥S-ABC外接球的表面积是.36-解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直 .证明如下：如图（3） -1 , 取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH , 则H是底面正三角形 ABC的中心，.SH _ 平面 ABC , SH _ AB ,AC 二 BC , AD 二 BD , CD _ AB , AB _ 平面 SCD ,-AB _ SC，同理：BC _ SA , AC _ SB，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3） -2 ,- AM _MN , SB/MN ,.AM _SB, AC_SB , SB_ 平面 SAC ,.S

7、BSA, SB SC, SB SA, BC SA, SA_ 平面 SBC , SA_SC,故三棱锥S "ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 =(2、3)2 (2 .3)2 (2.3)2 =36，即 4R2 = 36 ,正三棱锥 S - ABC 外接球的表面积是 36二.（4）在四面体S -ABC 中,SA _ 平面 ABC ,.BAC = 120 ,SA二AC = 2,AB = 1,则该四面体的外接球的表面积为（A.11rB.7 二10C.二340D.二3解：在 ABC中，BC2 =AC2AB2 -2AB BC COS120 = 7， BC ， ABC 的外接球直径为BC72

8、.72r 二sin BAC -、3、3，22222J7 240一.(2R)2 =(2r)2 SA2 = ()24，S，选 DJ33340 二（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b,c( a,b,c R*),则（6）题直观图（6）题图题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等,求外接球半径（AB = CD，AD = BC，AC = BD ）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC = x，AB =CD =y，AC =BD

9、=z，列方程组,” 2a622c2 2b x2 c2 二 y2 二(2R)2 = a2 b2 c2 = x a2 二 z2y22z2图2-1ab =122 2 2 2 2<bc =8，”abc =24，二 a=3，b=4，c = 2， (2R) =a +b+c=29，S = 4兀 R= 29 兀，ac =6（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为 解：（2R）2 二a2 b2 c2 =3，R-，R -423.33- ，8 2类型二、对棱相等模型（补形为长方体）1 1 补充：图 2-1 中，V bcd =abc_ abc 4 abc._632 2 2 2 2

10、2 2 2 2 第三步：根据墙角模型，2R*a2+b2+c2 J +y +z ,R2 = x+y+z ,x +y +z ,V 288求出R.思考：如何求棱长为a的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2( 1)如下图所示三棱锥 A 一 BCD，其中AB =CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为.解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为a,b,c，2(a2 b2 c2) =25 36 49 = 110，2 2 2 2a b c =55，4R =55，S =55二(i)题图(2)在三棱锥 A-BCD 中，AB =CD =2，AD=B

11、C=3，29球的表面积为2AC = BD =4，则三棱锥A - BCD外接解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2 b9，b2c2=4，c2a2=16. 2(a2b2c2)= 9 4 16 =29，2(a2b2c2)= 9 4 16 = 29，2 ac2294R22929兀2(3)正四面体的各条棱长都为,2，则该正面体外接球的体积为 解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中,、3=JI2V34R ， V =2 38(4)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（4）题解

12、答图解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCO1，面积是 2 .类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是 任意三角形）第一步：确定球心 O的位置，01是 ABC的外心，则00! _平面ABC ；1 1第二步：算出小圆 01的半径AOr，001AA1h（ AA =h也是圆柱的高）；2 2第三步：勾股定理：0A2 =01A2，0102= R2 =(£)2 r2= R =. r2 (；)2，解出 R例3（ 1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点

13、都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 一，底面周长为3，则这个球的体积为 81解：设正六边形边长为 a，正六棱柱的高为 h，底面外接圆的半径为 r，则a =-，2i QAQ ' QQ i' QQ正六棱柱的底面积为 S=6 -（一）2= ，2柱=Sh =h = -， h = , 3， 4R2 = 12 （、3）2 = 442888也可"討卄）R =1，球的体积为（2）直三棱柱 ABC-ABG的各顶点都在同一球面上，若AB = AC =AA1 =2, BAC =120，则此D（4）在直三棱柱 ABC-AB1G 中,jiAB = 4, AC = 6, A, AA"

14、;i = 4，3则直三棱柱ABC-A1BG的外接球的表面积为160 兀3解:2法一：BC =16 36 -2 4 6128，BC = 2 7，2r =247帀，rR2寸2 .严）2 =28 v/O233，S表3法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略160兀-第二讲锥体背景的模型球的表面积等于解：BC =2 . 3 , 2r 刍卫 4 , r = 2 , R , S = 20二； sin 120 '（3）已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB 二 3, AD =2,. AEB 二 60，则多面体 E - ABCD 的外接球的表面积为16二解：折叠型

15、，法一：CEAB的外接圆半径为* =£3，001, R 3=2 ；J3Jl32 3 13法二：0側3，rO2，R2=3 亠=4，R=2，S表=16二；2 24 4法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：（2R）2 =（2.3）2 22 =16，S表二16二；类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一一正弦定理求大圆直径是通法）POACB图4-1POACBO1POACBOi图4-2图4-3pACB图4-41 如图4-1，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且P的

16、射影是 ABC的外 心二三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 三棱P - ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆 锥的顶点.解题步骤： 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆 01的半径AO1 =r，再算出棱锥的高 POjh （也是圆锥的高）;第三步：勾股定理：OA? nOjA2 O1O2= R2 =：（h-R）2 r2，解出 R ；事实上，：ACP的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理也可求解出R.2如图4-2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径），且PA _ AC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径

17、：（2R）2 = PA2 （2r）22R =,fPA2（2r）2 ； R2 二 r2 OOl R f r2 OOj23.如图4-3，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径）OC2 rOQ2 OQ2 二 R2 =r2 OQ2 二 AC =2； rUq24题设：如图4-4，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 O必是：PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC =2r ；abc第二步：在.'PAC中，可根据正弦定理2R，求出R.sin A sin B sin C例4（ 1）正四棱锥的顶点都在同一球面上

18、，若该棱锥的高为1，底面边长为 2 3，则该球的表面积为 _解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，22R =7 , S =4二R =49二；（2）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 、2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 4兀 解：方法一：找球心的位置，易知r =1 , h=1 , h=r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R = 1 , V =3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是厶SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，4 二2R =2 , R=1 , V31的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正（3） 一个正

19、三棱锥的四个顶点都在半径为 三棱锥的体积是（）A.3、34312解：高h = R =1，底面外接圆的半径为R =1,直径为2R =2 ,设底面边长为a，则 22 ,sin 60，三棱锥的体积为V J Sh =3（4）在三棱锥P - ABC中，PA 二 PB 二 PC=3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外4:213接球的体积为（A.二B.C. 4D.解：选D,由线面角的知识，得 CABC的顶点（5）已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球A, B,C在以r为半径的圆上，在圆锥中求解，R =1 ；O的求面上，厶ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径,且SC = 2，则此棱

20、锥的体积为（19A.6B.6D.2解：00, = . R2 -r21 1V “ 3Sh3 2 一6. 2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, PA _平面ABC，求外接球半径.解题步骤: 第一步：将.ABC画在小圆面上, 球心0 ；A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过第二步:Oi为厶ABC的外心，所以OO1 _平面ABC，算出小圆0的半径OjD =r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得= = 2r), 00,=PA ；sin A sin B sinC2第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 二 PA2 (2r)2 = 2R

21、 二 PA2 (2r)2 ； R2 -r2 00； = R r2 00,.2题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是 ABC的外心= 三棱锥P- ABC的 三条侧棱相等=三棱锥P-ABC的底面- ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的 顶点P图5-6PPDOJ亠* j 图5-8解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取. ABC的外心O1，则P,OQ三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 -r，再算出棱锥的高 PO h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA? =0小2 O1O2= R2 =（h-R）2 r2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5

22、 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CA. 3 二B. 2 二C.16 二3D.以上都不对P解答图解：选C,法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上,（V3 -R）2 +1 = R2, R =, S =4兀R2 =16 兀；PMN的外接圆是大法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形2 4圆，于是2R，下略;sin 60 V3第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）A第一步：先画出如图 6所示的图形，将. BCD画在小圆上，找出.汨CD和；A BD的外心H1

23、和H2 ；第二步：过 已和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC ； 第三步：解 OEH,，算出OH,，在Rt OCH,中，勾股定理： OH； CH： =OC2注：易知0,Hi,E,H2四点共面且四点共圆，证略例6( 1)三棱锥P - ABC中，平面PAC _平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则 三棱锥p 一 ABC外接球的半径为解：如图，2r2r22sin 60-3，1.3，2221R gHr1 =31法二：O2H二十丁3O1H，J3(1)题2 2 2 2 2raoah2 o,h2 o,o2RP ；(2)在直角梯形 ABCD中，AB

24、/CD , A =90 , C =45 , AB = AD = 1，沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD _平面表面积为BCD，若四面体 ABCD的顶点在同一个球面上，则该项球的题-1(2)题-2S题解：如图，易知球心在 BC的中点处，乐二4二；（3）在四面体SABC中，AB _ BC , AB = BC =圧2，二面角S _ AC _ B的余弦值为一，则四3面体SABC的外接球表面积为 6二TTi 2解：如图，法一：cos/SO|B =cos（ZOOQ2+二）=一二sin OO1O2 =COS OO1O2 =23<63001 =Oi O2COS/OO1O2冷，宀1 1詔，sR

25、2 土法二:延长BO-i到D使DO<| = BO<| = r1，由余弦定理得 SB =6， SD = ：. 2，大圆直径为2R = SB= . 6 ；（4）在边长为2 3的菱形ABCD中，.BAD =60，沿对角线BD折成二面角A - BD - C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 28二（4）题图解:如图，取BD的中点M，厶ABD和 CBD的外接圆半径为= r2 = 2，厶ABD和 CBD的外心O1,O2到弦BD的距离（弦心距）为 4 = d2 = 1，法一：四边形 OO1MO2的外接圆直径 OM =2，R=7，S=28二；法二：OOi = 3， R = ,7

26、；法三：作出 CBD 的外接圆直径 CE,则 AM =CM =3， CE = 4，ME = 1，AE=f7，AC =3； 3，ACcos AEC，16 一 2713 V3丽，sin"EC=丽，2R=sn5CiC=翕 57，rf ；2” 7(5)在四棱锥 ABCD 中，.BDA =120BDC =150 , AD = BD = 2 , CD = . 3 ,二面角 A - BD - C的平面角的大小为120 ，则此四面体的外接球的体积为 解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心,（5）题解答图-1（5）题解答图-2AB=2、3，d=2，弦心距 O2M = 3，BC13，r

27、13，弦心距 0側=2 3，O1O2.0102 = . 21，OM 二、严2、. 7，sin 120f2222I116J29 兀法一：.R2=OD2二 MD2OM 2=29，R=29，V球二3法二：OO； =OM2 _O2M 2 =25，R2=OD2=r； OO；=29，R = . 29，7球二 116 29 3类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型C题设：如图7, APB =/ACB =90，求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，1连接OP,OC，则OA =OB =OC =OP AB，O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后

28、在 OCP中2求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值例7（ 1）在矩形ABCD中，AB =4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B - AC - D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A. 125 二B12125江c12%D125n963解：（D 2r=AC=5，R 气，v=3：r3 吟乎=年，选 C（2）在矩形ABCD中，AB =2，BC =3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥 A - BCD的外接球的表面积为解:BD的中点是球心O, 2R = BD = .13 ,2S=4R =13 二.25DBVP

29、ABC1 1 1= 3S'ABC r ' 3Spab r' 3Spac r1 + +PBC r(S ABC ' S pab ' S pac3 3第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1. 题设：如图8-1，三棱锥P _ ABC上正三棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，E, H分别是两个三角形的外心；1第二步：求DH BD , PO=PH-r, PD是侧面 ABP的高；3第三步：由 POE相似于:PDH，建立等式： 91二空，解出rDH PD2题设：如图8-2，四棱锥P-ABC是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球

30、的截面图，P,O,H三点共线;1第二步：求FH BC , PO =PH -r , PF是侧面 PCD的高;2 OG po第三步：由JPOG相似于 PFH，建立等式：=-PO，解出HF PF3 题设：三棱锥 P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r,建立等式：Vp/bc二VojbC - Vo_paB Vpac ' Vq _pbC第三步:解出r3V p abc例8 (1)棱长为a的正四面体的内切球表面积是二 a26解:设正四面体内切球的半径为r,

31、将正四面体放入棱长为补形为正方体)，如图，则二£v正方体2、2 6、2的正方体中(即题一 1 1又 Vp#bc =4 -Sr = 4 -33仝 a2 r 3a2r ,433a2r3，r ： ，内切球的表面积为 S表二4二r(注：还有别的方法，此略)6.2 2 ” 6 6(2)正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为12 2解：如图，正四棱锥S 一 ABCD的高h = .7，正四棱锥S ABCD的体积为VsbCd侧面斜高h, =2、. 2 ,正四棱锥S -ABCD的表面积为S表二4 8 2 ,正四棱锥S'ABCD的体积为V$_abcd =，S表r = 8_2 r ，